Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum

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035/2: : i a (CaOTULAS)160191184

040: : | a MiU 1 c MiU

100:1 : I a Zeuthen, H. G. | q (Hieronymus Georg), | d 1839-1920.

245:04: | a Die Lettre von den Kegelschnitten im Altertum | b Deutsche Ausgabe

unter Mitwirkung des Verfassers | c besorgt von R. v. Fisclrer-Benzon,

260: : | a Kopenhagen: | b A. F. Host & Solin, | c 1886.

300/1

a xiv, 511 p. 1 b iL | c 24 cm.

650/1

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1 a Geometry | x Study and teaching

650/2

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Die Lehre

Kegelsehnitten im Altertum.

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Die Lehre

Kegelschnitten im Altertum

Dr. H. G. Zeutlien

Deutsche Ausgabe uiitor Mitwirkung des Verfassers besorgt

Dl', E. V. Fiselier-]

Mit SO in den Text eingedruckten Holzstiche

Kopenhagen Verlag von Andr. Fred. Host & Sohn

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Druck

ilei' ICöll, IIof-Rurhdiuckei-ei von Mmna, Lunii (K. Drpyer)

Papier aus rtcv fapievfabril; von Di'cwscn & Sünnev

Holzstiche

au'i dem XylotTvaphischen Aletiev von Koi-enütiind

af Recht der Übersetzung in andere Sprachen belialteu sich Verfasser utiil Verleger vor.

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EiMej ÄbaehmU \o auasetzimgen und Hult<imittel Fioportionea und

geometnche Algebra Ztvettei Äbschmtt Plaiiimetnsche Definition der Kegelachnitte Form

dieser Definilion bei Aichimedes Dntiei AhschmU Apolloniua eiatea Bi cIi ilhei die K-efeelschnitte Viertel Abbehmtf Umformung dei Gleichungen der kegelschnilte

Transformation dei Koordinaten Fünften AhfclmtU Apolloniua zi^eites Buch

Sechstet Abachntft Afollomus diittes Buch 1— W 44 unl o3— 5r Siebeiitei AbsehmU „Der Ort. m diei odei viei devaden' Achtem Absehmtt Dei Oit zu viei Geiaden fFortsetzung) Zusammen

har^ mit EuUids Porismen Neuntet Ahsclimtt Bealimmimg\ n Kegelschnitten durch funt Punkte

ApoUonius viertes Buch ubei die Kegelschnitte f,eme ,SP(tio

determinata" Zelint&i Ah^chmtt Übei die Bastimmung körperlicbei Uitei Elftei Ab^ch'mtt ,Korpeili<.he Aufgaben" Zwölftem Abschmtf Körperliche Aufgaben (Fortsetzung) Einschie

bungeu {vijaeci) DieiSehntet Abschmft Korpeiliche Aufgahen (J ortaetzung) Apollo

mub fflnftes Buch l'ter'elintm Abidimtf Ober veiloiene Unteieuchungen eine Vei

mutung Aber Ei-atosthene.s Sohrift über MittelgiOfeen rünfi^Jinte) Absehmtt Eizeugung der Kegelschnitte dnich eine le

wegte Gerade {duich Tangenten) Apollomus Kegelschnitte 3'^'

Buch 41—43 die Büchei übei den Veihlltmsschnitt und den

FlBchenschnitt Seehiehnter Abschnitt Brennpunktseigenschaften ApoUonius dntte«

Buch 45—52 Apillomu« zwei Büchei über Berührungen Sfebj.eJintei Ahs<Jinttf Älmliehe Ke^elschnifte \pollomu- sech'.tes

Buch

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Aüifsehntei Abschnitt ipollonius -leLentes und itlites Buch ilie

Längea konjugiertei Dmchme-tej Neunzehnte} Ab'<(ih}ittt kegelflächen und Uiadieh.ung'-fiäclien /neitei

Oidnung Ai^himodes Buth über Konoide und Sphiioide Euklide

beide Bucliei über Oberflachendrtei Awamtgstm Abschnitt Aichim.ede'i Bestimm unten von Fiatben

Rauminhalten und ^cbwerpunkten iMwwn^!6rt«.j(/a(ff 4.hBekmti Ereter Uripiung dei Lehie von den

jitveamihwansti/stei Absdttittt Vcilall dei guetbiacben Ueometue Auablick auf die apateie Enfw itlcelung und Bedeutung de: Lebie von den Kegelschnitten

Apollonius' Vorreden zur Schrift Aber die Kegelschnitte .

Pappus' Mitteilungen fibei' ApoUonius' aobt Bücher ül

Kegelschnitte

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Yorpede.

lii der Zelt vom seuhsttüi hh zliiii zweiten Jahi'hundert v. Chr. wui'de der Grund zu der matliematischen Wissenschaft von den griechischen Mathematikern gelegt. Die wichtigste Bedin- gung dafür, dafs dieser Grundhau eine Wissenschaft tragen konnte , deren Wahi'heiten erst dann ihre rechte Bedeutung erhalten, weim sie durch vollständige Beweise sicher gestellt werden, hestand darin, dafs er seihst die genaiuite Eigenschaft hatte. Jeder weifs, dafs dies in hohem Mafse für. die grie- chische Geometrie zutraf, welche sich sowohl gf^en Einwen- dungen wie gegen Fehlschlüsse durch die Entwicklung einer strengen Dai-stellungsform sicherte, die geradezu das Ziel ver- folgte, die aufgestellten Wahrheiten unanfechtbar zu machen.

Dieses Ziel wh'd jedoch in den Schriften der Alten so aus- schliefslich verfolgt, dafs es nur auf Kosten der Übersichtlichkeit erreicht wkd. Der Leser erfahrt, was geschehen soll, was wahr ist und weshalb es richtig ist; aber in welcher Absicht etwas geschieht oder etwas untersucht wird, das läfst sich in jedem Falle nur lange nachher beurteilen, wenn man die Folgen sieht.

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VIII Von-ede.

Mitteilungen über die benutzten Entdecknngswege fehlen ganz, wenn man die alle mathematische Forschung umfassende ana- lytische Methode ausnünmt. Der Darsteliungsform der Alten, welche in logischer Hinsieht so vollkommen war, iehlten des- halb die Eigenschaften, welche dieselbe zu einem bequemen Mittel hätten machen können, den reichen Inhalt der griechi- schen Geometrie — geschweige die Arbeitsweise derselben — auf spätere Geschlechter zu übertragen. Im Schlufsabschnitte dieses Buches wird gezeigt werden, dafs trotz des Eifers, mit dem die Mathematiker der Renaissancezeit sich auf das Studium der Schriften des Altertums geworfen hatten, dennoch während der ganzen neueren Zeit neue Einflüsse von Seiten der griechischen Geometrie sich noch geltend machen konnten, und im Verlauf der Daretellung wird sich zeigen, dafs Chasles' bekannter Nach- weis, Euklid habe einige von den kürzlich wiederentdeckten Eigenschaften projektivischer Punktreihen gekannt, noch weiter dahin au^edehnt werden mufs, dafs man im Altertum die Anwendung einiger solcher Reihen auf die Lehre von den K^eischnitten gekannt habe. Dafs so die antike Geometrie trotz der aufserordentlichen Entwicklung der modernen Ma- thematik stets auf neue Weise ihre Bedeutung hat auf- recht erhalten können, beweist nicht nur, wie grofs der Wert ihres Inhaltes ist, sondern zeigt auch, wie grofs die Hindernisse waren, die sich einer Verbreitung dieses Inhaltes entgegen- stellten. Diese Hindernisse liegen nicht allein in dem Verlust wichtiger Schriften, sondern auch in den berührten schwachen Seiten der Form, in der die überlieferten Schriften abgefafst sind.

In unserer Zeit, wo die Mathematiker durch die Aneig- nung des reichen Materials , welches neuere Zeiten gebracht haben und t^lich bringen, so stai'k in Anspruch genommen werden, fahren dieselben Ursachen fort ihi-e Wirkung auszu- üben, und selbst der, welcher sich einige Bekanntschaft mit

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Vorrede. IX

den Schriften der Alten erworben hat, wird kaum geneigt sein, die in diesen gewonnenen Resultate genügend hoch zu würdigen. Denn ohne Kenntnis von dem gegenseitigen Zusamnjenhange, in dem sie entstanden sind, gewinnt man leicht die Vorstel- lung, dafs dieser lose und zufällig sei, und dafs die Alten des- halb nicht die Bekanntschaft mit der Bedeutung und Brauch- barkeit der Resultate besafsen, welche denselben erst ihren vollen Wert verleiht.

Die Beschwerden jedoch , welche die antike Darstellungs- form darbieten kann, müfsten eigentlich zu einer gerade ent- g^er^esetzten Ansicht führen. Denn die Schwierigkeilen, welche der Leser zu überwinden hat, und welche zum Teil davon herrühren, dafs jene Zeit nicht über die Darstellungs- mittel verfügte, welche die Gegenwart benutzen kann, müssen auch auf den Verfasser hemmend und hindernd gewirkt haben. Wenn nun Apolionius in einem so ausgedehnten Werke wie in seinen Kegelschnitten diese Schwierigkeiten in dem Mafse überwindet, dafs er die erstrebte Unanfechtbarkeil ebenso voll- ständig erreicht wie Euklid in seinen Elementen, so zeugt dies dOTchaus für eine grofse Herrschaft über den behandelten Stoff. Er raufs mit der Bedeutung jedes einzelnen Satzes vertraut gewesen sein, um den rechten Platz füi- denselben im Lehr- gebäude fmden zu können, und er mufs, namentlich in den ersten systematischen Büchern, um die für dieses Gebäude passendsten Sätze finden zu können, mehrere von diesen gekarmt haben, zwischen denen er wählen konnte.

Dafs man die Sätze und Konstruktionen, ivelche man kannte, wirklich anzuwenden verstand, geht auch hervor aus Apolionius' Vorreden und aus den Berichten des späteren Altertums über Aufgaben, die man in Behandlung nahm. Es wird sich zeigen, dafs die Geometrie bei den Alten nicht blofs ihrer selbst w^en entwickelt wurde, sondern dafs sie zugleich als Oi^an für die allgemeine Gröfsenlehre diente, ähnlich wie

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die Algebra jetzt, und dafs in dieser Beziehung die Lehre von den Kegelschnitten über die elementaren Unter- suchungen hinausführte. Diese Lehre , welche überdies mit einer Vollständigkeit entwickelt worden ist, die der Behandlung anderer Kurven nicht zuteil wurde, kann also ihre Stellung in der Wissenschaft auch neben modernen Untersuchungen be- haupten. Sie verdient deshalb, dafs man sie selbst kennen lerne und sich nicht damit b^nüge ihre Resultate zu sehen, welche die Mathematik der Gegenwart in anderen Verbindungen kennt.

Hierfür genügt eine blofs historische Darstellung nicht; deshalb habe ich in gegenwärtiger Schrift vei-sucht eine geo- metrische Wiederherstellung des Inhaltes und des Zusammenhangs der antiken Lehre von den Kegel- schnitten zu geben und zu begründen.

Eine solche mufste sich vorzugsweise an Apolloniiis' sieben Bücher über diesen G^enstand (von acht Büchern sind uns sieben erhalten) anschüefsen. Jedoch würde eine unmittelbare Wiedei^abe dieser Bücher sowie der Abschnitte aus Euklids Elementen, welche besondere Anwendung in denselben finden, und der Schriften von Archiraedes und ApoUonius, welche sich auf denselben Gegenstand beziehen, nicht genügend ge- wesen sein: ich mufste vielmehr alles dasjenige, was durch die ausschliefsliche Rücksichtnahme der Alten auf logische Voll- ständigkeit verdeckt wird, hervorsuchen und durch Benutzimg moderner DarsteUungsmittel ans Licht ziehen^). Namentlich

') Ein älinliüiea Ziel \erfolgt Häusel- Au-ieimndeibetzm^ ilbei das Weik des Äpullonius (Liouviile^ Journal Bd *3) Diese ist ledoch teils £0. ku /^efafst fui meme Zwecke teils hält '■le 'iich so ausschliels lieh an ApoUoniua Schrift dafs man die Veibmdung dieser mit dei vüiliergeheaden geometii'Jchen Litteratui nieht erkennen kami Endlich enthalt diese Arbeit trotz ihiet Veidienste emi^e Mifsveratändniase die i,eiegeiithch Eiwahnung finden weiden und ni(,ht ohne Bedeutung smd fui die s(a.o/.e iuffassunK de« griechischen Haiiptiveiks übei kegel

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Vonedo, XI

mufstc ich die ÜboreinsLiinmuiigeii aiifeuchcii, welche zwi- schen den Hülfsniittehi , die in den verschiedenen Beweisen benutzt werden, existieren, und auf den Wert, den diese Hülfsraittel und die aufgestellten Sätze in der Hand der Alten hatten, mufste ich durch das schhefsen, wozu die Alten sie benutzten. Die Yoi^efLindenen logischen Anu'enÖungen mufsten mir dabei eine Vorstellung davon geben, wie dieselben Hilfsmittel hab_en angewandt werden können, um. die ver- schiedenen aufgestellten Sätze zu finden. Wemi nun auch die so gefundenen Entdeckungswege niemals zu so allgemein zugäi^lichen Methoden, wie die Gegenwart sie kennt, zusammen- gestellt gewesen sind, so darf ]nan doch mit Bestimmtheit an- nehmen, dafs eine mündlicJie Tradition vom Lehrer zum Schüler und praktische Übur^ in den Anwendungen sie zu etwas mehr als dem Eigentum einzelner hervorragender Männer gemacht hat. Dieselben Wege haben sich dann auch bei der weiteren Anwendung der in den erhaltenen Schriften aufgestellten Re- sultate benutzen lassen. Dadurch, dafs ich diesen Wegen nach- spijrie und über den geometrischen Gebrauch, der sieh über- haupt von den gewonnenen Resultaten machen läfst, nachdachte, habe ich Mittel gewonnen um über die Beschaffenheit der Anwendungen urteilen zu können, von denen die Alten in ihren Vorreden sprechen, sowie über die Untersuchungen, welche zum Teil den Inhalt sokhei leiloieneii Schriften lus machten, uhei itelthe Pappus in emei viel -^pateien Zeit Mitteilungen macht ^) Selbste ei qtindhch hibe n,h umgekehit

') Da ich «le =ich ergeben «ird zu dei 4nnahme gelangt bin dal lie UaterBuchunpen iih auch lut G-eEen tan le erstieckt baben mu ei itn denen in den oft etiva- zufälligen Mitteilungen die iini eihalfen =ini mchfa beuchtet wird so habe ich mir aueli die etwa*: dehkate Fuge gestellt welche nicht eniahnten Untersuchungen man ienn imstande gewesen sei auszuführen Einei Beantwortung dieser Frage habe ich mich nicht ganz entziehen k'iiinen denn icli wurde mich sonst der Gefahi ans-set/en diC min zu wenig oder zu mcI m meine

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XTI Vorrede.

nicht versäumt die Winke zu benutzen, welche von Pappus sowie von Prokius und Eutokius oder anderswo in zufäl- ligen Mitteilungen für das Verständnis der Alten gegeben wer- den, und welche teilweise Auszi^e aus Schriftstellern sind, die den Alten näher standen als die genannten Berichterstalter.

Dafs nun das erforderliche Material für eine solche Arbeit einem Mathematiker hat zugänglich sein können, das verdanke ich teils den Philologen, welche neue Ausgaben von Archimedes und Pappus mit guten lateinischen Übersetzungen zu der Aus- gabe des Apollonius von Halleys kundiger Hand hinzugefügt haben, teils den Männern, welche in der neuesten Zeit die mathematischen Überlieferungen in einem bis dahin unbekannten Umfange ans Licht gezogen und historisch und chronologisch beleuchtet haben. Es liegt mir namentlich daran hier in der Vorrede Gantor, den Führer unter den letzteren, zu nennen und den Nutzen hervorzuheben, den mir seine Vorlesungen über Geschickte der Mathematik gewährt haben, da ich wegen meines von dem seinen verschiedenen Ausgangspunktes an mehreren Stellen genötigt bin, mich seinen Ansichten polemisch gegenüber zu stellen.

Obgleich ich wesentliche Anregungen empfangen habe von ■ Hankel, Zur Geschichte der Mathematik im Altertum und Mittelalter, wodurch mir zuerst Interesse für den Gedanken- gang^) der griechischen Mathematiker eingeflöfst wurde, von

eiwähnte Annahme hineinlegte Deshalh habe i h es beispiel «eise gewallt meine duf auf>eioidentiich weniRe historische Daten gestützte \etmutung Ober Eiatoithenes Mittelgröfsen mit auf/uuehmen die lilr mich selbst zunächst eine Prohe dafilr darstellte ob ich mich so m die iibeitswei=e dei Alten hineinversetzt hätte daCs ich sie selbständig anwenden kannte len Lesei abei bitte ich sein Urteil ubei den hiSitt Tischen Wet diesei \ermutiing nicht auf solche Hypothesen ibeitiagen zu willen leien Wahrscheinlichkeit ich vrll finliger te gl lüde I) AI sichulei \oi thasJes intere le If h ) li Im U „^ 1 \<- im Altertum erreichten Resultate.

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Vorrede. XHI

Br et Schneider, Die Geometrie und die Geometei- loi Euklid, und von Allmaniis in Hermathena puhlicierten Ünteisuchimgen, Greek Gewnetry front Tkales to Euklid, so beziehen sich diese zu- näclist doch nur auf die Voraussetzungen für die griechische Lehie von den Kegelschnitten'). Gröfsere dii'ekte Bedeutimg für meine Bearbeitung dieser Lehre aher haben die zahlreichen kleinen Schriften von Paul Tannery gehabt, nicht nur durch die vie- len in denselben enthaltenen historischen Angaben, sondern auch durch die bedeutenden Beiträge, welche er zum Verständnis der Entwicklung der griechischen Mathematik geliefert hat. Diese haben mir, wie sich ergeben wird, oft zur Führung gedient. Endlich ist es mir von gi'ofsem Nutzen gewesen nicht nur von Heibergs Schriften Einsicht zu nehmen, sondern auch Gel^enheit zu haben mit diesem gründlichen Kenner der Ausdrucksweise und des Gedankengar^es der alten Geo- meter mündlich zu verhandein. In sprachlicher Hinsicht habe ich mich immer seiner Meinung gefügt, und wo ich seine historisch-geometrische Auffassung nicht habe teilen können, da haben seine Gründe mir die schwachen Seiten gezeigt, welche die von mir ai.ifgestellte Begründung noch hatte.

J D Ma 1 e Ala e e H o Je l^ee cti, M ilie >4 i e

et Phjstj ies ebenso w e ch i» Stud um. de be 1 efe "tea Seh Üen de 8 q! ea mathemati&ol en Sehnft teller selbst zu n iiisgaag^punkt n an t so durfte ch e -wartea dafs z « sehen lae aer Ärbe t uad de e nea % 1 Be Ihruafspuakte fiEdea 3 den Dal de nur a geinte Mafse de Fall st be -uht te Is la a f dafe Mi e a le Ischnfl teile des Alte t m aan eatüch n Apollon u venger t ef e n ^e 1 ngen st als a d e n athemat schea Sir flea 1er aeuerea Ze t te 1« da dnf daf er ta t ga ke ae Rucks cht auf die zahhe chea h to sehen E -gebn see genon mea hat wel he v r der neuere For huag verdanken U e letztea Te le des aageföh ten umfa g e hea Werkes ad m abe Itzl h ge e ea le le Un era h a des E nfl sses ien I n k e e I 1 1 7 a

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XIV Voiiede.

Dieses Bucli ist aus dem Dänischen ültersetzt. Das Original wurde der Königlich dänischen Gesellschaft der Wissenschaften am 31sten Oktober 1884 vorgelegt und im 3ten Bande der Schriften der Gesellschaft, 6te Reihe, natunvissenschafliclie und mathematische Abteilung, abgedruckt. Die Gesellschaft hat die Holzstiche bei'eitwilügst zur Benutzung in dieser deutschen Ausgabe herg^ebeii, in der einige kleine Zusätze im 12ten und 19ten , sowie einige Verhessei-ui^en mi SOsten und 22sten Äbselmitt gemacht sind. Dafs die Übersetzung überall so genau meine eigenen Gedanken wiedergebt, dafür schulde ich Dr. V. Fischer-Benzon herzlichen Dank, der — ebenso wie Herr Chr. Host, der Verlier des Buches — grofse Verdienste hat mn die Verbreitung der Schriften dänischer Mathematiker m solchen Kreisen in denen meine Muttersprache nicht ver- standen wird,

K,i0V.enhas-n, ileii ^S^'"" Mai 1SS6.

H. G. Zeuthen.

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Erster Aljschiiitt,

Voraussetzungen und Hiilfsmitlel ; Proportionen UTid geometrische Algebra.

Die antike Lehre von den Kegelschnitten, welche von ApoUo- n i u s ') in vollständigem Zusammenhaiige entwickelt ist , ist ausschliefslich auf solchen Voraussetzungen aufgebaut, welche sich in Euklids Elementen finden, also im wesentlichen auf ganz denselben, welche auch der jetzigen elementaren Geometrie angehören. Jeder, der mit dieser vertraut ist und demnächst das festhält, was er nach und nach während des Lesens lernt, wird also jedes einzelne Argument verstehen können, dessen sich ApoUonius bedient. Aber um sich vollständig ■ m den ganzen Gedanker^ang hinein zu versetzen und den Plan zu erfassen, dem der Verfasser folgt, hat man zu beachten, dafs unter den Voraussetzungen, welche auch wir kennen, einige sind, welche er sowohl wie seine Vorgänger weit häufiger gehraucht haben als wir, und mit denen er und seine antiken Leser deshalb auch viel vertrauter gewesen sind.

Welches diese sind , und wie grofs das Bedürfnis der griechischen Geometer für dieselben gewesen ist, versteht man leicht , wenn man beachtet , welche besonderen Hülfsmittel eben in dem erwähnten Werke zur Benutzung beim Studium der Kegelschnitte eingeführt werden. Dies sind, wenn auch

') Euklid lebte etwa 300 v. Chr.. Arctiimedes 287—212, ApoUonius etwa 200. Wo nicht ausdrücklieh das Gegenteil bemerkt ist, gebe ich die Jahi-azahlen an nach Cantor, Vorlesungen über die Geschiclite der Matbematilt, Bd. I. Leipzig, 1880.

1

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2 Eretei' Absehnitt.

der Begriff Koordinatensystem nicht aufgestellt wird, die- selben, welche wir benutzen, nämlich rechtwinklige und schiefwinklige Koordinaten, welche die Griechen über- dies — eben auf Grund der geometrischen Form für ihre Anwendung — mit gröfserer Freiheit anzuwenden verstanden, als es im 17teB und 18ten Jahrhundert der Fall war. Die Koordinaten gebrauchen wir aber in Verbindung mit der Algebra, weiche die Griechen nicht kannten. Wir haben also zu untersuchen, was bei ihnen beim Gebrauche der Koordi- naten wie auch bei anderen Untersuchungen, wo man sich jetzt gewöhidich der Algebra bedient, an Stelle der Algebra tritt.

Zuerst läfst sich nun ein Hülfsniittel anführen, welches man auch jetzt bei geometrischen Untersuchungen auf ganz dieselbe Weise wie die Griechen, wenn auch in geringerem Umfange und nur wenig innerhalb der eigentlichen analytischen Geometrie anwendet, nämlich Proportionen, eir^eführt durch ähnliche Figuren.

Man hat bisweilen geltend machen wollen, dafs die Pro- portionen der Alten eine von den luisrigen abweichende Be- deutimg dadurch hatten, dafs diese letzteren Gleichungen sind, während die der Alten in einer gewissen Verbindung zwischen Verhältnissen bestehen, welche aJlerdir^s, wenn die Glieder der Verhältnisse kommensurabel sind , zu einer Gleichung wird, sonst aber durch eine eigentümliche Definition im fünften Buche Euklids bestimmt wird. Diese Definition, welche aus- sagt, dafs a in demselben Verhältnis zu h steht wie c zu d, sobald alle ganzen Zahlen jM imd iV, welche iW.tt^iV.i machen, auch M c^N d machen ist indessen nichts aridere« als eine allgemeingültige Definition \on dei Gleichheit dei Veihaltnis&e und fallt sehr nahe zusammen mit derjenigen welche WeiPi stiass in unseren Tagen inwendet imi den Weit iiiitionalei Gröfsen zu dehnieren Dafs hiei wenn auch Euklid die Vei haltnib&e nicht gleich nennt m dei That die Gleichheit definiert wird geht daiais hervoi dals einei dei ersten batze welchei auf Gl mdlage diesei Detmition bewiesen wud dei ist dafs wenn ah cd — wo wir was vorlaufig des Zeichens bedienen

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Voraussetzungen u. Hülftmittel; Piupüi'tioneii. ;}

welches man bei der modernen Art antike Proportionen zu schreiben an Steile des Gleichheitszeichens gesetzt hat — und gleichzeit^ c:d::e:f, auch a:h::e:f ist.')

Die Sache liegt also in Wirklichkeit so, dafs wähi'end man in der modernen elementaren Algebra gewöhnhch das Gleichheits- zeichen gebraucht ohne eine auch für inkommensurable Gröfsen geltende Erklärar^ von dem zu geben, was die Werte der Ver- hältnisse sind, welche man gleich setzt, man im Altertum, ohne das Gleichheitszeichen oder das Wort Gleichlseit zu benutzen, eine solche bestimmt definierte Bedeutimg in die aufgestellte Verbindung zwischen Verhältnissen hineinlegte, dafs diese Ver- bindimg eben die ist, welche wir Gleichheit nennen.^) Mit der Definition der Gleichheit von Verhältnissen war die entsprechende der Ungleichheit verbunden.

Auf solche Weise waren diese Definitionen von der Gröfse eines Verhältnisses in seinen Verbindui^en mit anderen dieselben, welche die allgemeine GrÖfse charakterisieren, die der jetz^en A^ebra zu Grunde liegt und kontinuierhch alle Werte annimmt, nicht blofs solche, welche in einem rationalen Verhältnis zu einer gewissen Einheit stehen. Die darauf gebaute

') Von den Gvundzügen der EuMidisclien Proportionslehre findet sicli eine sehr hübsche ausführlichere Darstellung in einem Bruchstück über Euklid Eon Schlüsse von Hankel, Zur Geschichte der Mathematik im Altertum und Mittelalter, Leipzig 1S74.

') MasimiHen Marie scheint in „Histoive des Sciences Math ematiques et Physiques", T. LS. 5 einen Unterschied darin zu finden, dafs in einer mo- dernen Proportion -^ ^^ -=- zwischen vier Strecken a, b, c, d diese

Gröfsen die Zablenwerte (Mafszahlen) der Strecken oder ihre Verhältnisse

zu einer bestimmten Einheit bezeichnen. Das wird dann eine vevwiekeltere

a 6 cd

Relation die man wenn die Einheit e genaimt wird, — : — = — ; -—

ivirde schreiben können, und für die die Alten auch einen Ausdruck hätten finden kennen Für die geometrische Untersuchung ist dieselbe . nicht ao bequem nie die in welche keine Einheit eingeführt ist, vias man ja heutigen Tages auch bei allgemeinen Untersuchungen unter- läfst Im übrigen i'.t wie bald berührt werden ivird, Grund zu der Annahme vorhanden dafs Proportionale St zwischen Zahlenwerten be- n itzt \ den i t I ci man tie Euklidisi'lien Definitionen aufstellte.

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Proportionslehre entliielt Sätze , welche es ermöglichten die wichtigsten algebraischen Operationen mit dieser Gröfse aus- zuführen, Nanientiich besafs man in der Zusammensetzung von Verhältnissen ein Mittel zur faktischen Ausführung der algebrai- schen Multiplikation von beliebten solchen Gröfsen. In einer stetigen Proportion wie

wird ~ = { — i und wird in Wirklichkeit wie eine Potenz be-

nutzt, wähi'end umgekehrt—^- = l/-- ist. Man kannte sogar

die Summation der auf diesem Wege gebildeten geometrischen Reihe ' ). Durch Benutzung umgekehrter Verhältnisse konnte man auch Divisionen ausführen. Da man durch diese Mittel Verhält- nisse zu dem machen kann, was wir gleichnamig nennen, so hefsen sich auch Additionen und Subtraktionen ausführen.

Auf diese Weise hat man einen Apparat, mit Hülfe dessen man die Zusammensetzung algebraischer Gröfsen ausdi-ücken kann. Aber für den praktischen Gebrauch ist die Äusdrucks- weise in Worten äufserst besehwerhch. Selbst wenn man die Operationen in einer Zeichensprache darstellt, fallen die Übel- stäjide nicht ganz fort. Sie hängen nämlich damit zusammen, dafs, wenn die ProportionsSehre auch in ihi'en Sätzen faktisch Resultate der elementaren Rechenoperationen ausdrückt, sie dies doch nicht der Fonii nach thut. Der Satzbau der Pro- portionstehre hat mid mufs eine künstlichere Fomi haben als eine Sammlung von einfachen Rechenregeln, weiche den be- kannten Recheru'egeln für ganze Zahlen parallel laufen.

Will man sich nun aber klar machen, wie die Griechen diesen Apparat nicht nur bei der Darstellung, und dem strengen Beweise gefundener Satze, sondern auch bei der Entdeckung

') Vei-gl. Euklid IX, 35. Das 9. Buch Ist allerdings eins von den auitli- metischen Büchern, wo die behandelten Gröfsen ganze Zahlen sind. Der Satz hat hier seinen Platz erhaltea als Hülfssatz für den arith- metischen Satz 36; aber der Beweis des Satzes selbst ,ist allgemein- gültig.

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Proportionen, 5

der Sätze selbst haben benutzen können, so weist, wie wir nun sehen werden, eben seine Künstlichlteit auf die Eitlärong liin ').

Geometrische wie alle möglichen konkreten Gröfsen durch Zahlen darzustellen und mit diesen Zahlen zu rechnen ist ebenso alt wie die Einführut^ von Mafs mid Rechnen, «nd Verhältnisse und Proportionen müssen, werni auch in rudimen- tären Formen, ebenso alt sein wie die erste Auffassung von ähnlichen Figuren, also wahrscheinlich so alt wie die Geometrie überhaupt; denn man wh'd kaum darauf verfallen sein mit seinen ebenen kleinen Figuren zu operieren ohne sich dieselben im GrÖfseren auf die ihnen ähnlichen Figuren angewandt zu denken, welche sich beim Landmessen und in der Baukimst darboten ^),

Als jedoch Pythagoras (580^500) oder vielleicht einer seiner nächsten Schüler entdeckte, dafs nicht alle Gröfsen dereelben Art kommeiism'abel sind, wurde der tmniittelbaren Anwendui^ von Zahlen und daran geknüpften Proportionen in der Geomefcie, welclie Anspruch auf Stringenz sollte erheben dürfen, ein Halt geboten. Indem man dann versuchte sieh durch rein geometrische Operationen zu helfen, ei^ab sich als nützliche Folge die weitere Entwicklung dieser letzteren. Die Lehre von Rechnungsarten und Zahlenverhältnissen entwickelte sich wob! gleichzeitig, aber als wissenschaftlich wurde dieselbe nur in ihrer Anwendung auf Verhältnisse zwischen rationalen Gröfsen anerkannt, so wie sie in den arithmetischen Büchern Euklids (VII— IX) auftritt. Indessen konnte es nicht fehlen, dafs man praktisch Zahlen und Propoiüonen auch auf die Geometrie anwandte, wenn auch mit dem Bewufstsein, dafs man, um die gewonnenen Resultate anerkannt zu sehen, die- selben hinterher auf einem anderen Wege beweisen müsse.

'j Bei dieser Erklärung wie bei vielem anderea vom Inhalt dieses Ab- schnittes schliefse ich micli einer ebenso scharfsinnigen wie geistvollen Abhandlung an von P, Tannery, De la golatum geomefn-igiie des prdblhnes dtt seeoiid deip-e uvimt Xhieliäe (MSmoires de la Sociöt^ de Bordeaux, 9p« s^rie, t. IV),

') Vergl. die Bemerkungen von Dr. Allmaan, S. 173 dei' Hermathena, Vnl. III. Sr.V.

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6 Evstci- Abscliiiitl,,

Als endlich — «le altgempiiin ingi^nomnieii wnä — Eu- doxus von Knidu'- (408—355) die neue und allgemeii'^ltige Grundlage für die Piopoitionslehrc fand «eiche wir angegeben haben, \m& welche Euklid m "^einf Geometne auigenomnien und auf die Lehie von den ähnlichen Figuren ange^vandt hat, hat man notwendiger\vei=!e eingehen müssen dils diese neue Proportionslehre \olktand^ mit dei alten ubei einstimmte, oder richtiger, die alte aiithnietische hat Schutt fui Schritt als W<^- weiser bei Entwicklung dei neufn gedient Wenn anch Euklid es nicht für richtig gehalten hat dit •uithmetisrhe Proportions- lehre im 7teii bis )iei Buch auf den allgememguitigen Beweisen des 5ten aufzubauen sondern die alten aiithmetischen Beweise beibehalten hat, so ^^ud es doch duich die übeiem timnuing in den Benermungen und Sätzen vollkommen deuthch, dafs man die Verbindung eikannte Hieiaus folgt abei dafs die Alten auch wählend dei Anwendung de» Satzappaiates der Proportionslehre — ebenso \ue wii wenn \\u unseie algebrai- schen Operationen durch Proportionen ausdrücken — imstande waren den Gedanken an die Rechenoperationen, welche den Sätzen praktisch zu Grunde liegen, als persönliche Anleitung zu benutzen.

Trotzdem ist für die jetzige Auffassung eine Anwendung von Proportionen, die sich einigermafsen bewältigen läfst, untrennbar vom Gebrauch einer Zeichensprache, die üure Verbindungen und die Umformungen, welche bekannten Sätzen zufolge möglich sind, deutlich hervortreten mid sich dem Gedächtnisse fest einprägen läfst. Das Altertum hatte aüerdings keine Zeichensprache, aber ein Hülfsmittel zur Veranschaulichung dieser so- wie anderer Operationen besafs man in der geome- trischen Darstellung und Behandlung alägemeiner Gröfsen und der mit ihnen vorzunehmenden Opera- tionen.

Dieses Verfahren beruht darauf, dafs man in einer Figur eine Sti'ecke (oder, was man femer daneben gebrauchte, eine Fläclie) abtn^, welche allerdings unmittelbar eine durchaus bestimmte Gröfse hat. aber doch innerhalb geivisser Grenzen eine vollkommen al^emeine Gröfse darsteüen kann; die geo-

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Proportionen: geometrische A^ebra. 7

metrischen Sätze, welche ai^ewandt werden, können näm- lich keine anderen Resultate geben als diejenigen, weiche in den ausdrücklich angenommenen Voraussetzungen niedei^elegl sind, tmd die Resultate werden also unabhängig von der zu- fahren Gröfse, welche eingeführte Strecken (oder nächen) in der gezeichneten Figur erlialten haben ^). In der Anwendung dieses Hülfsmittels konnte man fortfahren, unabhängig von der Entdeckung irrationaler Gröfsen. Diese Entdeckung, welche die Benutzui^ der arithmetischen Hülfemittel hemmte, mufete eben dadurch besonders günstig für die Entwicklung jenes geometri- schen Hülfemittels werden.

In dieser Weise entwickelte sich eine geometrische Algebra, wie man sie nennen kann, da dieselbe als Algebra teils allgemeine Gröfsen, irrationale sowohl wie rationale, be- handelt, teils andere Mittel als die gewöhnliche Sprache benutzt um ihr Verfahren anschaulich zu machen und dem Gedächt- nisse einzuprägen. Diese geometrische Algebra hatte zu Euklids Zeiten eine solche Entwicklung erreicht, dafs sie dieselben Auf- gaben bewältigen konnte wie unsere Algebra, solange diese nicht über die Behandlung von Ausdrücken zweiten Grades hinausgeht, ein Gebiet, welches sie auch, wie sich eben zeigen wird, in ihrer Anwendung auf die Lehre von den Kegelschnitten ausgefüllt hat. Eine solche Anwendui^ entspricht der Anwendung unserer Algeljra in der analytischen Geometrie.

') Dieses HöU'smittel steht an wissenschaftlichem Umfang soiMe ^n piak tiseher Anwendbarkeit auf algehraische Untersuchungen «eit ü] ei einpm entsprechenden arithmetischen Hulfamittel bei Diophin1u& dei ott alfeemeine Rechenoperationen durch Einfühnmg beatrmmei statt lie hebiger Zahlen darstellt. Da die eii^eführten Zahlen latioaal sind haben die Operationen mit denselben für die Alten nur Operationen mit rationalen Gröfeen dai^estellt, und wenn die RechnunRen au=g;ef !irt werden, verdeckt das Resultat die Operationen neli,be e-. el cn zu erläutern galt, und welche man bei Diophantus nelien den Rechnung^ reäiiltaten im Gedächtnis behalten mufs. Wenn dt^egen ein Produkt dnrch ein Rechteck dargestellt wird, dessen Seiten die FaktDien <iind so bleibt die Entsteliungaart eben so klai', als wenn wu ein Piodukt a,b selireiben.

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8 Erster Ab?clmitt.

Ein Vorbehalt muls hier jedoch gemacht werden , in- sofern, als man im Altertum keine negativen GröTsen oder ein ii^endwie entsprechendes Hülfsmittel kannte. Man mul'ste deshalb das, was wir in einer gemeinsamen algebraischen Entwicklung vereinigen können, in verschiedene Sätze mit den zugehör^en Beweisen zerlegen, oder wenigstens verschiedene Figuren zu demselben Satze und Beweise herstellen. Da es indessen unter solchen Umstanden im wesentlichen derselbe Satz ist, der überall bevriesen werden soll, so bot die Behand- lung der verschiedenen Fälle nicht mehi- VeranlEissung zu wirk- lichen Schwierigkeiten, als die zusammenfassende Behandlung geboten haben würde. Nur eine beschwerliche Weitläufigkeit der Darstellung wurde die Folge.

Was im übrigen die Leichtigkeit betrifft, mit der das Hulfemittel gebraucht wmde, so glaube ich, nachdem ich zum Teil selbst Versuche angestellt habe, dafs es für den daran Gewöhnten nicht hinter unserer Algebra zurück- stand, sobald nach der persönlichen Arbeit und münd- lichen Darstellung, während der man auf die Figur zeigen kann, gefragt wird. Di^egen war es als Mittel der schrift- lichen Mitteilung beschwerlich anzuwenden und stand in dieser Beziehung weit hinter unserer Algebra zurück, deren Formeln ebenso leicht zu lesen wie zu schreiben sind. In der schrifthchen Darstellung wiu-de nämlich nicht nur eine Zeichnung der Figm- verlangt, sondern auch eine Beschreibung derselben und ein beständiges Hinweisen vom Text auf die Figur.

Da wir gerade die Proportionslehre berührt haben, so wollen wir unsere genauere Beschreibung der geometri- schen Algebra mit der Bemerkung beginnen, daJs die ver- schiedenen Sätze über die einfachsten Umformungen einer Proportion eben so anschaulich werden, wenn die Glieder der beiden Verhältnisse entweder von vornherein — was bei den Anwendungen gewöhnlich der Fall ist — Stücke von zwei geraden Linien sind oder als solche dargestellt werden, so dafs man auf diese zeigen kann, als wenn dieselben in unserer Zeichensprache dargestellt werden. Solche Veranschaulichungen der proportionalen Gröfsen durch gerade Lmien finden sich

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GeumetriEche Algebra; Gleichimgen. ',)

flui'chgehends im fünften Buch Euklids, wo dieselben \vohl nur dann einen direkten Nutzen gewähren, wenn von einer Addition oder Subü'aktion oder Multiplikation mit einer ganzen Zalil die Rede ist, aber wo sie überall die Bedeutung erhalten, dafs jede einzehie Gräfse der Anschauung und dem Gedächtnis eingeprägt wird, so wie wir es machen, wenn wir sie durch einzelne Buch- staben darstellen, deren Verbindungen in den Gleichungen zu suchen sind. Selbst die ganzen Zahlen im 7ten bis 9ten Buch werden auf solche Weise veranschaulicht.

Dasselbe Anschauungsmittel läfst sich überhaupt anwenden, wo von Additionen und Subtraktionen die Rede ist. Sind die GrÖfsen, welche addiert oder subtrahiert werden sollen, nicht Strecken, sondern z. B. ganze Zahlen oder Flächen, so werden diese dm'ch Strecken dargestellt, wenn nötig nach einer üm- formui^ (beispielsweise werden Flächen in Dreiecke oder Pa- rallelogramme von derselben Höhe verwandelt, die sich dann durch ihre Grundlinien darsteilen lassen) , und die Sti-ecken werden neben einander auf derselben Geraden oder auf ein- ander abgetragen; das ist selbsverständlich, wenn die Operation wirklich geometiisch ansgeinhrt werden soll. Wenn dagegen nur von einer theoretischen Untersuchung die Rede ist, oder wenn in einer Änalysis einige der Linien unbekannt sind, so gewährt diese DarstelUing einen ähnhchen Nutzen wie die Dar- stellung eines in Worten ausgedmckten algebraischen Ausdrucks oder einer Gleichung in der Zeichensprache der Algebra uns gewährt.

Die Gleichung 1)

wurde sich , wenn « , ß, x ■ • ■ ^'^ Verhältnisse zwischen vor- gelegten geraden Linien, aber x, y, z . . . d selbst als gerade Linien dai^stellt werden, von den Alten dadurch darstellen

') Wena wir Gleichungen in unserer algebraischen Sprache ausdrücken, welche bei den Alten ia Worten und an einer Figur dargestellt sind, so werden mr durch kleine griechische Buchstaben Verhältnisse be- zeichnen, durch kleine lateinische Strecken, durch giiDfee lateinische Flächen und durch grofse griechische Volumina.

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10 Ei-stei- Abschnitt.

lassen, dafs auf einer Geraden neben einander Stüclfe abgetragen würden, die in den Verhältnissen a, ß, y... zu x, y, «... stehen. Der Abstand zwischen dem Anfar^spuntt und dem Punkt, den man durch successives Abtragen der Stücke erreicht, wird dann d sein. Auf ähnliche Weise kann man verfahren, wenn andere Vorzeichen in der Gleichung vorkommen. Ebenso wie wir bei der jetzt gebräuchlichen Darstellung im Gedächtnis behalten müssen, was jeder einzelne von unseren Buchstaben bedeutet, ebenso mufsten die Alten behalten, was das für Stücke waren, die man abgetragen hatte; dann aber hatten die Alten ebenso wie wir eine Darstellung der Gleichur^. Bei den Alten kann die notwend^e Gedachtnisarbeit bisweilen dadurch etwas unterstützt worden sein, dafs die Hülfsfigur in direkte konstruktive Verbindung mit der Hauptflgui' gebracht wurde; oft dagegen, und so häufig bei Archimedes, ist sie daneben gezeichnet.

Mit Hülfe einer solchen Dai^tellur^ werden Gieiciimigen ersten Grades auf Wegen gelöst, welche viel mit unserer alge- braischen Behandlung gemeinsam haben. Doch ist die un- bekannte Gröfse mit einem unbekamiten Punkt vertauscht, der nicht dui-ch seinen Abstand von einem im voraus gewählten Anfangspunkt bestimmt wird, sondeni dessen Abstände von gegebenen Punkten ohne Unterschied benutzt werden. Die Umformungen der Gleichur^ werden oft durch Einführung neuer bekannter Punkte dargestellt. Beispiele füi' diese Operationen finden sich in der Schrift des Archimedes über das Gleich- gewicht ebener Figm'en II, nach der wir im 20sten Abschniit eine- Lösung einer Gteichur^ wiedergeben, sowie in semer Schrift über schwimmende Körper IP).

Das hier beschriebene Hölfsmittet würde indessen nicht sonderlich weit gereicht hahen, wenn man sich damit begnügt hätte auf diese Weise die eine Dimension der geraden Linie zu benutzen. Es hat seuie Hauptbedeutung dadurch erhalten, dafs man um Produkte darzustellen in den Flächen ein Mittel besafs, welches teils in der Anwendung viel bequemer

, das tiistoriscbe Werk ■

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(ileicliungcn; Darstellung von Produkten. II

war als zusam]Tiengesetzte Verhältnisse, teils es ermöglichte aus der mannigfaltigen Art, wie Flächen sich in der Ebene umlegen lassen, ja aus den eigentlichen planimetrischen Sätzen Nutzen zu ziehen.

Wenn wir sagen, dafs eine Fläche, vorläufig die eines Rechtecks, ein Produkt darstellte, nämlich das der beiden Seiten, so müssen wu- uns allerdings beeilen hinzuzufügen, dafs wir damit meinen, dafs es in den Untersuchungen der Alten dieselbe Rolle spielte wie ein Produkt von zwei allgemeinen Zahlen in den unsrigen. Für die Alten indessen, welche nur Produkte aus ganzen oder wenigstens rationalen Zahlen aner- kannten, komite es nur zur Darstellung eines Produktes dienen, wenn die Seiten ein gemeinschafthches Mafs hatten, welches als Einheit genommen werden konnte. Dafs es im letzteren Falle wirklieh benutzt wurde um Zahlenprodukte darzustellen, geht unter anderem hervor aus Namen wie ebene Zahlen, d. h. solche, welche aus zwei Faktoren zusammengesetzt sind, und quadratische Zahlen, und daraus, dafs zwei Zahlen ähn- lich heifsen, wenn sie sich wie zwei Quadratzahlen verhalten, weil sie sieh dann durch ähnliehe Rechtecke mit kommen- sm'ahlen Seiten darstellen lassen. Dafs die allgemeii^tige Verbindui^ zmschen zwei Gröfsen, welche durch das Rechteck mit diesen Gröfeen als Seiten dargestellt wird, ganz überein- stimmt mit der bereits erwähnten — aber später erfundenen — Bildung von Produkten, welche auf Euklids {Eudoxus') Pro- portionslehre gegründet wurde, sieht man aus Satz 23 im sechsten Ruche Euklids, der aussE^, dafs zwei Parallelogramme mit demselben Winkel im zusammer^esetzten Verhältnis der Seiten stehen.

Nach diesen Bemerkungen können wir ohne mifsverstanden zu werden im Folgenden durh a.b das Rechteck mit den Seiten a und b bezeichnen und durch «^ das Quadrat mit der Seite a. Diese Bedeutung mufs aber in der Tliat fest- gehalten werden, und ich werde oft Grund haben daran zu erinnern, dafs mit Figuren operiert wird. Ich mufs das thun, nicht nur mit Rücksicht auf die Gefahr der Versuchung, den Alten Erieichterui^n modernen Ursprungs zuzuschreiben. Die Gefahr

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1:Ü Eistev Abschnitt.

hierfür durfte von g-ei'ingerer Betleutung sein, weil die Ver- bindung zmschen Recliteck und ProduJct, ivie oben bemerkt, den Alten nicht fremd war, wenn dieselbe auch nicht in allgenieii^öltigen Beweisen anerkannt wurde. Es ist gerade so grofse Gefahr dafür vorhanden, dafs man, wenn man vei^ifst, dafs die Alten mit Figuren operierien, die damit verbundenen eigentümlichen Erleichterungen übersieht, welche die Alten ihrer- seits vor uns voraus haben konnten.

Die hierher gehörenden Operationen sind so einfach, dafs sie unmittelbar verstanden werden, wo man bei den Beweisen der Alten auf sie stöfst, und bedüifen insofern keiner Erklärung. Hier kommt es uns aber darai\f an klar zu legen, dafs sie eine wirkliche Methode bildeten, die vor Euklids Zeit entwickelt sein mufs, und welche die Alten mit so grofser Fertigkeit anwendeten, dafs die Einübur^ derselben sicher mit zu einer guten mathe- matischen Ausbildmig gehört haben niufs. Um das nach- zuweisen müssen wir das erste uns bekannte Auftreten dieser Operationen im tersuchen, nämlich in Euklids zweitem Buch, das durch und durch auf dieser Methode aufgebaut ist.

Die 10 ersten Sätze im zweiten Buche Euklids lassen sich folgendennafsen schreiben :

1. a(b -[- c -j- rf -|~ . . .) = ah -]- ac + ad -\- . . ., ± («4-6)2= (a + 6)«J-(«-L&)6,

3. (ö-j-i)« = «*-]~c(&,

4. (« + ö)2— a^J^b^4--2ab,

5. (r — 6)6 + (^a — &f = (^a)- oder

(«-ö)*-K*-i«f=(i«)^

6. {a + b)b + (ia)2 = {^a + hf oder b{h-a) + (^aY^{b-\a)\

7. ff2_u&ä_ ^ab + {a~hf,

8. ^ab + {a — hf^ {a + bf,

9. {a — bf-^b''='i{\af-\-%{\a — bf oder («_i)2+5^=2(i«)^-!-2(6-i«)^

■10. &= -I- (n -I- hf = 2 ( J a)* -L- 2 (i « + hf- oder (6_«)^+&ä= 2(i«)^4-2(&-i«)=. Diese algebraischen Darstellm^en lassen sich übrigens etwas verändern durch Änderung der Bedeutung der Bezeich-

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Geometrische Algebra; Euklids

13

nungen, welche «ir den Abständen zwischen den Punkten emer Linie geben.

Unsere erste Gleichung ist nui' ein Ausdrucl;; dafür, dafs ein Rechteck durch Parallelen zu der einen Seite (der Höhe) in neue Rechtecke geteilt wird, deren Grundlinien zusammen die des gegebenen ausmachen. Die Sätze 2 und 3 sind solche specielle Fälle von 1, in welchen ein Rechteck mit einem Qua- drat vertauscht ist. Die Gleichui^ 4 mufs aiifgefafst werden als Ausdruck fiTir die in Fig. 1 dargestellte Zerlegung eines Quadrates mit der Seite (i-\-b. Die Gleichung'en 5 und 6, von deren weiterer Bedeutung wir bald reden iverden, drucken auf

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1 ab

1

dieselbe Weise die auf 4 gegründeten Eigenschaften bei den Figui-en 2 und 3 aus, wo G die Mitte der Strecke AB, die wir gleich fl gesetzt haben, ist, während DB oder AD h genannt ist, und auf ähnliche Weise drucken 7 und 8 Sätze aus, deren Richtigkeit unmittelbar an den Figuren hervorlritt, deren Eigen- schaften sie darstellen.

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11 F y 1 ■

Das m lie'ien Sitzen mgewindte Veilahien hlst si h iitt allgemeinen benutzen lun den geometiischen Satz zu bewei'ien weichet dem algebiaihchen enti^pucht dafd mehi^liedr^e (riofsen niultipüciert werden mdem min ille ftliede: dei emen mit allen Gliedern dei anderen Giof-ie multipliciert Die beiden letzten Identitäten 9 uud 10 la&sen sich entwedei auf dieselbe Weise 1. iei aus den voihei-gehenden Sätzen ableiten ibei Euklid zieht es -voi den schon im ersten Buche bewie=!enen Pythagoiei&chen Lehibat^ zu benutzen

Da sich fiär die entwickelten Sätze, wie wir sehen werden, bestimmte Anwendur^en nachweisen lassen, und da die ent- sprechenden algebraischen Sätze zimi Teil auch in unsem Lehrbüchern der Algebra ausdrücklich heiTorgehoben werden, so bietet der Umstand, dafs Euklid nur diese nennt, kelnes- w^s Veranlassung zu dem Glauben, dafs dies die einzigen Änwendui^en sind, welche er und seine Voi^änger von dem benutzten Verfahren machen konnten. Man kann im Gegenteil sagen, daCs die Anwendungen zahlreich genug sind um An- leitung zu geben dasselbe Verfahren überall anzuwenden , wo es anwendbar ist.

Aufser der hier benutzten Multiplikation mehrgliedriger Gröfsen, verbunden mit emer Vereinigung durch Addition und Subtraktion, tiifft man bereits im ersten Buche Euklids die geometrische Operation, welche der Division eines Produktes von zwei Gröfsen durch eine dritte entspricht. Diese besteht darin, die aus den beiden ersten gebildete Fläche an die dritte anzulegen {7:apaßdXXstv) , d. h. dasselbe in ein Rechteck mit der dritten als Seite zu verwandeln. Dadurch wird man auch in den Stand gesetzt, die Summe oder Differenz solcher Rechtecke, welche keine Seite gemeinschaftlich haben, zu, einem einzigen Rechteck zu vereinigen.

Radicierung oder Lösung rein quadratischer Glei- chungen haben wir in der Aufgabe ein Rechteck in ein Quadrat zu verwandeln, wozu Euküd (II, 14) unsere Konstruktion der mittleren Proportionale benutzt; da er aber noch nicht zur Proportionslehre gelangt ist, so beweist er die Richtigkeit der

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Mulüplikalion, Division ; quadratische Gleichungen.

Konstruktion durch den pythagoreischen Lehrsatz. Sein Bew der am nächsten der algebraischen Umfonnung

ent'^iitht !St im ubiigen aut den voi beigebenden Sitz ü ge- stutzt hatte sicii aber ebtnso leicht luf den Satz 6 giunden iabsen Ob nnn den emen odei den andeien 7u bf nutzen hat, beiulit daiaui ob man beim Beweibe odei dei Heileiturig, denn die Ii.onstnik.tion ist dieselbe — damit beginnt eine der Stiecken a und b entwedei aut dei andeien odei auf dei Aer- langeuing dei andeien abzutiagen^)

Um demnächst zu erfahren, wie weit die Bekanntschaft der Alten mit gemischten quadratischen Gleichungen und deren Lösung oder Reduktion auf rein quadratische Glei- chungen sich ei-streckte, wird es zweekmäfsig sein zu prüfen, welche Gestalt die quadratische Gleichung in der Sprache der geometrischen Algebra annehmen mufste, und welche Hülfs- mittel diese demnächst dai'bot um die Lösung zu finden.

Wir wollen zuerst die Gleichung

A^+ ax = b^ (1)

betiiehten wo wu uns denken dafs das konstinte Glied welches ledent-ills eine Flache dai'-tellen muf& m ein Quidiat vwmndplt ist ein Vei« uidlun^ welche wenn die Flache Pist

) Wenn EuUil &Utt j den Satz G ienutzt unJ Ictt Beweis tüi diesen Hulfssati in den Beweis fi die Konstruktion hineingezogen hätte so wirde diese Begrindung Tollkommen flhei einstimmen mit einer Her leitung lerselben Lonatruktion w eiche ?ich 1 ei dem mdisehen Mathe tiLei Baudhayana findet (vergl Cantor ^ oilesungen y ofa) Ich bin deahall mit CantDi vollkommen dann einig diese Herleitung für libei einstimmend mit der piechisohen (reometne zu halten während Hankel dmchgehends geneigt ist die Anwendungen Ton Flächen opeiationen fui der lodisjchen Geometrie eigentümlich und dei giiechi chen ftemd zu betiachten Diese AufEassung wird widetlegt weiden durch unseie Dail^ui^ dei Rolle welche FlSchenojerationea sowohl in dei elementaien Geometiie dei &iiechen nie m ihiei Lehie von den kegelschnittpn gespielt haben wenn dieselben auch an beiden Orten in das stienge liewaal gnechischei DaPit('llni^''kun'!t ge

UPll^t IT 1

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10 Ei'ütei Abschnitt.

ZU einem Rechteck gemacht ist, durch den eben erwähnten

Satz II, 14 vorgenonmien %Yird. Dieses Quadrat soll gleich der

Summe aus dem Rechteck ax mit der gegebenen Seite « und

der unbekannten Seite x

- und aas dem Quadrat über dieser letzteren Seite sein. 1 Die Äu%abe besteht also I darin, an eine gegebene ; Linie AB = « ein Rechteck j {AM) von gegebener Gröfse ■' b^ anzul^en, so dafs ein Fig,4, Quadrat {BM) = x^ übrig

bleibt. Diese

sogar ihrem Wortlaute nach als specieller Fall miteinbegriffen in Eukl. VI, 29, wo nur das Rechteck vertauscht ist mit einem Parallelogramm mit gegebenem Winkel, das überschiefsende Quadrat mit einem Parallelogramm {7:apakXTjkÖYpaii!iov bnsp- ßdlkov) von gegebener Form,

Wenn wir uns nun an die Lösung der gestellten Aufgabe machen, so setzen wir von den früher ersvähnten Sätzen den Satz 4 und die dazu gehörende Fig. 1 als bekannt voraus. Indem wir dann, um eine Analysis von derseUien Art zu be- kommen, wie die Alten sie benutzten M, damit beginnen uns

) Euki J fediPiit id m leii Eieneniei milAi llonius last nl e ill m beinei Lehie ( n den Kegel chmtten dei ynthetisiihen la Stellungsart welche dann besteht lueist den Satz odei die Aui gäbe \i eiche bPHie'sen adei gelöst werden '■ollen anzugelien iii letzteren Falle denuiachst die Lösung filgen zu lasien und ealhch m bellen FSUen ziletzt den Beweis fu den aufgestellten !sitz olei he Lusung zu geten Auf lie em Wege erfahren wir difs das jenige was aii«gesagt iht wähl ist aber nn,hf wie man taranf ge kommen, ist es zu sagen Etwas niehi eifahri man unmittell ai wenn die Alten auch die Analysis einer Anfgaie mitteilen welche dann besteht sieh lieselbe gelöst ca. denken und ans diesei Voiaus Setzung aolehe neue Verbindingeu abzuleiten welche zm wirklichen Lösung dienen können Dasselbe kann man in der Regel dadu ch eneichen daf« man selbst au dei loiliegenien synthetischen Ddi btelluns, luichLmkehiung aÜerOperatiouen dieAnaljflis büdet welche in jeden Falle ange^randt sein kmnte und m fielen Fallen lon den

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Quadiatische Gleichungen. 17

die Aufgabe in Fig. 4 gelöst zu denken, so liegt es nahe, dem- nächst durch Umfomiuiig der Figur zu versuchen ein Quadrat von bekannter Gröfse zu bilden. Das läfst sich erreichen, wenn

\1 n kl I tr It o le t I Fe if 1 The 1

et as al nl cl e i da as e i sanen Je Re el al Ant o t

auf e ne 1 age also al Ll&ung e ne ge e A fgal e he a hte

Verden kau

Be Hankel Zu Cesch cl te de M-itleuatk u v S 137ft ii det -i cl e ne sehr hTLsche uad durch Beis} e!e e la terte Schilde r ng ie Analy s md Syuthes s der Alten Icl will he en Be sp el aus de neueren MatI ematik anfth en reiche eile d t am deuti chsten de re n Ig sehe Ausbeute de he le Operat onen ze ften vn d dafs änl ch de Änaljs s ^u allen len Lösungen flUi-t de ene Angabe Qbe 1 aupt hahen iain so dafa nan dagegen ge 6 che t V rd gend e ne zu erges ca Tal rend n au d I einen jnti t' h n Beweis Sich der Richtigkeit der Lösungen vers h "t zu d n n man gelangt. Das Beispiel ist die Behandlung einer belieb g n A % b n der Weise, dafs man sie auf eine Gieielmng brii^t 1 e lö t nd die Lösui^en einer Probe untenvirfl. Der oder den Unb kannt n n Bezeichnung za gehen und dieselben in eine oder meh Gl hung n einzuführen ist dasselbe, als wenn man sich diese befn dipt, als di Au%abe gelöst denkt. Diese Operation, in Verbin- dung mit der Lösung der Gleichungen, macht eine Analysis aus; das Probieren der Wurzeln ist der synthetische Beweis für die Richtigkeit der gefundenen Lösungen. Diese Probe läfet sich entbehren, wenn in der Analysis keine Operationen gehraucht sind, welche sieh nicht um- kehren lassen, dagegen nicht, wenn man durch Potenzieren ein Wurzel- zeichen fortgeschafft hat, welches nach der Voraussetzung mit einem geivissen Vorzeichen genommen war. Auf diese Weise würden die Alten in vielen Fällen ihi-e Synthesis hahen entbehren können, nach- dem sie die Analysis aufgest^t hatten, wenn sie bestimmte Regeln daflii- gehabt hätten, welche von ihren Operationen umkehrbar waren. In Ermanglung dessen versicherten sie sich in der R^el durch eine Synthesis, welche in einer durchgeführten Umiehrung der einzelnen Operationen der Analysis bestand, dafs die auigestellten Lösungen richtig ivaren. Wo sie die Analysis unterliefsen, erhielt man dagegen keinen Beweis dafür, dafs nicht andere Lösungen möglich waren.

Die Worte Analysis und Synthesis werden in der Folge stets nur in ihren einfachen antiken Bedeutungen ge- braucht werden, und die Adjektive analytisch und syn- thetisch in Übereinstimmung hiermit. Nur wenn wir von ,der analytischen Geometrie" sprechen, verstehen wir darunter im besonderen die Cartesische, wenn nicht ausdrücklich etwas anderes bemerkt ist.

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18 Erster AliscliniU.

man das Rechteck (KB) in zwei Hälften teilt und darauf in Übereinstimmui^ mit Fig. 1 die eine Hälfte (KC) so umlegt, dafs die ganze gegebene Fläche

(KD) = ^.-^ax + x"~ = b^ zu einem „Gnomon" würd, welcher m Verbindung mit dem be- kannten Quadrat {|a)^ ein Quadrat von dem bekannten Inhalt 6^+ {^af ausmacht. Die Seite desselben CD = x + ^a ivird demnächst durch den pythagoreischen Lehrsatz bestimmt, und dadurch ist die Aufgabe gelöst, denn nun läfst sich der Punkt D konstruieren, x = BD wird dann auch gefunden sein.

Abgesehen von dem Unterschiede zwischen der geometri- schen und algebraischen Darstellungsform haben wir hier genau dasselbe ausgefühi't, als wenn wir jetzt die aufgestellte Gleichung dadurch lösen, dafs wir auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens i^ay addieren. Und gleichzeitig zeigt es sich, dafs unsere Analysis vollkommen zu der Synthesis pafst, welche wir mit Beziehung auf die verallgemeinerte Aufgabe bei Eukl. VI, ä9 finden.

Dafs man nun auch ohne diese auf Euklids (oder Eudoxus') Proportionslehre gegnindete Verallgemeinemi^, und wahi'schein- licb früher, genau dieselbe Lösung auf die von uns behandelte speeiellere Aufgabe angewandt hat, geht daraus hervor, dafs Satz 6 des zweiten Buches eine vollständige Andeutung zu der- selben Lösur^j giebt, wie dies sowohl die mit Fig. 4 ganz übereinstimmende Fig. 3 als auch unsere algebraische Dar- stellung desselben (wenn man b mit x vertauscht) zeigen.

Fig. 3 oder 4 zeigen ferner unmittelbar, dafs dieselbe Auf- gabe auch in der Foraa gestellt sein kann, zwei Strecken AD und BD zu bestimmen, deren Differenz a mid Rechteck b^ gegeben sind. Das bemerkt Euklid auch ausdrücklich Data 84. Die Strecke AD würde Wurzel der Gleichung

a;^— Ö3; = h^ (2)

sein, was wir auch durch unsere zweite algebraische Darstellmig des Satzes 6 ai^edeutet haben. Eben deshalb braucht Euklid nicht die geometrische Äu%abe, welche die unmittelbare Über- setzung dieser Gleichung Sein würde, besonders zu bebandeln; denn jede Frage, welche von dieser Gleichung abhängig ist.

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Quadratische Gleichungen. 19

lälst sieh in Abhängigkeit von der sorgMltig behandelten Glei- chur^ x^+ ax ^= h^ brJi^eii. Da n^ative Gröfsen unbekannt waren, so erhielt jede von diesen Gleichungen nur eine Wurzel. Auf ganz ähnhche Weise ist die Gleichung

ax — x°-= 5^ (3)

bei Euklid behandelt. Diese mufs geometrisch t'olgenderraafsen ausgedrückt werden i an eine g^ebene Strecke a ein Rechteck von gegebenem Inhalt h^ so anzulegen, dafs die fehlende Figur ein Owadi'at wird. Diese Aufgabe, deren Lösung aus Euklid II, ä {vei^l. Fig. % wo dann AB = «, {KD) == J^ und BD = x) hervorgeht, findet sich verallgemeinert in VI, 38, so dafs das Rechteck mit einem Parallelogramm mit gegebenem Winkel vertauscht wird, das Quadi-at mit einem fehlenden Parallelo- gramm {napaXhih'ii-pajiiiov Ihlti-nov) von gegebener Fomi. Die Lösui'^ ist auch hier in anderer Sprache dieselbe wie die der jetzigen Algebra, indem sie darin besteht durch Subtraktion

beider Seiten der Gleichung von ( -^ 1 ein Quadrat über der CD = -^ — X mit bekanntem Inhalt |-^j —6^ zu bilden.

Der Lösung, welche in VI, 28 vollständ^ angeführt wird, wird in VI , 37 eine Redingung für die Möglichkeit voraus- geschickt, welche für den hier behandelten Fall darauf hin- auslaufen würde, dafs die Fläche h^ nicht gröfser als (-^-1 sein darf.

Indem Eidilid im Beweise für die Unmöglichkeit, dafs

ftä > [^ j , einmal x<,AC (Fig. 2), und dann x> AC {was sich

an Fig. i dadurch darstellen liefee, dafs man x = AD setzt, wo- durch das Rechteck mit gegebenem Inhalt die Grmidhnie BD erhalten würde) zu nehmen versucht, giebt er zu erkennen, dafs er sehr wohl weJfs, dafs der Au%abe, welche durch die Glei- chung ausgedräckt mrd, ebensowohl genvigt wird durch x = AD wie durch x = BD. Wenn er nichtsdestoweniger VI, 28 nur eine Lösung angiebt, so mufs das entweder darauf beruhen, dafs er meint, die gestellte Aufgabe enthaJte nur die Forderung ein Rechteck anzulegen, welches der gestellten Redii^mg genügt,

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nicht aber alle solche Rechtecke zu finden, oder darauf, dafs dasjenige, welches Euklid finden mü, eben das Rechteck AM ist, welches an AB angelegt wird, und dies bleibt dasselbe, einerlei ob es an cUese Linie mit der gröfseren Seite läi^s AD oder mit der kleineren längs DB gelugt wird, wemt auch das fehlende Quadrat verschieden wii'd^).

Diese letztere Erklärung erscheint namentüeh natürhch, wenn man beachtet, dafs Euklid sowohl in Satz 85 der Data wie im Hülfssatz zu den Elementen X, 18 die eben beschriebene Flächenaniegui-^ zur Bestmimung von Strecken benutzt, von denen die Summe sowohl wie der Inhalt des daraus gebildeten Rechtecks gegeben ist. Diese symmetrische Aufgabe hat nur eine Lösung, und dafs Euklid auch nicht von mehr als einer Auflösung in der mit dieser Aufgabe wesentlich identischen Flächenanlegung spricht, ist eigentlich nicht auffälliger, a\s wenn ein Schriftsteller der Gegenwaii den Gleichmigen

xy = Iß nur die Lösungen

beilegt, im Vertrauen darauf, dafs die Symmetrie zu augenfällig ist, als dafs es nötig sein sollte ausdrücklich hervoraulieben, dafs die beiden "Werte sich auch vertauschen lassen^).

Jedenfalls ist es umichtig aus dem Umstände, dafs bei Euklid eine ausdrückliche Erwähnung der einen Wurzel einer quadratischen Gleichui^ in dem Falle fehlt, wo dieselbe wirk- lich zwei (d. h. zwei positive) hat, und aus einem entsprechenden Mangel bei Diophantus zu schliefsen, dafs den Alten über- haupt der Sinn fehlte für die Bedeutung einer Untersuchmig darüber, wie viele Lösungen eine Aufgabe haben könnte'').

') Vergl. Buch X, 43 ff., woriu EiiUid sagt, dafs es nur einen Punkt Riebt, welcher eine Strecke auf eine gegehene Weise teilt, aber im Beweise ausdrücklich bemerkt, dafs er den zweiten Punkt aussehliefst, der die Strecke in dieselben beiden Ahschnitte teilt.

') Man vergleiche die citierte Arbeit von Tanneiy.

') HaEkel hebt diesen Mai^l a. a. 0. S. 162 in sehv starken Ausdi-flckeu hervor.

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Beide LJsHngen waren den Griechen liekannt. 21

Dafs dies nicht der fall gewesen ist, geht deutlich aas der Art imd Weise hervor, wie Apolionius in der Vorrede zum vierten Buch über die Kegelschnitte^) den Diorismiis (Abgrenzung) einer Aufgabe bespricht. Dieser besteht nach dem Wortlaut des Namens vor allem in einer Ai^abe der Grenzen , innerhalb deren eine Aufgabe überhaupt möghch ist — und eine solche giebt Euklid, wie wir gesehen haben, für die cjiiadratische Gleichung in VI, 27 — ; aber die Aus- drücke des Apolionius zeigen, dafs der Diorismus zugleich den Zweck hat die Grenzen anzugeben, innerhalb deren eine Auf- gabe eine gröföere oder geringere Anzahl Lösungen haben kann, und dann zu sagen, wie viele sich in jedem einzelnen Fall ergeben.

hl genauester Übereinstimmui'^ hiennit steht aufser vielem anderen Apolionius' eigene Anwendung der Flächenanlegung oder der quadratischen Gleichungen in der durch das Arabische erhaltenen Schrift über den Verhältnisschriitt^), Der Inhalt dieser Schrift, den wir im löten Abschnitt genauer besprechen werden, besteht in einer Behandlung der geometi'ischen Auf- gabe: durch einen Punkt eine gerade Linie zu ziehen, welche auf zwei gegebenen Geiaden \un g^ebenen Punkten an Stücke abschneidet, welche m emem gegebenen Verhältnis stehen. Diese Aufgabe iviid gelost duirh Zurückfühmng auf Flächen- anlegung, welche bis auf den Unterschied, dei zwischen unserer und der geometrischen Algebia besteht, mit einer modernen algebraischen Behandlung und Zurückfflhrui'^ auf eme Gleichui^ zweiten Grades übereinstimmt. Die Aufgabe ist aUeidings m so viele Fälle geteilt, dafs die Wurzeln, welche biauchbar sind, jedesmal er^en Grenzbedii^ir^en unterworfen sind; aber sofern zwei Lösungen innerhalb dieser Grenzen vorkommen können, versäumt Apolionius nicht es anzuführen. Dies geschieht über- dies in einer Form, welche eine vollkommene Vertrautheit mit der Thatsache verrat, dafs der Grenzfall, wo die Gleichung {3}

') Man vergl. unseren Anhang ') Lateinisch lievaiisgegebea vo

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22 Ei'ster Alwcliiiilt.

niu' eine Lösung hat, den Übergang zwischen solchen ]>ildet, wo zwei oder wo gar keine vorhanden smd.

Bei Betrachtung der im sechsten Buch wirklich ausgeführten Fiächenanlegui^en haben wir gesehen, dals das, was die Sätze 5 und 6 des zweiten Buchs angeben, eben dieselben Um- foimungeu -^lul in denen lie Ausfnhiuog dei Flafhenanlegung in dei ■von uiib diigestellten tomi be'iteht odei dals sie die Lo-jung dei ^eoinetnschen Algebia von den Gleichungen

r -uflj;4-5 - 0 ai^eben wo£ eine Flache bedeutet die m emei sokhen Form gegeben ist dafi> %ie sich in ein Quadrat verw andeb lafst. Dals EiiMid e^ biis runi sechbten Buch aut&chiebt eben liese Auf- gaben ausdiuckhch zu stellen und zu lo'^en hat seinen uatür- hchen Grund dann dafs ei doit ei-^t mit Hulte der Pioportions- lehiP denselben die Ei vs eiterung geben kinn \on der wii' iiier abgesehen haben deitn iljiebr'U'^chp Bedeutung ^^]I aber bald genauer untei-auchen neiden

Wenn nun also die Äustuhiing lei FUchen "inlegung im zweiten Buch aucl nm m Fcim \on Sit/ei gegeben wArA, so bezeugt das \ oitoninieii nn dieijei Stelle doch daf'^ dieselbe unabhängig von der neuen Piopoit on lehre ist und sicher vor dieser bekannt war. Das wird voUkomraen bestätigt durch den bei Proklus*) aufbewahrten Bericht des Eudemus, dafs mEui die Fiächenanlegui^ den Pji;hj^oreern verdanke.

Lange voi Euklids Zeit kannte nan also die Losung der gemischten quidiitischen Gleichimg wie sie hiei doi^estellt ist, und hat dieselbe y^ie sich au-i der ausdruckhchenHei^orhebur^ dieses Gegeubtandes eig ebt int Fleifs behiideit Die Frage wird also demnach t sein Vis zu ^ elchem Umfange man hieraus JNutzen zu ziehen verstand Die n eisten Autoren scheinen gei eigt diesen Un fing ziemlich ei^ ? begrenzen ; sie nennen Euklid Losunj,en ge netii-^ch mid scheinen damit lueh au diu ken zu eilen dnfs er die pU en i er amc ein in \ielen Fallen i utzbches Hultsmittel mneil ilb lei Gjometrie

') Fi'ieiUeins Ausgabe von Pruklus' Konmieiit;u' -mm Euklid, S. 41!).

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Numerische Aullüsung der quadratisch en Glfiichung.- 33

selbst angewendet habe, während sie die numerische Lösung der Zeit nach nur bis zu den ersten Sehriftsteilem zuröckfüliren, bei denen sie ausdriicldiche Beispiele füi' solche gefunden haben ^). Die Auffassung, die ich hier festhalten werde, besteht dagegen darin, dafs die geometrische Darstellung für die Griechen die Darstellung allgemeiner Gröfsen war, und unter diesen auch speciell derjenigen , welche sich dm'ch Zahlen oder Zahlen- verhältnisse darstellen lassen, oder der rationalen Gröfsen, dafs deshalb die geometrische Lösung von Gleichungen zweiten Grades für sie die allgemeine Lösung darstellte, die im be- sonderen die numerische mit enthalten mufste. Der Grund, weshalb man der FJächenanlegur^ eine so grofse Bedeutung beil<^e , würde dann der sein , dafs diese den alten Grie- chen das gewährte, was die Lösung der Gleichungen zweiten Grades uns gewährt. In diesen Anschauungen stimme ich, soviel ich sehe, vollkommen mit Tannery überein, aus dessen Schrift ich auch mehrere meiner Argumente für das hohe Älter der Bekanntschaft mit der numerischen Lösung der quadrati- schen Gleichungen entnehme.

Als einen Gnmd für die Annahme, dafs man nicht aus- scMiefslich die geometrischen Anwendungen vor Augen hatte, mufs ich zuerst den Umstand berühren, dafs die von Euküd mitgeteilte Lösung, wie ich gezeigt habe, ganz mit unserer algebraischen übereinsthnml, aber an geometrischer Einfach- heit hinter den Verfahnmgsarten zui'ücksteht, deren man sich jetzt gewöhnlich zur geometrischen Konstruktion der Wurzeln einer Gleichung zweiten Grades bedient. Hätte man eine solche gewünscht, so würde man zu den Zeiten Euklids, wo die Konstruktionslehre so hoch entivickelt wai-, sicherlich verstanden haben Lösungen von Aufgaben, mit denen man sich so lange beschäftigt hatte, auf eine möglichst grofse geometrische Ein- fachheit zu bringen.

Die besten Argumente mufs man indo';t^en in den auf-

') Auf diesem A\ege gelangt Cantor am weitesten rückwai-ts indem ei rV oile''ungen b 341) eine numeri'jche Loaunst einei quadritisclieu M^ichun^r bei Heron (etwa 100 y.f hi ) nachten lesen hat

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24 Erster Absc}initt.

bewahrten Anwendimgen der Lösungen suchen. Die am voU- ständ^ten durcl^eführte Behandlung solcher Anwendur^en hat man in der eben ar^eführten kleinen Schrift des Apol- lonius über den Verhältnisschnitt. Hier wie an vielen anderen Orten sind freilich die Aufgaben, welche auf Flächen- anlegimg zurücl^eführt werden, von vornherein geometrisch; aber wir haben bereits ausgesprochen, dafs die ganze Behand- lungsweise in dieser Schrift sehr nahe mit einer a^ebraischen Behandlung derselben Aufgabe öbereinsimmt. Es wird so syste- matisch zu Werke gegangen, dafs es deutlich wird, dafs Flächenanlegur^ für die Alten kein Hülfsmittel war, welches sich wohl oft aber doch ziemlich zuial% in der Geometiie an- wenden läfst, sondern dafs es eine Form der Bestinmiui^ war, der man principmäfsig zueilt, wo sich Aufgaben überhaupt durch Gieichur^en zweiten Grades lösen lassen.

Was nun Lösungen numerischer Gleichungen betrifft, so durfte man, selbst wenn es überhaupt bei Euklid Gebrauch gewe- sen wäre Beispiele zu geben, nicht erwarten, solche im zweiten oder sechsten Buch zu finden. Ein Zahlenbeispiel würde — wenn die Wurzeln rdeht als negativ oder imaginär ganz aufserhalb des Auffassui^sbereichs der Griechen lagen — entweder zu rationalen oder zu irrationalen Wurzein führen. Im erstereu Faüe würde ein solches Zahlenbeispiei als irreführend zu be- trachten sein, da es leicht die falsche Vorstellung erwecken würde, dafs die gefundene Lösung nur auf das er^ere Gebiet der rationalen Gröfsen anwendbar sei; es müfste jedenfaUs in das 7te— gteBuch verwiesen werden, dessen Behandlung dieses eiferen Gebietes indessen durch und durch von einer zu theore- tischen Beschaffenheit ist, als dafs man berechtigt sein könnte daselbst Beispiele für praktisch durchgeführte Rechnungen zu erwarten.

Whd die Lösung dagegen irrational, so ist dieselbe nach dem Zablenb^riff der Alten nicht mehr numerisch, sondern eine solche, für welche die geometrische Dai'stellui^ als unent- behrlich betrachtet wurde. Die Untersuchungen dai'über, ob dies eintritt oder nicht, sind, in das lOte Buch Euklids verwiesen, welches also durch seine blofse Existenz bezeugt, dafs man die

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Xunierische Aiitlösung der qi\a<3i-atischen Gleichung. 25

Lehre von der Lösung quadratischer Gleichungen auf nunierische Aufgaben ange^vandt hat. Im besonderen kann auf den Satz 18 verwiesen werden, der sich ausdrücklich an unsere Gleichung (3) (11, 5; VI, 28) oder noch unmittelbarer an die anschliefst,

worin b mit -g- vertauscht ist, also

Dieser Satz spricht aus, dafs die notwendige und ausreichende Bedingung dafür, dafs man mittels dieser Gleichung a in kom- mensm'able Abschnitte teilt, die ist, dafs die Seite dos Quadrats, welches die Differenz zwischen a^ und b^ ist, oder j/«^— &*, mit (t kommensurabel ist. Wir finden mit anderen Worten die Bedingung, unter welcher, wenn a als in Zahlen gegeben (oder als Einheit) angenommen wird, das Verhältnis der Teile zur Einheit sich durch Zahlen ausdrücken läfst, oder die Wurzeln rational sind. Der Beweis stützt sich auf den Satz II, 5, also auf die geometrische Lösung der Gleichung.

Da nun die Frage nach Rationalität oder Irrationalität nur Bedeutung hat, wenn man von kommensurablen Gröfsen oder solchen, welche sich durch Zahlen darstellen lassen, ausgeht und dann untersucht, ob man auch zu kommensurablen Gröfsen gelangt, und ob die Lösur^ sich also auch nach der Auffassung der Alten numerisch durchführen läfst, so liegt hier ein ganz bestimmter Beweis dafür vor, dafs die Alten ihre Lösung der quadratischen Gleichungen auch auf numerische Aufgaben anwendeten.

An diese B^ünaung schliefst sich eine neue und bedeu- tungsvolle Anwendung von Euklids lOtem Buche an. Dieses enthält eine Reihe von Sätzen darüber, dafs verschiedene — in der geometrischen Form der Alten dargestellte — Ausdrücke, äi denen mehrfach Quadratwurzeln vorkommen, irrational sind. Aus diesen Sätzen darf man gewifs schliefsen, dafs man die Gleichungen, welche zu diesen Ausdrücken führen, gekannt und behandelt hat. Dafs man versucht hat dieselben numerisch (d. h. rational) in den Fällen zu lösen, wo dies möglich gewesen ist, geht aus dem Nachweise der Unmöglichkeit solcher Lösungen

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2(i Erster Alischnitt,

hervor. Die Beweise dafür, dafs etwas unmöglich ist, sind lie- kanntlieh nicht leicht zu führen, und die Aufstellung so vieler hierher gehöriger Sätze zeugt also von emer sehr eii'^ehenden

Tannery hat in der citierten kleinen Schrift gezeigt, dafs die Gleichui^en höheren Grades, deren Wurzeln Euklid im loten Buch mit Beziehung auf ihi-e Irrationalität untei*sucht, Gleichungen zweiten Grades in x'^ und x* waren. Indem er das lote Buch m seinem Beweise für die frühere Bekanntschaft auch mit der numerischen Lösung quadratischer Gleichun- gen benutzt, hat er also dargethan, dafs man zu und vor Euklids Zeit nicht nur eben diese Gleichmigen behandelt hat, sondern die Behandlung auch auf solche ausgedehnt hat, die sich auf diese zurückführen lassen. Die Umfonnm^en irratio- naler Gröl'sen, welche EukHd in den Beweisen benutzt, stinmien zum Teil übei'ein mit unserer Verwandlung doppelt irrationaler Grölsen in einfach irrationale.

Wenn wn luf diese ^ ei'^e sehen daß Euklids Elementen eine alteie Bekanntschifi mit der numeii&chen Losm'^ quadri tisthei Gleichungen so wie sichei auch nnt dei nunieiisfhen Behandlung andeiei mehi elen entarer Äufgiben z Giiiidi. lag so wird uns die ganze Bedeuting de^ z\ieiten Biches wesenthch Udiei Es wuide vonusgesetzt dalb bokhe e« lesen wurden die sich vorher odei gleichzeitig praktische Bekinnt Schaft mit derartigen Recheni^eln en\oiben bitten und e'- sollte die^e dmch die ijtiingenten Beweise eiganzer deien Allgemeingultigkeit sie nicht nm ■luf nm lens he Äufg djen anwendbar machte oondem luch auf die geometiischen Untei Buchungen mit denen Eukhd sich m dei Folge beschift gen wollte "^0 md Ue Bew eise [o und ( ] fui die Lo ungen dei cpiadiahschen Glticl ungen neben len Beiiei'^en fiu Satze an gefuhrt die solche i^ebi'tische Formeln ausdrucken «le mm sie auch m unseren Schulen ay^wendig lemt namhch dei Ausdruck für {a -f hy [in 4] , für (« — 6)* [in 7] und für {a-\-b){a — h) [in 8]. Die geometrische Bedeutung dieser ver- schiedenen Sätze zeigt sich sofort durch ihre Anwendiii^ auf die Aufgabe des goldenen Schnitts [11]; auf die Relation zwi-

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Plan vom ziveiteii Buche Euldidfs. -11

sehen den Seiten eines Dreieciis und der Projelction der einen auf die andere [12 — 13], welche sicherlich auch schon vorher zur numerischen Ausführung geometrischer Berecimungen an- gewandtworden ist; femer auf die Venvandlung eines Rechteclfs in ein Quadrat [14] oder auf das geometrische Ausziehen der Quadratwurzel, das ein Hauptghed in der geometrischen An- wendung der quadratischen Gleichimgen ist, aber keine ent- sprechende arithmetische Bedeutung hat. Dafs dies zuletzt kommt, stimmt also durchaus mit unserer Äuffassui^ dieses Buches.

Während die drei ereten Sätze nur einleitend sind, müssen wir indessen noch zur Aufrechterhaltung unserer Auffassung den fehlenden Sätzen 9 — 10, für welche man gegenwärtig keinen sonderlichen Gebrauch zu haben seheint, eine bestimmte Be- deutung anweisen können. Dieselben stammen aus einer Zeit, wo das numerische Ausziehen der Quadratwurael gröfsere Schwierigkeiten bereitete als jetzt, und wo man deshalb Wert darauf legte ein besonderes Mittel zu besitzen um eine Reihe Näherungswerte von 1/2 zu berechneii. Ein solches Mittel bietet sich m einem Satze, der sich, wie Cantor*) bemerkt hat, bei einem arithmetischen Schriftsteller des späteren Altertums, Theon von Smyrna, findet, der EdDer, wie Tannery^) gezeigt hat, bereits vor Piatos Zeit bekannt gewesen zu sein scheint. Es ist ~ was ich anderswo nicht bemerkt gefunden habe — der exakte und aligemeingültige Beweis lür diesen Satz, welchen Euklid in den Sätzen 9 und 10 des zweiten Buchs m deijen^en Form giebt, welche dei'selbe an die&er Stelle annehmen mulste. Euklid begi-ündet also auch hiei' eine Rechenr^el, die bei den Lesern als befc;mnt vorausgesetzt werden konnte.

Bei dem Nachweise dieser Bedeutung der Sätze 9 und 10 wollen wir lieber statt der Umformungen, durch welche wir früher den beiden Euklidischen Sätzen so nahe wie möglich zu kommen gesucht haben, von den zugehörigen Figm'en selbst ausgehen. Ist C (Fig. 5 a und b) die Mitte der Linie AB. 1)

■) Vorlesungen S. 369.

^) Revue pliilosopliique, I, XI, S. ^01.

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28 Erster Abschnitt.

ein anderer Punkt derselben {Satz !>) oder ihrer Verlängerung (Satz 10), so isti)

AD^ + DB'' = 2^C«-f äCZ>^ oder

AD^—iÄC --= iClP — DB^.

Setzt man (fig.öa) CD='X, DB ^= y , so wird AD -■-= 'Hx-^y, AC = x-ry. Man sieht also, wenn x und y mit ZahleTi ver- tauscht werden, dafs man aus einer Lösung (x, y) der einen der beiden Gleichungen

'2xr-~y^ ^ ±1

eine der anderen in höheren Zahlen ableiten kann, nämlich

{x-^y, "ix -r y). Dasselbe Resultat läfst sich aus Satz 10

(Fig. 5b) ableiten, wenn man demselben folgende Form giebt:

AD^ —2CD^=^ 2 AC^ — BD\ ^)

) De Satz gl e 1 ka t u D nicht auf der Linie liegt.

) In Übe e n t mmung h e n t habe ch n Tidsskrift for Mathematik 1879 eine E klä ung de Arehii eis hen NäherimgsbrOche für 1^3, welche NaheTingb che abe n cht cce aive Näherungsbrüche eines Kettenbruchs siDd durch eine auf Euklid II, 5 gegründete Behandlung l?i ( leichungen

x'-3y' ^ 1,

\ei ucht Dl Tanneiy denselben Gedanken, unabtiängig von meiner Aileit weitei^tührt hat, und da Weissenborn eine andere derartige Lösung derselben Rätsel bei Archiiaedes gefunden hat, welche sich UKh aul ande e antike Wurzelausziehur^en erstreckt , so will ich mit BeziehuDb auf eine Unklarheit, die mir Günther zuschreibt (Die quadratischen IirationaJitäten der Alten S. 90), nur bemerken, dafs iiese auf eiDem Mifsverstehen meine.? dänisch geschi-iebenen Artikels beruht

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Kuklid 11, 9-10; \1, 27-29. 29

Wir hallen gesehen, dafs die Beliaimtschaft mit Gleichungen des zweiten Grades, welche bereits vor Euklids Zeit vorhanden war und weldie iiamentiich in seinem zweiten Buche Ausdruck fand, nicht oberflächlich und zufäüig, sondern mit einer voll- ständigen Kenntnis dessen verbunden war, wozu sich diese Gleichungen in der Geometrie und bei numerischen Rechnui^en gebrauchen Hefsen, Euklid und seine Vorgänger in der Ab- fassung von Elementen haben also die Sätze dieses Buches aufgestellt und bewiesen in dem vollen Bewufstsein, dafs sie auf dieselbe Weise benutzt werden konnten, wie es über ein Jahrtausend später von arabischen Schriftstellern, die sich eben auf Euklid stützen, geschab, entweder im Anschlufs an uns unbekannte Überlieferungen, oder mit einem richtigen Blick für das, wozu Euklids Sätze überhaupt nützlich sind'}.

Nachdem wh so mit der wirklichen Bedeutui^ der antiken geometrisch-a^ebraischen Lösung der quadratischen Gleichungen ins Reine gekommen sind, wollen wir uns dem sechsten Buche Euklids zuwenden und die algebraische Bedeutung der in diesem enthaltenen Verallgemeinerungen der Flächenanlegung unter- suchen. Hierbei ist es vollkommen gleicl^iltig, ob Rechtecke und Quadrate mit Parallelogrammen von gleichen Wmkeln ver- tauscht werden. Wir wollen deshalb hieiTon absehen und uns dauernd an rechte Winkel halten, wodurch die Erweiteiiuig darauf beschränkt wird , dafs bei der Anlegung der gegebenen Fläche B als Rechteck an die gegebene Linie a das fehlende oder üb er schief sende Rechteck statt ein Quadrat zu werden einem gegebenen Rechteck ähnlich sein soll.

Unsere Erklärung der Bedeutung dieses Verfahrens läfst sich am leichtesten an die bereits benutzten Figuren 4 oder 3 und 2 anschliefsen. Das Quadrat über BD ivird mit einem Rechteck vertauscht, welches einem anderen mit den gegebenen Seiten c und d, von denen c als die der BD homologe an- genommen werden mag, ähnhch ist. Das überschiefsende oder fehlende Rechteck wird daim, wenn wh' wie früher die un-

') Diese Anwendungen sind dargestellt bei Matthiessen, Giiiadzüge der antiken und modernen Algebra der litteralen Gleichungen, S.S93— 311.

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Erster Abschnitt.

• B p

Fig. ti.

M

/

Fit;. ^

bekannte Höhe AK des angelegten Rechtecks x nennen , den Inhalt -75-- crf ■=- -Ya;" haben. Die durch die beiden Flächen- anlegungen gelösten Gleichungen sind also folgende :

BX±jx' _ B. (4)

Durch Kombination der Proportionslehre mit den früheren unmittelbaren Flächenoperationen hat das quadratische Glied der quadratischen Gleichung also jetzt einen Koefticienten erhalten. Dieser Eoefficient ist überdies eingeführt ohne dafs es sonderlieh schmeriger geworden wäre die geometrische ÜEir- stellung festeuhalten, da die Forderung der Ähnlichkeit mit einem Rechteck (Parallelogramm), welches man über der Seite -3- zu zeichnen begonnen hat, durch die beiden Rechtecken gemeinsame Diagonale (Fig. 3 und 'i) veranschauhcht oder dem Gedächtnis eingeprägt wird.

Die algebraische Lösung der Gleichung (4), welche man für das obere Vorzeichen durch eine uimiittelbare Übersetzur^ von Euklid VI, 2'J erhält, ist

|-«~l/(f)+|i

indem der auf ähnliche Fairen ausgedehnte pythagoreische Lehrsatz auf Rechtecke von der Foi-m angewandt wü-d, welche das überschiefsende Rechteck haben soll, so dafs das Rechteck

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ErweiteL-te Formen d. quadi'. Gleich, im •>. Buche. 31

einen Kathete über Cß = -^ gezeichnet ist, wähi'eiid das letKlcre den Inhalt B hat und folglich die der c honiolog'e Seite gleich Y ^B haben mufs; dann erhält man

Auf ähnliche Weise ist ^_

die näehstli^ende algebraisciie Übersetziii^ von Euklids Lösung {VI, 38) der Gleichui^ (4), wenn man. das unlere Voi-zeichen benutzt. Was über die geringe Bedeutimg des Umstandes gesagt wurde, dafs Euklid formell nur eine der beiden Lösungen giebt, bleibt auch für die hier vorgenommene Erweiterung gült^, da die Strecke AB bei beiden Lösungen in dieselben beiden Ab- schnitte geteilt wu-d. Die Erweiterm^ der Gleichung (2) (S. 18) ist in der hier von (1) gegebenen mit einh^riffen.

Hier hegt also eine sti-er^ bewiesene Lösur^ der quadra- tischen Gleichung mit drei Koefflcienten vor. Wenn sich geze^t hat, dafs man bereits fifiher die numerische Auflösung nume- rischer Gleichungen mit dem quadratischen Gliede x^ gekannt hat, so ist anzunehmen, dafs man auch früher verstanden habe Gleichungen von der Form

hierauf zurückzuführen (z. B. durch Multiplikation mit «, wo dann ax als Unbekannte betrachtet wurde); aber auf eine allgemeingültige, d. h. auch für inutionale Werte von x gültige Weise hat man — auf Grund der drei Faktoren in ax^ — diese Gleichungen durch die geometrische Algebra mit zwei Dimen- sionen nicht darstellen können ohne die Proportionslehre des Eudoxus zu benutzen.

Apolloiiius verwendet in seiner Lehre von den Kegel- sclmitten dieselben Hülfsmittel , aber in etwas abweichender Form, zur Darstellmig derselben Gleichungen. Er zeichnet näm- lich das Rechteck, weichem das überschiefsende oder fehlende ähnlich sein soll, über der Strecke a selbst — oder denkt es sich über dieser Strecke gezeichnet — wodurch c = a wird. Indem

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32

Ei'stev Alischuitt.

ferner die Grörsen, welche wir hier x und VB genannt halben, Abscisse und Ordinate eines beweglichen Punktes einer Ellipse oder Hyperbel sind, die auf einen Durchmesser und die Tan- gente in dessen Endpunkt als Koordmatenaxen bezogen sind, so wollen wir die Bezeichnungen VB, a und d mit y , j} und a vertauschen , wo a und p den Durchmesser und den dazu ge- hörigen Parameter bezeichnen^). Die Gleichungen (4) werden dann (in umgekehrter Ordnung) zu

y" — px^^x"". (5)

welche durch F^. 6 und 7 dargestellt werden, in denen sich zugleich die Bedeutung von x = AC und y = CJD im Verhältnis zum Kegelschnitt zeigt. Das Quadrat über CD soll gleich dem Rechteck (AF) sein, welches an AE =^ 2' ^'^' gelegt ist, so dafs das feh- lende (Fig. 6) oder über- schiefsende (Fig. 7) Rechteck dem aus p und AB = a gebildeten ähnhch ist. Das wird dadurch erreicht, dal's die Diagonale EF durch B geht. Das Rechteck EF ist also gleich ^ x^ , ivähreiid Rechteck (CE) = px, wo- durch y^ = px^~x^.

Diese Relation drückt

i ^ I Apollonuio teds m Worten

aus teils durch die untei

lechlui \\inkela hinzut,efugtc Hult^flsiu' Die-^e letzteie geo-

metubche D^istellui^ ei-weist sich m doppeltei HiUbicht als

') Da lie finechiachen Geometei ge^^Öllnlldl die gauzen Duichmesser Axen und Parametei betrachten an ist es bequemei diese seilst an statt wie es gewöhnlich in dei analj ti=clien Geometrie geschieht ihie Hälften dm eh einzelne Buchstaben zu bezeichnen

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Apollonius' Darstellung der Kegelschnitte; ihi'e Bedeiituiij^'. ;ii}

nützlicl]. Einmal lälst dipsflbe sii;h immittelbar auf geometrische Konstruktionen anweiideii, namentlich zur Bestimmung so vieler Punkte der Kurve, wie man will, da die Relation (/^ = Recht- eck (ÄF) bedeutet, dafs jj die mittlere Proportionale ist zwischen x und der zugehörigen bis an die feste Hülfslinie BE gezogenen rechtwinkligen Ordinate Y = CF (welche m dem rechtwinkligen Koordinatensystem die

G-leichung Y = p'^^x hat). Zweitens hat mp für thenre-

tische Untersuchur^en eine ähnliche Bedeutimg wie die alge- braische Darstellung durch eine kurze und übersichtliche Formel, nämlich die, die Definition zu veranschauhchen und dadurch dem Gedächtnis einzuprägen. Diese letztere Bestinmaung tritt dadurch zu Tage, dafs Apollonius fortfahrt die Hülfsflgur auch da zu zeichnen, wo dieselbe nicht unmittelbar benutzt vnrd, oder wo die daran geknüpften Konstruktionen unter bekannte Nebenkonstruttionen gehören würden, welche die griechischen Schriftsteller sonst nicht anzi^eben pflegen. Ein anderes Zei- chen dafür, dafs dieses geometrische Hölfsmittel wirkhch eine ähnliche Bestimmung hat wie die Anwendung der Algebra, und dafs dasselbe wie die algebraische Formel eine gewisse Un- abhängigkeit von der geometrischen üntersuchur^ , auf welche es eben angewendet werden soll, besitzt, ist man vielleicht berechtigt ui dem Umstände zu erblicken, daf« die Hälfsfigur

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34 Ei'slei- Abscliiiitt.

unter rechten Winkeln gezeichnet ist und nicht — was am nächsten liegen ivnrde, wenn man nur einige HüLfelinien für die vorh^ende geometrische Figur zeichnen wollte — unter dem- selben Winkel, welchen die Ordinaten mit der Abscissenaxe bilden. Faktisch ist dieses Verfahren m jedem Falle ein Aus- druck dafür, dafs für alle Gröfsen dieses Winkels dieselbe Relation zwischen Äbscissen und Ordinaten stattfmdet.

Ein Beispiel für die Anwendung der Hülfsfigm' des Äpol- lonius als Konstruktionsmittel findet sich im 32sten Satze seines ersten Buchs und wird in unserem dritten Abschnitt (Fig. 15) genauer dargestellt werden; ein sehr hübsches Beispiel für die Änwendurg derselben als eines geometrisch-algebraischen Ope- rationsmittels findet sich im 15ten Satze desselben Buch und wird in unserem vierten Abschnitt (Fig. 17) eine genauere Dar- stellung finden.

Man wird sich nun eine Vorstellung davon machen können, m wie hohem Grade sich die antike geometrische Algebra für die Untersuchung von Kegelschnitten eignet. Ein grofser Teil der mchtigsten Eigenschaften derselben einlebt sich nämlich aas einer analytisch -geometrischen Untersuchung, wenn man den Kegelschnitt auf verschiedene Koordinatensysteme bezieht. So fmden z. B. die wichtigsten E^enschaften mit Beziehung auf konjugierte Durchmesser ihren Ausdruck dadui'ch, dafs es un- endlich viele Koordinatensysteme giebt, für welche die Gleichung eines Kegelschnitts die oben benutzten Formen (5) annimmt. Wenn man nun durch Betrachtung des K^elschnitts in seiner Lage auf dem K^el für denselben eine Gleichung in einem bequem gewählten Koordinatensystem abgeleitet hat, z. B. die auf eine Axe bezogene Scheitelgleichung, so geschieht der Über- gang zu neuen Koordinatensystemen durch lineare Substitutionen in die zuei-st gefundene Gleichung zweiten Grades, Die hierzu dienenden algebraischen Operationen zweiten Grades sind eben diejenigen, mit deren geometrischer Form die Griechen, wie wir aus dem zweiten Buche Euklids sehen, sehr vertraut waren. In den Gleichungen werden die Substitutionskoefficienten und die Koefficienten der Glieder vom zweiten Grade nämlich nicht durch Strecken ausgedrückt, denn dadurch würden die Gleichui'^en

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Anweiidhavkoit d, geom. Algebra auf die Kegelschnitte. 35

in den dmxh Sti'ecken dargestellten Gröfsen von höherem als dem zweiten Grade werden, sondern durch Verhältnisse, und diese Verhältnisse werden in der Regel unter ebenso leicht übersehbaren Formen wie in (5) eingefiährt. Zugleich wird alles darauf angelegt so viele Glieder wie möghch zu vereinten, so dafs die Gleichungen für die Kurven sehr oft nur ausdrücken, dafs, wie in den durch F^. 6 und 7 dargestellten Gleichungen (5), zwei veränderliche Flächen gleich grofs sind, oder auch dafs eine veränderUche Fläche einen konstanten Wert behält.

hl den Auflösungen der Gleichungen zweiten Grades hat man femer ein Mittel zur Bestimmung von Durchschnittspunkten mit geraden Linien gehabt, und in dem zu den Gleichungen zweiten Grades gehörenden Diorismus (Eukl. VI, 27) die Be- dingung für Berührung und dadurch ein Mittel zur Bestimmung von Tangenteil, Unter welchen besonderen Formen dieses Mittel angewandt und die erwähnten Ti'ansfonnationen der Koordinaten voi^enomraen wurden, wird sich aus dem Folgenden ei^eben.

Die Gleichungen für die Kegelschnitte sind stets als Glei- chui^en ersten Grades zwischen Flächen aufzufassen. Würde man einem griechischen Mathematiker gegenüber statt dieser überall die entsprechenden Produkte von Strecken einsetzen wollen, so würde er dies sicher als ein Zeichen dafür Einsehen, daJs man nicht wisse, dafs mcht alle Gröfsen von gleicher Art ein gemeinschaftliches Mafs haben; wo sie aber ein solches haben, wo also die Gröfsen, welche multipMciert werden, sich durch rationale Zahlen darsteUen lassen, würde er nach unserer Meinung diese Vertauschui^ selbst kennen und zu benutzen wissen. Zi^leich folgt hieraus, dafs er wahrscheinlich auch praktisch dasselbe gethan hat, wenn die Rationalität nicht stattfand, imd wenn es sich nur um ein angenähertes Resultat handelte ; ■ aber das gehörte dann nicht mehr in das Gebiet der exakten Geometrie.

Die Verbindung mit der geometrischen Algebra erklärt auch, weshalb im Altertum nur die Lehre von den Kegel- schnitten vollständig entwickelt wurde, während Untersuchungen über Kurven höherer Ordnung mehr vereinzelt geblieben sind.

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36 ErstRi' Atechnitt.

Bei dei' Darstellung tlieser genügte es nicht wie bei den Kegel- schnitten die Konstanten durch Verhältnisse auszudrücken um die Gleichur^ m einer übersichtlichen und bequemen geome- trischen Form dai^estellt zu erhalten. Eine Kurve dritter Ord- nung konnte man allerdii^ noch durch eine Relation zwischen Rauminhalten 1) darstellen, aber mit diesen läfst sich nicht so unmittelbar operieren wie mit Flächen. Wurde die Kurve von noch höherer Ordnung, so hatte man zur Darstellung der in ihrer Gleichung vorkommenden Produkte von mehr als drei variablen GrÖfsen kein anderes Mittel als die, in diesem Falle ziemlich unhandlichen, zusammengesetzten Verhältnisse.

Hierfür hat man Beispiele in Pappus' Darstellungen-) geometrischer Orter für Punkte, deren Abstände von zwei Systemen gerader Linien Produkte bilden, welche in einem gegebenen Verhältnis stehen. Diesen Örtem, deren Darstellimg Pappus als eine Erweiterur^ einer im Altertum wohl bekannten Bestimmut^ der Kegelschnitte anführt ohne damit iri:endwelche genauere Untersuchung zu verbinden, begegnen wir wieder in Descartes' Geometrie, wo sie eben zeigen, in welcher Richtwng man die Überlegenheit seiner analytischen über die alte (4eo- metrie zu suchen habe.

Um der Rolle willen, welche die geometrische Algebra in der antiken Lehre von den K^elschnitten spielt, ist es mit Rücksicht auf meine diesbezüglichen Untersuchungen für mich von Wichtigkeit gewesen mir eine solche persönliche Fert^keit in der geometrischen Form für elementare algebraische Opera- tionen zu erwerben, dafs der Gedanke an moderne Darstellungs- mittel nicht mein Urteil darüber beeinflussen kormte, welche Umformungen oder Darstellungsarten mehr oder minder nahe- li^end seien. Zur Einübung einer solchen Fertigkeit gewährt

') Dafs diese Darstellui^, flbei' welche später mehr folgen wird, auch auf numerische Untersuchungea angewendet wurde, sieht man aus den Benennungen körperliche und tubische Zahlen, und daraus, dafa die Bezeichnung ähnlich auch auf Zahlen angewandt wurde, die sich wie Kubikzahlen verhielten.

') Pappi Alexandrmi CoUectio, ed.Hultseh, Berolini 1878, S. ß4ü. — Pappus lebte etwa 300 n. Chr.

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87

ApoUonios Lehre von den Kegelschnitten selbst ein gutes Hülf's- mittel. Es geschieht nämiich oft, dai's Apollonius in seinen Beweisen ganz kleine Spmng'e derselben Art macht, wie wenn ein analytisch^eonietrischer Schriftsteller eme leichte Zwischen- rechnung dem Leser selbst überläfst. Übersetzen wir die Dai- steUnng des Apollonius in die Sprache unserer Algebra, so ist in fielen Fällen gerade eine solche Zwischenrechnung aus- gelassen, und diese Sprünge sind deshalb, indem sie die im übrigen breite Darsteüung abkürzen, vielmehr eine Erleichtemi^ für den modernen Leser. Da nun die Alten in den geometrisch- algebraischen Operationen ein wohl bekanntes Hülfsmittel be- safsen. welches auf dem in der Lehre von den Kegelschnitten behandelten Gebiet unserer Buchstabenrechnung äquivalent wai', so hegt die Annahme nahe, dafs es die Meinui^ des Apollonius war, seine Leser würden mit Hülfe dieser geometrischen Algebra leicht selbst die Behauptungen veiificieren können, welche wu- gegenwärtig durch eine leichte Buchstabenrechnung verificieren. Hätte er dagegen gemeint, dafs die Richtigkeit durch Anwen- dung bestimmter Kunstgriffe oder durch Zurückführung auf bestimmte Sätze in Euklids Elementen dargethan werden müfste, so wie Pappus es in den Hülfssätzen macht, welche er an die meisten von diesen Stellen bei Apollonius anschliefst, so würde er wahrscheinlich ausdrückliche Erläuterungen hierfür gegeben haben. Denn er wai- berechtigt gewisse Forderungen an die Fertigkeit, aber nicht an die Erfindungski'aft seiner Leser zu stellen.

Wenn also z. B Apollonius im Be- weise für den 24sten Satz des dritten Buchs ohne ii^endwelchen be- sonderen Beweis darauf baut, dafs, wenn wie in Fig. S AB = CD, Fig. 8.

folgende Relation zwi- schen den aus den Abschnitten der geraden Linie gebildeten Rechtecken stattfindet:

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38 Erster AbsdiiiiU.

EO.EB = AC.ÄB + ED.EA, so erscheint es mir am wahrscheinlichsten, dafs er die Richtig- keil hiervon dadurch erkannt hat, dafs er die betreffenden Rechtecke zeiclmete, ivie in Fig. 8, wo EÄ' — EÄ und EB' = EB, worauf die Richtigkeit des Satzes daraus hervoi^eht, dafs die über CD und ^'J5' gezeichneten Rechtecke gleich grofs sind, oder — was für den in solchen Operationen hinreichend Geübten aus- reichend gewesen ist — dadurch, dafs er sie sich gezeichnet dachte. Er hat sich eher dieselben Operationen angewandt gedacht, welche Euklid im zweiten Euch gebraucht, als dafs er sich die angeführte Behauptung so bewiesen gedacht hat wie von Pappus geschehen ist in dem hierzu gehörigen 4ten Lemma durch Einfühmi^ des gemeinsamen Mittelpunkts von AD und BC und eine an diesen Mittelpunkt geknüpfte An- wendung des sechsten Satzes im zweiten Buche Euklids. Auf ähnliche Weise halte ich es im wesentüchen für einen Ausflufs der Pedanterie späterer Zeiten, wenn Pappus auch in einer grofsen Menge von den übrigen Hülfssätzen zu der Lehre von den Kegelschnitten die Behauptungen des Apollonius auf Sätze und nicht auf Operationen zmnickführt. Der Beweis des Eutokius ') für das 6te Lemma zum 3ten Buch dürfte deshalb auch der eigenen Anschauungsweise des Apollonius naher liegen als der Beweis, welchen Pappus anführt. Jedenfalls sind die geometrisch-algebraischen Operationen, welche die Alten kannten, faktisch das leichteste Mittel gewesen diese Behauptungen zu verificieren, und man ist deshalb berechtigt dieselben zur TJbung in diesen Operationen zu gebrauchen^).

liMVIII, ed. Halley, Oxoniie 1710, S. 188. - . Chr. (Tannery in Bulletin des Sciences

g gröfserer Übung etwas schwierigere Beispiele haben, so kann ich hiei-tür empfehlen die Sätze 124 und 135 im Ti*" Buch des Pappus dnrch die geometrische Algebra zn beweisen.

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Zweiter llischnitt.

Plani metrische Definillon der Kegi

bei Archini edi

Die erste und nächstli^eiide Erzeugung der Kegelschnitte war bei den Griechen diejenige, welche umnittelbar in ihrem gemeinschaftlichen Namen liegt, nämlich durch ebene Schnitte an Kreiskegeln, und die drei Hauptarten von Kegelschnitten wurden definiert dmreh die bestimmten Kegel, an welchen, und durch die Art, auf welche sie hervoi^ebracht wurden. In dieser Hinsicht verfuhr man jedoch vei^chieden zu verschiedenen Zeiten. Die älteren Geometer definierten die drei verschiedenen Kegelschnitte (Ellipse, Parabel, Hyperbel) nach der verschiedenen Beschaffenheit der Kegel und nannten sie Schnitte an spitz- winkligen, rechtwinkligen oder stumpfwinkligen Kegeln, indem sie sich die Schnitte senkrecht auf einer Er- zeugenden eines ümdrehungskegels dachten, und diese defini- tionsmäfsige Unterscheidung zwischen den drei Kegel- schnitten wurde beibehalten , nachdem man entdeckt hatte, dafs jeder derselben auch durch Schnitte an einem anderen, als dem in seiner Definiton genannten Kreiskegei , hergestellt werden konnte. Hierin lag nichts Unnatürliches; denn nicht nur trägt man immer Bedenken etwas an überlieferten Defini- tionen zu verändern, an welche sich bereits durchgeführte Sy- steme von Sätzen, Bestimmur^en von Konstanten u. s. w. knüpfen, sondern es liegt auch nahe und ist logisch vollkommen gerechtfertigt den Apparat, welcher für die Definitionen be- nutzt vrird, so weit zu beschränken, als es geschehen kann ohne die dadurch definierten Begriffe selbst einzuei^en, und dami erst in den Sätzen zu zeigen, dafs die definierten Be- griffe unter allgemeineren Umständen auftreten können. So findet man es ja durchaus natürlich, wenn in modernen Lehrbüchern der analytischen Geometrie die Kegelschnitte durch einfache Eigenschaften oder durch emfache Gleichur^n definiert wer- den und erst hinterher bewiesen wird, dafs die Kurven,

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40 Ziveiter Abschnitt,

welche durch die aügenieine Gleichung zweiten Grades bestimmt werden, keine anderen sivid als diejenigen, weiche man bereits durch die einfacheren Gleichur^eii erhalten hat.

Wie es aber auch Lehrbücher der analytischen Geometrie giebt, welche das hier vergleichsweise erwähnte elementare Ver- fahren aufgegeben haben und gerade umgekehrt damit be- ginnen den allgemeinen Begriff aufzustellen: „Kurven zweiter Ordnung, definiert durch die allgemeine Gleichung zweiten Grades", und die einzelnen Kurvenarten durch Relationen zwi- schen den Konstanten dieser allgemeinen Gleichung zu defmieren, so mufste auch, als man mit der Betrachtung anders bestimmter Schnitte an Kegeln als den in den alten Definitionen voraus- gesetzten vertraut geworden war, die Zeit kommen, wo ein Geometer wie Apoüonius den Gedanken fafste die al^emeine Bestimmui^smethode zum Ausgangspunkt zu nehmen und Ellipse, Parabel und Hyperbel durch die allgemeinste Art, wie sie an beliebigen Kreiskegeln hervoi^ebracht werden, zu de- fmieren. Wenn auch, wie wir sehen werden, dieser Schritt m wissenschaftlicher Beziehui^ — ich meine m Beziehm'^ auf die Kenntnis der dazu nöfigen Sätze — gut vorbereitet war, so sieht man doch aus dem ersten Buche von ApoUonius' Kegelschnitten, dafs derselbe in systematischer Beziehm'^ nicht geringe Schwierigkeiten darbot: man erßihrt nämlich erst am Schlüsse dieses ersten Buches, in welches bereits die Ent- wicklmig von nicht wenigen planimetrischen Eigenschaften auf- genommen werden mufs, dafs die Sclmitte an den verschiedenen Kegeln identisch sind, und dafs alle sich auf Umdrehungskegel legen lassen.

Die hier gegebene Darstellung des Verhältnisses zwischen Apollonius und seinen Vorgängern mit Beziehung auf die Er- zeugnis von Kurven dm'cb Schnitte an Kegeln stimmt nicht vollständig mit den durch Eutokius aufbewahrten Äulserungen ^) des Geminus überein. Es heifst nämhch am Schlüsse des Referats des Eutokius, nachdem, er auseinandergesetzt hat wie

') Man sehe Halley's Ausgabe der Kegelschnitte des AjjoUonius S. 9. Cantoi' rerlegt die Wirksamkeit desGemitins bis vor das Jahr 77 v. Clir.

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Änderung d. stereom. Definition. Milsdeutung derselben. 41

die Alten die Kurven durch senkrecht auf einer Erzeugenden stehende Schnitte hervorbrachten: „Aber später sah Apollonius von Pergä im al^emeinen, dafs alle Schnitte sich an jedem K^el finden, gerade oder schief, je nach der vei'schiedenen Ne^ung der Ebene gegen den Kegel". Diese Äufserung, nach welcher Apollonius also der erste Entdecker derThatsache gewesen sein soU, dafs andere Schnitte als die senkrecht zu einer Erzeugenden gelten dieselben Eigenschaften haben wie diese, und welche noch Cantor dahin bringt dies mit grofseni Nachdruck geltend zu machen, steht indessen vollständig in Widerspruch damit, dafs Archimedes im Anfange der Schrift über Konoide und Sphäroide '■) ausdrücklich als etwas Bekanntes ausspricht, dafs alle Schnitte an einem K^el, welche alle Er- zeugenden treffen, ElÜpsen (oder Kreise) sind, und damit, dafs em Ausspruch ähnlichen Sinnes bereits in Euklids Phäno- menen'') vorkommt. Es läfst sich nämlich nicht denken, dafs dieses auf eine andere Art gefunden ist als durch eine Betrach- tung, welche gleichzeitig gezeigt hat, dafs die durch die ältere Bestimmung bekannten hyperboHschen und parabolischen Schnitte sich auf eine ebenso allgemeine Art erzeugen lassen wie die elliptischen, welche Archimedes nennt, weil er von denselben besonderen Gebrauch macht Hierin wird man bestärkt werden durch die w^eiteren Untersuchungen, welche Archimedes an die verachiedenen elliptischen Schnitte anschliefet, und die wir dem- nächst erwähnen werden.

Dieser Widerspruch findet eben seine beste Erkläriu^ durch unsere Annahme. Alle Zeugen stimmen darin überein, dafs Apollonius den Kegelschnitten die neuen Namen Ellipse, Parabel und Hyperbel gegeben habe. Zur Einführung solcher neuen Namen gab es Veranlassung genug, wenn Apol- lonius die vererbte definitionsmäfsige Grundlage verliefs, an welche sich die alten, noch von Archimedes benutzten

') Archimedis opera omnia, ed. HeiLet^, Lipsiae 1880, I S. S88.

') Auf diese SteHe hat Heiberg, welcher früher in der Zeitschr. f. Math. u. Phys., hist. Abth. XXV, 2 die Stellen zusammengeatellt hatte, an denen Archimedes die K^ebchnitte erwähnt, in „LitterargeschicM- liche Studien über Euklid' S. 88 aufmerksam gemacht.

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iä ^ 'i Alwthnitt.

Namen knuplteii Oip m sjiclier AVeise voi^enommene Ande- v\sa% an Benenniir^en und Ausgangspunkt — die nicht mit irgendwelcher bebondeien Entdeckung von Apollonius' Seite verbunden zu sein btauchte — konnte leicht die Veranlassung zu Mifsveistandmssen für spxtere Leser sein, welche die Ele- mente dei Lehie von den Kegelschnitten bei Apollonius lernten und sich spater mit Archimedes' weiter gehenden Untersuchungen «bei einzelne hierher gehörige Fragen be- schäftigten Solchen MiT&verbtxiidnissen mufsten dann die spä- teren Schiiftstellei voizubeugen suchen. Hierzu dienen ver- schiedene Aufserungen bei Pappus*), und dasselbe ist offenbar bereits dieHiuptabsicht des Geininus mit den citierten Worten

Wenn nun diese o i^eit gehen, dafs sie dem Apollonius die Entdeckung zubchieiben dafs alle Schnitte an jedem Kegel gerxle odei schief voikommen so ist die e Foim dea Aus iiucLs — welche jedenfalls unzutreffend ist d-i sie 7U dem Glaiben ^erfühlen kmnte d^f jede Hjpeibel ■ds Schnitt m jedem Ke^el her\oi gebt acht werden konnte — moglichei-weibe allein dem Referat des Eutokius zu veidanken Indessen kajm sie auch einer bnichtsamkeit bei Gemmuis zuzuschreiben sem dei SD lange nich Apollomus gelebt hat dafs ei selbst diesen ■ds Hauptquelle tm die Lehip von den Kegelschnitten benutzt habtn mu ste und ich deshalb nicht voll tand^ darubei klai gewoiden ist 'vn% weit sich das AA lasen der alteren &chnft steller erstreckte, wenn sein Hauptzweck doch nur der gewesen ist, ihre Ausdrucksweise zu erklären, und nicht der, zu zeigen.

') Pappus' Bericht über die acht Bflchw des Apollonius übet die Kegel- schnitte ist als Anhang 2 dieser Arbeit abgedruckt. Man ivi«" merken, dafe Pappus nichts davon sagt, daJ's Apollonius entd haben solle, dafs, wie er sagt, „au jeder Ai-t dieser. Kegel diese drei Linien je nach der Art, wie sie geschnitten werden, vorkommen' Wenn nSrnhch Hultsch in seiner Übersetzung — in der ich ai Dr. Heibergs Rat eine Änderung vorgenommen habe — Pappus sagen ISM, da& Aristäus dies aicht bemerkt habe, so mag das auf einem Mitsverständnis beruhen. Jedenfalls können Euiüd und Archimedes recht wohl etwas geivufst haben, was Äristaus vielleicht nicht wufste.

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An lern 1p Rpnen m ^en phmi et i 1 e Detimti n 4:i

wie weit Apolluniuh «bei sip hmius (,elani^t ist Wue dies letztere dei Fall gewesen ■^o ■wrirde er nitht bei dem Ünr'tande stehen geblieben sein dafs ApoUomub ze^ dals alle diei Arten von Keg«lschnittpii in jedem k^el vorkommen sondern ei mirde den Äuiseinandersetzmigen des Apuiloiiius m die=!er Sache ihren vollen Umfai^t gelassen hiben indem ei dessen Nichweis anführte, ddCa — mit Auuiihme emzelnei Grenzfälle — alle Schnitte an Kreiskegeln auch diejen^en welche nicht senk- recht auf dei Symmetneebene stehen Elhpsen P-iialiein und Hyperbeln sind

Auf ganz ahnhche Weise knüpfen sich die Bemeikungen späterer Schiiftstellei über einen anderen \eimemthchen Fort- schritt m der Lehre von den Kegelschnitten, welcher dem Apolionius zu verdanken sein sollte und der nunmehr Er- wähnung flßden wird, ausschhefslich an Veränderung dieselbe von Benennungen und enthalten nicht die Nachweise von dem geringeren Wissen der älteren Schriftsteller, welche man daraus hat ableiten wollen.

Die stereometrische Bestimmung der Kegelschnitte wurde von aUen griechischen Schriftstellern, deren Arbeiten uns be- kanntsind, zur Ableitung einer einzelnen pJanimetrischen Haupteigenschaft {aoiiTcrwfta) ^) benutzt, welche darauf ihrer weiteren Untersuchung zu Grunde gelegt wurde, und welche wir also berechtigt sind als die plani- metrische Definition der Kegelschnitte zu betrachten; esh^ deshalb keine Veranlassung vor zu glauben, dafs die älteren SchriftsteUer, deren Arbeiten verloren sind, anders verfahren seien. Im G^enteil deutet alles, so bereits die planimetrische Anwendur^ der Parabel, welche dem Menächmus zugeschrieben wird, darauf hin, dafs diese planimetrische Gmndeigenschaft von jeher, solange die Kegelschnitte untersucht woi'den sind, dieselbe gewesen ist wtlche ■s\u bei Archimedes und apol- ionius finden ininlich diejen^e welche il^ebi ais<,h dnuh die

') Tanne ly bcnieitt mit Recht, dala iie Bestimmung dei kuiTe i durch diese Haufteigensthaft ihrei Gleichun,, in dei anilyti^chen teometrie entspricht (Bulletin des Sciences mathfimatique lfe83 S 27&)

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44 Zweiter Abschnitt.

Gleichung angedruckt werden würde, dvirch weiche die Kegel- schnitte in einem rechtwinkligen Koordinatensystem daj^estelSt werden, wenn eine Äxe zur Abscissenaxe genommen wird. Wir werden sehen, dafs die formeilen Abweichungen, mit welchen diese Grundeigenschaft in der geometrischen Daxstellung der Griechen auftritt, nicht gröfser sind als diejenigen, welche man jetzt erhält, wenn man verschiedene Punkte der Axe zu An- fangspunkten macht. Wenn Pappus dennoch ausdrücklich die Form hervorgehoben hat, in der die Besiinnnui^ bei Apol- lonius auftritt, so ist das, wie eben berührt, sicherlich nur auf Grand der damit in Verbindung stehenden neuen Namen

Eine gerade entgegengesetzte Auffassung wird indessen auch in diesem Punkte von Cantor geltend gemacht. Diese Auffas- sung wird ebenso wie desselben Verfassers eben zuvor erwähnte auf Gemißus gestützte Behauptung durch misere nachfolgende Darstellung von Stellen bei Archimedes widerlegt werden; aber schon hier halten wir es für richtig, eine Prüfung von Cantors eigenen Gründen voranzuschicken').

Die Bemerkungen des Pappus, auf welche ich oben hin- deutete, sind im Anfange unseres Anhang 2 wiedergegeben. Ich kann nicht einsehen, dafs in denselben anderes oder mehr Hegt, als was ich oben angegeben habe. Cantor d^egen hat nicht nur wie meinere andere Schriftsteller^) darin einen Be-

'} Doch werde ich nicht bei denjenigen von diesen venveilen, welche sich auf die Stellung beziehen, welche Flächenaul^ungeu in den Ele- menten einnehmen; denn ich habe im ersten Abschnitt geze^t, dafe diese Konstitiktionen eine hinlSi^lich grofse Bedeutung aufserhalb der Lehre von den Kegelschnitten hatten um Euklid au gestatten, in den Elementen keine besondere Rücksicht auf ihre Anwendungen auf diese Lehre zu nehmen. Welcher Verfasser einer elementaren Algebra denkt im besonderen au die Gleichung der Ellipse und Hyperbel, wenn er die verschiedeaen Formen einer Gleichung zweiten Grades mit einer Unbekannten diskutiert?

') Doch nicht alle. So wird meine Auffassung geteilt von Arneth und von Bretschneider in seinem hübsehen Versuche, des Meaächmus Ableitung der Eigenschaften der Kegelschnitte wiedei-zugeben (Die Geo- metrie und die Geometer vor Euklid).

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Richtigstellung von Mifsdeiilimgeii. 45

weis dafür gesehen, dafs die Darstellung der Kegelschnitte, welche wir in Betreff der Ellipse und Hyperbel bereits im vorigen Abschnitt berührt haben, ein wesentlicher Fortschritt sei, welcher dem ApoUonius zu verdanken ist, sondern er geht S. 252 so weit zu behaupten, dafs Euklid die Parabel, Elhpse und Hyperbel nicht als Kurven in der Ebene gekannt habe, oder dafs sie jedenfalls nicht als solche in den euklidischen Büchern über Kegelschnitte hätten vorkommen können.

Indem ich mich mm anschicke diese Aussprüche Gantors zu widerlegen, will ich doch vorerst bemerken, dafs die wirk- liche geometrische Bedeutung der darin enthaltenen Behauptur^en mir lange dunkel gewesen ist. Eine Auffassung derselben, welche ich jetzt als ein Mifsverständnis anerkenne, mll ich berühren wegen der Untersuchungen, zu denen sie mir Ver- anlassung gegeben hat. Ich fafste Gantors Behauptung, dafs Euklid die Kurven nicht als „Kurven in der Ebene" kannte, so auf, als ob er und seine Voi^äi'^er während des Studiums ihi'er nicht ii^endwelche planimetrische Grund- ; derselben gekannt haben sollten, oder doch nicht verstanden hätten eine solche weiteren Untersuchungen zu Gnmde zu legen, dagegen aber die Kurven nur als Kurven im Räume aufgefafst hätten, während deren Untersuchung man beständig zu ihrer Betrachtung auf dem Kegel selbst habe zm-nckkehren müssen.

Auf diesem Wege hätte die Lehre von den Kegelschnitten nicht auf den hohen Standpunkt gebracht werden können, auf dem sie sich vor Apolionius befand, wenn die griechischen Geometer nicht ziemlich weit in der stereometrische Unter- suchungsmethode gekommen gewesen wären, welche sonst erst von Desargues und Pascal angewandt und mit voller Konse- quenz von Poncelet entwickelt ist. Ich wurde deshalb zu einer doppelten Untersuchung veranlafst, teils zu einer geome- ti'ischen Prüfung, ob die vor Apolionius bekannten Eigenschaften, z. B. diejenige, welche in der Asymptotengleichung der Hyperbel au^edrückt wird, auf eine für die Griechen einigermafsen natürliche Weise aus der Betrachtur^ der Kurven auf dem Kegel selbst hervorgehen, teils zu einer Durchforschung der auf

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46 Zsveiter Abschnitt.

Ulis gekommenen Literatur, ob in dieser eine Spur einer solchen stereometrischen üntersuchungsmethode erhalten sein sollte. Dadurch fand ich auf der emen Seite, dafs die fragliche Ab- leitung geometrische Voraussetzur^en fordern würde, welche man im übrigen keinen Grund hat den Griechen zuzuschreiben, auf der anderen, dafs die Behandlungsarten, welche man als Spuren einer anderen stereometiischen Untersuchung der Kegel- schnitte annehmen könnte als diejenige ist, welche zu derselben planimetrischen Darstellung führt, welche sich bei ÄpoUonius') findet, viel zu selten vorkommen, um auf einen ngendwie aub- gedehnten Gebranch eines solchen Verfahibiis zn dtuten Die stereometrische Untersuchung — und diese zunächst nur m der einfacheren Gestalt, welche sie annimmt, wenn eme Ellipse als ein Cyhnderschnitt , also als Parallelprojektion eines. Kreise^ auftritt — kann höchstens in einzelnen Fallen als heuristisches Mittel angewandt worden sein, so von Archiniedes bei der Be- stimmung des Flächeninhalts einer Ellipse, oder von dem, der zuerst gefunden hat, dafs parallele Sehnen einer Ellipse von einer Gei'aden halbiert werden. Direkt ist aber durchaus gar nichts hieniber aufbewahrt worden. Dies ist übrigens hinsicht- hch des letzten Beispiels natürlich geni^, da man sich doch anderer Mittel bedienen mufste um den Satz auf die Parabel und Hyperbel auszudehnen.

Mit Berufung auf die hier erwähnte Untersuchung — auf die ich w^en ihi-er negativen Ausbeute nicht weiter eingehen will — glaube ich festhalten zu können, dafs die Griechen das Studium der Kegelschnitte auf dem Kegel selbst nicht sonderlich weiter verfolgt haben als bis zur Ableitung einer einzelnen planimetrischen Grundeigenschaft für jeden Kegelschnitt, Durch diese Behauptung gerate ich noch nicht in Widerspruch mit Gantor falls er mit seiner Äufserung dafs Euklid die Parabel,

) H la. n H K 1 f e 1 e Ai 11 n f 1 "\\ s I -

w esen t daf die kegei chnitte auf Vo ] g e te D 1 ii e se du 1 dieselben 61e chungen bezogen werden wie auf die Axen Se n Be »eis dafu dafs d e auf diese 1 e den Arten 1 est mmte K^els h tte den- t h nd t !i nl h pl met i 1

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PUninietii-chci Haupkliaiaktei dei Untei-suc'huu^eii. 47

Ellipse und Hyperbel i) nicht als Kurven in der Ebene kannte, nur meint, dals er nicht die an die antiken Flächenanlegungen sich knüpfenden geometrischen Örter kannte, cteren Bestiramiing von Äpollonius der planimetrischen Untersuchung der Kegel- schnitte zu Grunde gelegt wirrt, dafs deshalb Euklid verinutüch sich selbst nicht nacli der Beschaffenheit dieser Örter gefragt und jedeiifalls nicht gei^nafst habe, dafs es 'dieselben Kurven seien wie die, welche er selbst unter dem Namen ^Schnitte an recht^vinkligen , spitzwinkligen und stimipfwinkligen Kegeln* untersuchte.

Ist dies, wie ich annehme, Cantors Meinung gewesen, so kann er immer noch mit mir darin übereinstimmen, dafs man sich auch vor Äpollonius damit begnügt habe, diirch Betrachtung von Schnitten am Kegel selbst eine einzelne planimetrische Haupteigenschaft abzuleiten und diese einer ferneren Unter- suchung derselben zu Grunde zu legen. Nur mufs er dann meinen, dafs diese eine andere als die von Äpollonius be- nutzte gewesen sei. Doch bleibt der Eifer, mit dem er dies verficht, unverständlich, da er gleichzeitig durchaus keine An- deutur^ darüber giebt, welches dann die frühere Bestimmimg gewesen ist oder gewesen sein kann, und wie wenig oder viel sie von der abweicht, welche sich bei Äpollonius findet. Es handelt sich eben um die Grundlage für Äpollonius' Leiire von den Kegelschnitten, um die Gleichung, aus der er alle übrigen ableitete. Der Leser, der darüber aufgeklärt wird, dafs Äpollonius diese Grundlage geschaffen hat, und der nicht nähere Auflclärung darüber erhält, wie hoch die Entwicklung der Lehre von den K^elschnitten vor Äpollonius gestanden habe, wird durch Can- tors Behauptungen den Eindruck empfangen, dafs dieses mäch- tige Lehi^bäude, welches nicht weit hinter der Lehre von den Kegelschnitten zurückstand, welche wir am Anfange unseres Jahrhunderts besafsen, mit Ausnahme zerstreuter Beobachtungen

') Cantor scheint an dieser Stelle mit eben den Worten Parabel, Ellipse und Hyperbel unmittelbar die verschiedenen Arten, von Fläclienaiilegnug zu bezeichnen.

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48 Ziveitei- AbR(^hnitt.

aus früherer Zeit das Werk eines einzelnes Mannes sei '). Der hingegen, der aus den Schriften des Archimedes und den Vor- reden des Äpoüonius weifs, wie ausgedehnt vor Apollonius die Bekanntschaft namenUich mit den in dessen drei ersten Bücheni behandelten allgemeinen Eigenschaften der Kegelschnitte war, und dafs die eigenen bedeutenden Fortschritte des Apol- lonius sich zum grofsen Teil an glückliche Erweiterui^en der Ent- deckungen von Voi^ängern knüpfen, fühlt sich getäuscht diese in der Luft schweben zu sehen und nur zu erfahren, daJs Apol- lonius dieselben, nachdem sie gemacht waren, auf Grundlage der bei den Fläehenanlegungen benutzten Bestimmungen zu- sammenstellte.

In den Schriften des Archimedes, wo die Grundlage der Lehre von den Kegelschnitten kaum von der auch von Euklid benutzten abweicht, mufs man Antwort auf die hier erhobenen Fragen suchen. Wenn Cantors Behauptungen irgendweiche wesentliche Bedeutung für die Kenntnis der griechischen Lehre von den K^elschnitten und deren Entwicklung haben sollten, so mufste man wesentliche Unterschiede^} nach Beschaffenheit und Anwendbarkeit zwischen der von Archimedes und der von Apollonius benutzten Gi-undlage nachweisen können. Einen solchen Unterschied habe ich nicht finden können. Apollonius versteht allerdings, wie jeder bedeutende Schriftsteller, aus der besonderen Art Vorteil zu ziehen, wie er die in allem Wesent- Uchen gemeinsame Grundlage ausdrückt; aber es ist durchaus kein Grubd vorhanden, die, in jedem Falle äufserst geringe, formelle Änderung als einen geometrischen Fortschritt zu betrachten. Die historische Bedeutung derselben liegt aus-

'} Eine Äuherut^i in (.antoi-s Vorlesungen etc S a7i unten, deiilet darauf hin daft. die'.es '.eine eigene Meinung '^ei

') Auch Heiberg welcher die gründliche Bek<inntSLhaft mit den Kegel schnitten welche man vor Apollonius hatte aus Licht gezogen hat aber sich doch in dei hiei veihan leiten barhe an Cantor anschhefst (Litterai^esch Studieo u Eukhd s 8R| giebt feeinerlei AufLlämi^ dambei welclie geometiische Bedeutung die geringe Abweichung in dei Form dei Daislellung dei Kegel<ichnitte bei Archirneiie' und ipol bmu" o--haht habP! -, 11

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llltereinstimmung d. planimeti-. Def.; Areliimedes. 49

schliel'slich darin — und das ist auch das einzige, was Pappus aufiährt — dafs sie in Verbindung mit den neuen Namen steht, welche in Gebrauch kamen, als Apollonius die ererbten stereo- metrischen Definitionen, an welche sich die alten Kamen knüpften, aufgab.

In Übereinstimmung mit den Versprechui^en , welche ich im Vorbeigehenden gegeben habe, mll ich nun dazu übergehen Archimedes' Schriften zu betrachten. Ich mufs nachweisen, wie man vor Apollonius — nicht nur die ebenen Schnitte, welche durch gerade Kegel auf die alte defnütionsmäfs^e Weise ge!^ waren, sondern überhaupt — Schnitte behandelte, deren Ebenen senkrecht auf der Symmetrieebene ') eines beliebigen Kreiskegels stehen, und ich mufs die sich bei Archimedes findenden An- gaben über die planimetrischen Haupte^enschaften, welche zu und vor seiner Zeit bei Untersuchungen der Kegelschnitte zu Gründe gei^ wtirden, ans Licht ziehen. Dadurch erreichen wir gleichzeitig, dafs wir unmittelbarer zu diesen Eigenschaften gelangen als im ersten Buch des Apollonius, dessen Inhalt im folgenden AIj- schnitt dargestellt werden wird. Bei Apollonius sind dieselben nämlich aus systematischen Rücksichten in andere Sätze mit auf- genommen, namenüich in die al^emeineren Sätze über konji^erte Durchmesser, Bei Archimedes dagegen, wo die Form dieser Sätze an Einfechbeit und Brauchbarkeit keineswegs hinter der von Apollonius benutzten zurücksteht, werden die Gnmdeigensehaften, auf denen er seine eigeneii Untersuchungen aufbaut, als be- kaamt vorausgesetzt und treten deshalb unabhängig von allen systematischen Rücksichten auf.

Wh können die Ellipse und die H^peibel zusinmien be^piethen Beide M erden Inf eine Axe mit z\\&. testen Punkte»

') Äichimede'j spricht diese Ein>.chrä.iituag lucht au*^ indem er im An fange der Schrjfl ubei Konoide und ^phaioide sagt daß, Sphnitte welche alle Eizeugenden eines Kegels tieffea Ellipsen sind abei im \ erlaute dei citieiten Arbeit findet ei jedenfells nur Gelegenheit Schnitte xa hehindeln welche entwedei auf dei Simmetneebene des Kreiskebek odei auf emem anderen Haiiptschmtt dei kegelftaehe aenk reiht stellen

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50 Ziveitei' Abschnitt.

Ä niid A^ bs'iogen. Auf dieser wird in einem Punkte, dessen

Abstände von den festen Punltten x und x, heifsen mögen,

- eine senki-echte Ordinate >/

ly errichtet, deren Endpunkt

! ein Punlct der gesuchten

'~ " ^~~" ~~'~"' ' ' ' KuiTe ist. Denken wir ims

Fig- 9 a. einen neuen Punkt der-

T selben auf gleiche Weise

1^ durch X', x\ und y' be-

f— ■■ — ^ — — — ' stimmt, so sind Ellipse and

^ ' Hyperbel durch die Glei-

^^''■i--' ■>■ chimg

jL. _ ._?!_ (i)

bestimmt, so dal's man die erste odei' zweite von diesen Kurven erhält, je nachdem die Ordinate in einem Punkte der Linie AÄy oder in einem Punkte ihrer Verlängerung errichtet wu'd. Doch ist bei Archimedes keine Rede davon mehr als einen Hyperbeiast zu betrachten. Wie die Relation, welche wir hier kurz dm'ch die Gleichung ( 1) wiedergegeben haben, geometrisch bei Archimedes angedrückt ist, wird vollständig aus unserem vorhergehenden Abschnitt hervorgehen.

Ohne ii^end etwas an Archimedes' Gedanken zu verändern köimen wir demselben in unserer Sprache einen noch ein- facheren Ausdruck gehen, indem wir die Gleichung (1) in der Form

— i — = constans (2)

X.Xj ^ '

schreiben, woraus wir sehen, dafs seine Darstellung den Vorteil bietet, dafs man der Konstanten einen Ausdruck geben kann, welcher sich nach den Bedüi'fnissen der gerade vorli^enden Aufgabe richtet').

') Ein Vevzeichnia dei- Stellen, an denen Archimedes die hier cingefühi'te HaupteigeHschaft benutzt, findet sich bei Heiberg, die Kenntnisse des Archimedes über die Kegelschnitte {Zeitschrift f. Math. u. Phys., bist. Abt. XXV, 2).

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Archimedes' Daretellung der Kegelschnitte. 51

AVelcheii Beweis Archimedes dafür voraussetzt, dafs alle möglichen Schnitte senkrecht a«f der Symmetrieebene eines beliebigen Kreiskegels, die nicht von spedellerer Art sind, die Eigenschaft haben, durch welche hier Ellipsen und Hyperbeln chai-akterisiert sind, geht aus der Lösung der Aufgaben 7 und 8 in seiner Schrift über Konoide und Sphäroide hervor. Diese Aufgaben — denen in 9 eine entsprechende besondere Be- handlung des Grenzfalls folgt, wo der Kege\ mit einem Cylin- der vertauscht wird — bestehen nämlich darin „einen Kegel zu finden, der durch eine gegebene ElHpse geht und einen gegebenen Punkt in der Ebene zur Spitze hat, welche senk- recht auf der Ebene der Ellipse in einer ihrer Axen eri'ichtet wird". Da die Kegelfläche, welche mi aUgemeuien schief wird, durch die Ellipse und die Spitze vollkommen bestimmt ist, so kommt es nur darauf an die Grundfläche , d. h. einen Kreb- sehm'tt zu finden, und diesen sucht Ai'chimedes auch in Wirk- hchkeit. Es zeigt sich also nicht nm', dafs Ai'chimedes die Erzei^uig der Kegelschnitte durch senkrecht zur Symmetrie- ebene eines schiefen Kreiskegels geführte Schnitte kennt, wenn er sich auch des vorliegenden Zwecks halber nur an eihptische Schnitte hält, sondern es ist auch der Beweis, welchen er für die Richtigkeit seiner Lösui^ der gestellten Aufgabe führt, in Wirklichkeit ein Beweis füi' eben diese Erzeugui^. Den Ge- dankengang dieses Beweises wollen mr in verkürzter Gestalt wiedergeben, indem wir für den Augenblick von einem für seine besondere Aufgabe notwendigen Durchgangsgliede absehen, nämlich der Betrachtung von Schnitten senkrecht zur Symmetrie- axe der Kegelfläche.

Archimedes benutzt folgenden Hülfssatz'}, der sich leicht mittels ähnlicher Dreiecke beweisen läfst und den er als bekannt voraussetzt: wenn man {Fig. 10) von einem behebigen Punkte P gerade Linien parallel mit gegebenen Richtungen zieht, welche zwei feste Linien J/"JV und M,N^ schneiden, so ist das Verhältnis

') In Heibergt^ Aui^abe, I, 3S8, 9— lO wird diesem Hülfssatz in seiner allgemeinen Fomi bemitat, an anderen Stellen in den Beweisen spe- ciellere Foimen desselben.

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52

Zwei

PM. FM,

PN "PN" l^o"st^iit- Sind nun die festen Linien die Ei-zeugenden

eines Kreiskegels, welche in der Symmetrieebene liegen, und sind die Linien MM, die Spuren von Ebenen, die der kreisfönni- gen Grundfläche parallel gezogen sind, in dieser Ebene, so wird MP.PM, =- ^^ wo y der AIj- stand zwischen P und den Punk- ten der KegeJfläche ist, deren Projektion auf die Symmetrie- ebene P ist. Man erhält dann

NP. PN,

= constans.

Betrachtet man nun verschiedene

Punkte P auf der Linie NN,,

"' so ergiebt sieh, dafs alle Punkte

des Schnittes, in welchem der

Kegel durch die in NN, projicierte Ebene geschnitten wird, die

durch Gleichung (2) ausgedrückte Gnindeigenschaft haben.

In der vorliegenden Figur, ebenso wie in Äi'chmiedes' Figuren, wird der Schnitt NKi allerdings eine EUipse, aber dereelbe Beweis läfst sich auch auf hj-perbolische Schnitte an- wenden, wenn man nur eine der Seitenlinien verlängert. Dals nun Archimedes und seine Zeitgenossen dies gewufst haben, hat man keinen Grund zu bezwetfehi, da man auch bei der alten deflnitionsmälsigen Dai-stellung hyperbolischer Schnitte nicht wohl ohne eine solche Verlängerung darauf verfallen sein konnte , bei der pianinieti'ischen Bestimmung der Hj-perbel, d, h. eines Hyperbelastes, nicht nur dessen eigenen Scheitel- punkt, sondern auch, wie wir an den Gleichmigen (1) und (2) gesehen haben, den zweiten Scheitelpmikt der vollständigen Kurve zu benutzen. Aus dem Schweigen des Ai'chimedes darf man kernen entgegengesetzten Schlufs ziehen, da er hier wie ijberall nur das aus der Lehre von den Kegelschnitten initnimmt, wofür er gerade Verwendung hat.

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Stei-eometiische Herleitnng. 5;^

Eine Bestätigung dafüi', dafs ich hierdurch den (Jeometerii jener Zeit Ifein zu gi'ofses Wissen beigelegt habe, erhält man, wenn man beachtet, welche Vertrautheit mit hierher gehöiigen Sätzen und Aufgaben nicht nur Archimedes selbst an den Tag I^, sondern auch bei seinen Lesern voraussetzt. Ein wichtiges Beispiel hierfür hat man in der allgemeinen Fonn des Hülfs- satzes, den wü ausdrücklich aufgestellt haben, den aber Ai-ehi- medes ohne ihn aufzustellen oder zu beweisen in einer eben so allgemeinen Form anwendet. , Ein anderes Beispiel für die Voraussetzungen, welche er auf diesem Gebiete ohne besondere Begründung meint machen zu dürfen, kommt im Verlaufe der Lösungen der erwähnten Aufgaben vor, welche Archimedes sich stellt. Die'.e selbst mVeibmdung mit dem Umstände, dafs er uro sie vollständig zu Josen auch Schnitte betrachten niufs, welche senkrecht auf emem anderen Hauptschnitt der Kegel- fläche stehen, ze^en seme eigene Vertrautheit mit dem Stoff und den Methoden welche er anwendet.

Diese legt ei audi an den Tag, wenn er gleich nachher eben dasselbe Verfahren zui Untersuchung ebener Schnitte an Umdrehui'^sflachen zweitei Oidnm^ anwendet, indem er dann nur statt des von uns angeführten Hulfssatzes den gleichfalls im voraus bekannten allgemeineren Satz anwendet, wo die beiden festen geraden Linien TL und TK mit einem Kegel- schnitt vertauscht sind, also den Satz, den wir jetzt den New- tonschen nennen, von dem aber Newton offen eingesteht, dafs er ihn von den Alten habe. Im Folgenden wollen wir ihn den Potenzsatz nennen um den irreführenden Namoo zu vermeiden.

Indessen wollen wir diese Untersuchungen bis zu einem späteren Abschnitt (dem 19ten) verschieben, wo vns zusammen- fassend dartiber berichten, was man über die Bekanntschaft der Alten mit Kegelflächen und Umdrehimgsflächen zweiter Ordnung weifs. Für den Äi^enbück glauben wir genug ge- sagt zu haben mii die Unrichtigkeit der Ansicht nachzuweisen, dafs die Kenntnis der Schnitte an Kegelfiächen auf die Schratte senkrecht auf den Erzeigenden eines geraden Kegels beschränkt gewesen sei während der ganzen Zeit, wo man noch

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54 Zweiter Ahsdmitt.

die mit dieser Erzei^ingsart verbundenen Kamen und damit wahrscheinlich auch die daran geknüpften Defmitioiien und Konstantenbestimmungen benutzte. Welche Vorteüe es bewirken konnten, dafs diese Defmitionen und Konstantenbestimmungen so lange aufbewahrt ivurden, wird im 2 Isten Abschnitt unter- sucht werden.

Ich halle berührt, dais die durch Gleichui^ (1) oder (2) ausgedrückte Ai-chimedische Darstellung von Ellipse und Hyperbel den Vorteil darbietet, dafs die Eonstaiitenbestinunung sich nach dem Bedürfnis jeder Aufgabe einrichten läTst. So kaini man, wenn es sich um ein Segment, begrenzt von einer zu einer Axe senkrechten Sehne, handelt, in (1) x', x\ und jf' die Werte annehmen lassen, welche zu den Endpunkten der Sehne ge- hören. Das thut Archimedes auch bei seiner üntersuchmig von Segmenten b^'enzt von Ebenen, die senkrecht auf der Axe in Umdrehungshj-perboloiden und ümdi'ehungsellipsoiden stehen. Füi' die Ellipse ist es im allgemeinen das nächstliegende, x'--^--x,,

also gleich der einen Haibaxe -q- zu nehmen, wodurch y' gleich der anderen -h- . und die Konstante — ^ wird. HieiTon macht

Archimedes z. B. Gebrauch in der Auflösung von Aufgabe 9 im Buche über Konoide und Sphäroide.

Da die Konstante der Gleichimg (2) zufolge (1) als ein Ver- hältnis zmschen Flächen oder ein zusammengesetztes Strecken- Verhältnis bestimmt wird, und da die Griechen, wenn sie weiter solche Verhältnisse anwenden sollten, dieselben mit einfachen linearen Verhältnissen vertauschten, so darf man amiehmen, dafs Archimedes und diejenigen seiner Vorgänger, welche die Kegelschnitte auf dieselbe Weise wie er darstellten, dasselbe überall da gethan haben, wo sich eine Veranlassui^ dazu bot. Wenn sie dann zugleich als das eine Glied des Verhältnisses die Axe AA^ nahmen, oder sich den konstanten Wert von

^- — als n^ bestimmt dachten, so war das Vorderglied p X . X ÄA^

des Verhältnisses eben der Parameter ß. Oh nun Archi- medes gerade so verfahren ist, ob er also den Parameter der

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Bestimmung tlei- Konstanten. ,">5

Ellipse und Hyperbel gekannt hat oder nicht , kann man schlecht er dii:^ nicht wissen, denn er benutzt denselben zwar nirgendwo, aber er hat auch nirgends Verwendui^ dafür.

Die Frage selbst, wie weit Archiniedes — und mit ihm Euklid und sehie übrigen Voi-gänger — den Parameter der Kegelscimitte gekannt haben, hat im übrigen an und für sich durchaus kein wissenschaftliches Interesse; deini da es jeden- falls ersichtlich ist, dafs er die Mittel besafs sich andere Hülfs- gröfsen zu schaffen, welche sich wesentlich auf dieselbe Weise gebrauchen liefsen, so ist es gleicl^flltig , ob er gerade den Parameter benutzte. Die Frage kann nur Bedeutung erhalten, falls sie ein historisches Mittel abgeben wüi-de andere, bedeutungs- vollere Fragen zu lösen. In diesem Zusammenhange haben \vir dieselbe hervoi^ezogen, teils aus Rücksicht auf einen histo- rischen Versuch über die frühere Entmcklung der Lehre von den Kegelschnitten, den wir im 21sten Abschnitt geben werden, teils weil man möglicherweise den Gebrauch des Parameters als einen der Vorzi^e an der Darstellung der Kegelschnitte bei ApoUonius bezeichnen könnte, die man zu einer wissenschaft- lichen Bedeutung hat erheben wollen.

Unabhängig davon, ob ApoUonius' Vorgänger den Para- meter benutzt haben oder nicht, und obwohl Archimedes in der R^el seine Bestimmmig der Kegelschnitte nicht an die bei Flächenanlegung gebrauchten Kunstausdrücke anschliefst, ist der praktische geometrische Gebrauch der Flächen- anl^ung ebenso genau mii dieser letzteren Bestimmui^, die vermutlieh auch diejenige Euklids ist, verbunden gewesen wie mit der des ApoUonius. Archimedes stellte die Ellipse und

Hyperbel dar dOTch^ — = x, wo x eine Konstante bedeutet,

und 3;, 4:^ = «, und aus der Art, wie Euklid m seinen Data 84 und 85 die Lösung der Gleichur^en Xj ^x = a, x^x = B auf Flächenanl^ung zurückfAhrt, können wir — falls es überhaupt nöt^ ist — scliliefsen, dafs man vollkommen genau wufste, dafs die angeführte Bestimmi.ing mit der Be- stimmung

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Zweiter Altsclinitt.

7us^riH)iPiiiifl WO (1 ) Nenner nach dem Sprachgebrauch dei- Alte» <d'i eine Flache darzustellen sein würde, welche so an a angel^ i&t, dafs ein Quadrat fehlt oder übrig bleibt. Diese Daistellungisfonn nebst zugehörigen Figuren kommt sogar aus- drücklich 111 eiiiei btelle bei Archimedes vor, wo von der in die Gleichung dei Hyperbel eingeführten ßröfse ax + x^ gesagt wird dafs sie so an 0 angel^ sei, dafe ein Quadrat übr^ bleibt „£>]rspßdXXo> shJsi xsTpfxymvo}" ^). Der wirkhche Gebrauch der Flächenanlegui^ besteht indessen nicht in diesen Ausdrücken und den zi^ehör^en Figuren, sondern in der Lösung von Aufgaben mittels Gleichungen zweiten Grades, unter welchen die einfachste hierhergehörige darin besteht, Ordinaten von gegebener Länge für einen Kegelschnitt zu bestimmen. Dazu führt (zufolge der angeführten Stellen der Data) die Darstellui^ Ai"chimedes' und Euklids ebenso uninitielbai' und bequem me die des Apoüonius, und es würde sehr unzutreffend sein airzunehmen, dafs man systematisch sollte vermieden haJien ein zu den Zeiten Euklids so wohl bekanntes Hülfsmittel auf die Kegelschnitte anzuwenden.

Femer ist zu beachten, dafs sogar die geometrische Dai- stellung, durch welche Apollonius seine Bestimmung von Punkten eines Kegelschnitts wirklich praktisch durchführte, und die wir im ersten Abschnitt bei den Figuren 6 und 7 erwähnt haben, eben so nahe liegt, wenn man von der Archimedischen Form der Defmition ausgeht, als wenn man die Apollonische zu Gnmde legt, die aus den für die Lehre von der Flächenanl^ii^ eigentümlichen Kunstausdrücken zusammengesetzt ist. Unsere Gleichung (2) giebt nämlich y als mittlere Proportionale zwischen X und der mit einer Konstanten multiplicierten a:,, und diese letztere Gröfze läfst sich ganz natürlich als die der Abscisse x entsprechende Ordinate Y für eine durch den anderen Scheitel- punkt gehende gerade Linie darstellen. Ob man nun — und es hegt kein besonderer Grund vor das anzunehmen — vor

') Ausgahe von Heiberg, I, 3.4^0, 14— iä.

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Benutzung dei- Fläch en ani e ^n« ; PaiMbel. 57

ApoUonius eben dieselbe Hülfslinie angewandt hat wie er, oder ob man die wohlbekannten Konstruktionen etwas anders aus- geführt hat, ist imwesentlich.

Der Einfachheit w^en haben wir hier gar keine Rücksicht auf die Parabel genommen. Hinsichtlich dieser finden wir bei Ärchimedes keine solchen Aufklarungen über ihre Betrachtung auf den Kegelflächen selbst wie es mit der Elhpse der Fall war, aber verschiedene über ihre planimetrischen Eigenschaften. Eben deshalb vermögen aber die Archimedischen Angaben über die Parabel und die über die Elhpse und Hyperbel sich gegenseitig zu ergänzen.

Die planimetrische Defimtion der Parabel stimmt voll- kommen überein mit der für die Ellipse und Hyperbel , indem sie sich ausdrücken läfst durch die Gleichung

wo !C und y, x' und y' rechtwinkhge Koordinaten für y.wei Punkte der Kui-ve sind, oder durch

■^ = eme konstante Strecke, (4)

welche mr p nennen wollen. Dieser Parameter tritt bei Ärchi- medes [Über Konoide und Sphäroide 3 und an anderen Orten] ausdrücklich auf als das doppelte des „Stückes bis zur Ase", eine Bezeichnung, welche hemihrt von der Erzeugung der Pa- rabel als Schnitt seiiki-echt auf einer Erzeugenden eines recht- winkligen Umdrehungsk^els. Der halbe Parametei' wird hier nämlich das Stück von der Axe der Parabel — welche Ärchi- medes ihren Durchmesser nennt — welches zischen dem Scheitelpunkt und der Axe des Kegels abgeschnitten wird.

Heiberg') hat aus dieser Bezeichnung schliefsen wollen, dafs Ärchimedes für die Parabel nur die hier erwähnte stereometrische Erzeugung gekannt habe. Der Beweis ist in- dessen unzm-eichend. Der Name, welchen Ärchimedes nach altem Brauch dem Parameter giebt, beweist nämlich nicht mehi'

') Zeitschi-ift f. Matli. u. Piiys., hi^^t. Abt, XXY, S. ÖJ.

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58 Zweitci- Ai)^ch\iii.t.

ais die Bezeichnimg einer Parabel und Ellipse durch „Schnitt an eiiiem rechtwinkligen Kegel" und „Schnitt an einem spitz- winkligen Kegel", und Ai'chimedea liefs sich an dem Gebrauehe des letzteren dieser Namen durch den Umstand nicht hindern, dafs er, wie wir gesehen haben — und wie gerade Heiberg hervorgehoben hat — , mit elliptischen Schnitten vertraut irar, die auf andere Art als die, an welche dieser Name sich knüpfte, hervorgebracht wai-en. Am natürhchsten wird nach unserer Meinung auch Archimedes' Benennung des Parameters auf die im Anfai^ dieses Abschnitts gegebene Art erklärt, nämiich da- durch, dafs die Kegelschnitte in den damals gebräuchlichen Kompendien (von Aristäus mid Euklid) definitionsniäfsig als Schnitte senkrecht auf einer Erzeugenden hervorgebracht wurden; denn an diese Erzeugungsall: mulsten sich auch die Benennungen der zi^ehörigen Gröfsen, wie des Parameters, natm^emäfs knüpfen. Die Benennung des Parameters giebt also keinerlei Anhalt dafür, dafs man nicht auch andere La- gen parabolischer Schnitte kannte. Da mm die Bestimmung parabolischer Schnitte senkrecht zur Symmetrieebene an be- liebigen Kreiskegeln keine Schwierigkeiten bietet, welche nicht bereits überwunden sind entweder durch Betrachtung der ent- sprechenden eUiptischen Schnitte oder solcher parabolischer Schnitte, welche auf definitionsmäfs^e Weise hervorgebracht werden, so liegt dmchaus kein Grund vor zu bezweifehi, dafs man zur Zeit des Archimedes parabolische Schnitte mit der- selben Freiheit hervorbrachte, mit der man nachweislieh die elliptischen herstellte. In dieser Auffassung werden wir noch mehr bestärkt, wenn wir sehen, dafs Archimedes (Über Konoide und Sphäroide, 11) einen ähnlichen Satz wie den über para- bolische Schnitte an KegeJn, nämüch den, dafs ebene Schnitte parallel der Axe eines Umdrehungsparaboioids Parabeln er- geben, welche der Meridiankui've kongiiient sind, für so einfach hält, dafs er es den Lesei-n selbst überläfsi den Beweis zu finden.

Ehe wir nun, nachdem wir die Darstellung der von den Griechen benutzten planimetilschen Fundanientalsätze auf das

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Parabel; Umfang dei- Kenntnisse des Ai-uliimedeF-. 59

gestützt haben, was sich bei Archimedes ündet, dazu über- gehen die i^eiteie Entwicklung auf Apoilonms aufeubauen, wird es am besten sein hiei noch einige Worte über das hinzuzufügen i'^is feraei zu den Zeiten des Archimedes, so WPit et Mch aus =!emen bihiiften n^ihi^eisen läfst, voll- kommen bekannt gewesen ist Dafb dies ziemlich bedeutend war, Avird sofort daraus hervorgehen, dafs es die Lehre von konjugierten Durchmessern miteinbegriff, darunter die Sätze, deren Übertragimg in die Algebra die Gleichungen der Kegelschnitte bezogen auf konjugierte Durch- messer liefern würde, nebst dem oben erwähnten Potenz- satze ~ doch hinsichtlich der Hyperbel nur innerhalb der Begrenzung, welche davon herrührte, dafs man nur einen Ast betrachtete '■).

Wie man vor Apollonins' Zeit zu Sätzen von so allgemeiner Katm', wie diese sind, gelangen konnte, wird verständlich wer- den, wenn wir im Folgenden kennen lernen, wie ÄpoUonius die- selben Sätze zum Teil in vollständigerer Gestalt entwickelt. Da hierbei teilweise von Operationen Gebrauch gemacht werden wird, welche sich am nächsten als Transfomiationen der Koordinaten auiTassen und betrachten lassen, so wollen wir doch auch hier einige Beispiele für solche Transformationen bei Archimedes anfühi'en.

Dieselben kommen in der Schrift über die Quadratur der Parabel (4 und 5) vor und haben den Zweck, der Dar- stellung der Parabel eine für die Quadrierung eines Segments bequeme Form zu geben. Ist AC (Fig. 11) eine feste Sehne

1 In dei <j!ln cilieiten Aibeit in Bi X\V \ Z ts \ ft f M tl u Ph>s lit 41>t «eMHeiberj, gfltg E tt lung n 1b la. 11 as Aicbmiedea aus dei Lehie v döR llnttn 1 bk nnt \orau'«etzt und \iber seme eigenen Ewtiinnd Lh Obei die Steilen in Äichnmedes "ichi ftnandunsdl di. h find t Nur sei emt Heiberg fllDersehen zu b b daf A h 1 1 Cl hung fflr Ellipse uad Hyperbel bezDge f n IR b b P oi L n jugieitei Diu(hme?«ei kennt D fl d t ! f d Ell i geirandt m ^^ 2S und auf die Hj-p l l n I\ 26 d B b th Kcnoile uul '^] 1 i-

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Zweiter Altsclinilt.

der Pai'abel, BD der zi^ehör^e Durehmesser, E ein beweglicher Punkt lind KE eine Parallele zu AC, so giebt die ursprüngliche

Darstoilimg der Parabel, bezogen auf den Durchmesser JilJ, in Verbindung mit bekannten Sätzen über Proportionen, dal's BC _BD __C^ BC Bl " BK " EK^ " BT'' woraus folgt, dafs BT die mitlere Proportionale zwischen ßC und BI ist, folgüch

AD _DC ^ BC _ßT _ CT _ ZT_ DZ ^ BZ '"" BT ~ BI '^ TI """ TJE ' oder dal's ZE, welche wir als Ordinate von E in einem neuen Koordinatensystem betrachten, von der festen Linie BC nach demselben Verhältnis geteilt wird, wie die Abscisse AZ von dem festen Punkte D. Nach dieser Auffassung ist die Gleichung der Kurve in dem neuen Koordinatensystem, welches aus dem ursprünglichem durch Verlegung des Anfangspunktes und Ver- tauschung der beiden Axen rieh tun gen gebildet ist, durch eine

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Ulli form ungen der Darstellung der Pir^liel (i 1

Proportion dargestellt, und die Be-^timiunnü; dei dndlytisclieii Geometrie mittels Konstanten ist — Tiie m dei tiuher envähnten Darstellung der Ellipse und Hyperbel drachApollonius — durch einen festen Punkt D und eine feste Hulfilmie CB eisetzt.

Die fernere Umforninng, weiche an Satz 5 voi^enommen wird, besteht nur in einer Vertauschung des Punktes D und der Hülfslinie CB mit einer neuen. Hülfslinie, nämüeh der Tan- gente CF in C. Da, wie es ersichtlich auch zu Archimedes' Zeit bekannt gewesen ist, B die Mitte von DF ist, so wird ZT =■ TL , und der Kurvenpunkt E wird die Ordinate ZL, welche an die Hülfslinie gezogen wird, nach demselben Ver- hältniss teilen, wie Z die Sehne AC teilt. Bezeichnen wir, wemi A als Anfangspunkt betrachtet mid AC = a gesetzt wird, die cc entsprechende Ordinate an diese Hülfslinie mit «/,{=«(« — a^)), so wird die Gleichung der Parabel nunmehr

Dals diese moderne Darstellung wirklieh ein korrektes Bild von dem giebt, was Archimedes mit der Umfoiinung der Dar- stellung der Parabel beabsicht^, geht aus dem Gebrauch her- vor, den er weiterhin davon maclit, und der im 20?teu Ab- schnitt dai^estellt werden wird.

Bei Apollonius werden wir in der Regel nicht wie hier die Gleichungen der Kegelschnitte als Proportionen dargesteüt finden, sondern als Gleichimgen ersten Grades zwischen Flächen, wo- durch auch die Durchführung der Transformationen der Koordi- naten mittels der geometrischen Algebra der jetzt gebräuchhchen Transfonnation näher gebracht werden wird. Die Ümwandlni^ der hier envähnten Darsteltung mittels Pi-oportionen in diese Form wird etwas verschieden je nach der Art, wie die Propor- tionen geschrieben werden. Dieselben können z. B. werden (Flg. 11):

EZ.ZB ^ ET. ZA und EZ.ZC = EL. ZA,

woraus ersichtlich ist, dafs beide Daretelhmgen als specieil in einem Theorem einbegriffen betrachtet werden können, von dem wir im siebenten und achten Abschnitt zeigen weMen,

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f)ä Ziveitei- Abschnitt.

dafe es bereits dem Aristäus und Euklid in einer Form be- kannt wai-, welche freilich unvollständig aber sicher allgemein genug war um den vorliegenden Fall zu umfassen, nämlich in dem Theorem von dem sogenamiten „Ort zu vier Geraden' (« iff( Tiffaapai xpaii/mi; rfn-og). Die erste der beiden Gleichui^en drückt nämUch die Gleichheit der beiden Rechtecke aus, welche von den Abständen des bew^lichen Punktes E, in den an der Figur gezeigten Richtungen genommen, von den Linien AC, BD, CB und dem durch A gezogenen Durchmesser AG gebildet werden, und die zweite drückt die Gleichheit der Rechtecke aus, welche von den Abständen , von AC, dem Durchmesser durch C, der Tangente CG und dem Durchmesser AG gebildet werden. Doch kann man nicht behaupten, dal's Archimedes diesen Umstand ausdrücklich beachtet hat ').

Die Absicht, die wir in diesem Abschnitt mit der Betrach- tung der Stellen bei Archimedes verfolgten, weiche die Lehre von den Kegelschnitten betreffen, war die, auf das richtige Verständnis der zusammenhängenden Lehre von den Kegel- schnitten vorzubereiten, welche wir nur bei Apollonius haben. Wir haben besonders solche Stellen angeführt, m denen sich einige Abweichungen in der Behandlungsart der beiden Schrift- steller zeigen. Damit glauben wir vorlaut^ nacl^ewiesen zu haben, dafs die Abweichungen hinsichtlich der fundamentalen Sätze so gering sind, dafs man in Wirklichkeit Apollonius als den Hauptrepräsentanten der gi-iechischen Lehre von den Kegelschnitten betrachten und in seinen Beweisen dem Ge- dankei'^ange nachspüren darf, der auch vor seiner Zeit zu den aufgestellten Sätzen geführt hat. Denn das würde man nicht können , wenn die von Apollonius benutzte planimetrische Grundlage und damit die darauf gebauten Beweise wirklich ganz neu gewesen wären. Auf der anderen Seite werden die Abweichungen, welche sich in der weiteren Durchführung der Untersuchungen finden, dazu beiü'agen, dafs man vermeidet, Eigentümlichkeiten bei Apollonius als zur antiken Lehre von

') Am Sclüusse des i^" Abschnittes finden sicii weitei'e Ai^aben übev einis^e SStze bei Archimedes, die sicIi niclit hei Apollonius finden.

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Avcliimedes und ApoUonius. Ö3

den Kegelscliiiitten überhaupt zugehörig xu betrachten. Wenn übiigens, wie in dem eben ar^eführten Beispiel, Ai'chimedes voi'zugsweise die Proportionslehre bei Untersuchungen anwendet, bei denen Apollonius die mit unserer Algebra näher verwandten Flächenoperationen vorzieht, so bin ich am meisten geneigt zu glauben, dals vielmehr Ärchimedes es ist, welcher seine persönlichen E^entümlichkeiten an den Tag l^t, als der sich an die alexandrinischen Vorgäi^er genauer anschliefsende Apol- lonius. Für diese Annahme spricht der Umstand, dafe der im zweiten Buche Euklids vorkommende Gfebrauch der Flächen- operationen bedeutend älter ist als die euklidische Proportions- lehre und also den Geometern, welche der Lehre von den Kegelschnitten die erste Entmcklur^ gegeben haben, in gröfserem Umfange zu Gebote gestanden hat.

Dritter Al)sclmitt.

Apollonius' erstes Biicl! über die Kegelscimitle,

Descartes ist wohl kaum der einzige, der den Eindruck empfangen hat'), dafs „schon die Reihenfolge der Sätze bei den Alten zur Genüge zeigt, dafs sie keine wirkliche Methode besafsen sie alle zu finden, sondern dafs sie nur diejenigen sammelten, welche ihnen zu^hg einfielen". Es ist wohl mög- lich, dafs für die Hervorrufung einer solchen Äuffassui^, nament- lich was die Lehre von den Kegelschnitten betrifft, das erste Buch des Apollonius, welches die GrUndzüge dieser Lehre ent- hält, nicht eben wenig beigetragen haben kann''). Das Buch beginnt nämlich mit der Betrachtung von Kegelschnitten auf dem Kegel selbst; darauf werden verschiedene planimetrische

') Geometiie. herausgegeben von van Schooien, S, 7, ") Descartes kann YieUeicht sogar geglaubt haben sich auf den Anfang Yon Apollonius' eigener Vori'ede zu stützea (vei-g). Anhang 1].

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fi4 Di'it.i.ei- Abschnitt.

tjiitersuchmigeiu iilDer Tangenten, konjugierte Dui'chniesser u. s. w. vorgenommen, mid am Schlüsse des Buches kehrt man wieder zu der stereometrischen Betrachtui^ zurück, die wiederum in den folgenden Büchern rerkssen wird.

Wer genauer zusieht, wird indessen gerade das Gegenteil eures planlosen Zusammenhäuf ens von Sätzen entdecken. Von Anfai^ bis Ende wird ein bestimmtes Ziel verfolgt. Es werden die Sätze mitgenommen, welche notwendig sind um dies Ziel zu erreichen, und die Untersuchungen, deren man liedurfte um diesen Sätzen eine so minutiöse Begründung zu geben, wie die Alten sie verlangten. Dadurch werden Resultate gewon- nen, welche sowohl an und für sich als auch als Grundlage für die weiter gehenden planimetrischen Untersuchungen der folgenden Bücher IjedeutungsvoU smd; aber für den Augenblick dienen sie als Mittel um vollständig zu begründen, dafs die Ellipsen , Parabeln und Hyperbeln , welche man durch Betrachtung aller möglichen Schnitte an allen Kreiskegeln erhält, identisch mit denen sind, welche man als Schnitte an Umdrehungskegeln erhält.

Das wollen wir zeigen, indem wir einen vorläufigen Über- bhck über den Inhalt des Buches und den Zusammenhang zwischen seinen verschiedenen Teilen geben.

Nach Defmitionen, die sich auf Ki'eiskegel und Kegelschnitte beziehen, und nach einigen Sätzen [1 — 3] über die hsge ge- rader Linien mit Beziehung auf Kegel und über Schnitte durch die Spitze werden [in den Sätzen 4 und 5] die beiden Reihen von Kreisschnitten an einem schiefen Kegel dai'gestellt. In 6 ^rird geze^, dafs alle Sehnen des Kegels, welche einer Linie in der Ebene der kreisförmigen Grundfläche parEÜlel sind, von einer gewissen Ebene halbiert werden. Diese Ebene geht durch die Axe des Kegels — imter Axe die Linie verstanden, welche den Scheitel mit dem Mittelpunkt der Grundfläche verbindet — , und ilire Spur iu der Ebene der Grundfläche steht auf der Linie senkrecht. In 7 wird dies benutzt um zu beweisen, dafs eine gewisse Reihe pai'aileler Sehnen in einem beliebigen ebenen Schnitt eines Kegels von der Durcbschnittslinie der Schnittebene mit einer gewissen durch die Axe gelten

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Haitptplan: alle Schnitte .in Kieiske^plii Im

Ebene halbiert wird. Es wis-d ausdrücklich Jjemprlit, daft der ge- fundene Durchmesser nur dann senki'echt auf den entsprechenden Sehnen steht, entweder wenn der Kegel gerade ist, oder wenn die Ebene durch die Axe die Symmetrieebene ist, während der- selbe in anderen Fällen schiefe AVinkel mit den Sehnen bildet. Es beruht also, wie auch von HouseP) gezeigt ist, auf emem MifsverstSndnis , wenn Chasles, dessen Hauptimtersuchungen in der alten Geometrie auf einen anderen Pnnltt gerichtet waren, und die verechiedenen Schriftsteller, welche Chasles bünd gefolgt sind, meinen, dafs Apollonius sich nur mit dem erwähnten Ausnahmef aUe , in welchem die Winkel rechte waren, beschäf- tigte. Wir haben gesehen, dafs man diese einfacheren Falle auch zur Zeit des Archimedes kannte.

Nach einigen vorbereitenden Sätzen [8—10) geht Apollonius dann dazu über, die Gleichungen für die ebenen Schnitte — ausgedrückt durch Worte und F^ren auf die im ersten Ab- schnitt ang^ebene Weise — abzuleiten, indem er den ge- fundenen Durchmesser zur Abscissenaxe , und die Hälften der von demselben halbierten Sehnen zu Ordinaten nimmt. Der Anfan^punkt ist einer von den Durchschnittspunkten dieses Durch- a

messers mit der Eegelfläche. Der- /\

selbe ist Z genannt in unseren / ^\

Figuren 12 und 13, welche nur das y\"" x"

darstellen, was in der durch die Axe / \ \,

gelegten Ebene, die den Dm'ch- / \ \

messer enthält, liegt; AB und AC ^[ \ \

sind Seitenhnien des Kegels, SC die Durchschnittslinie mit der Grund- fläche.

Ist nun, wie in Fig. 12, der Durchmesser parallel der Seitenlinie AB, so erhält der Schnitt die Gleichung

y^ = 2?x, worin 2> == ^^äbTÄC- *^'

Die Kurve heifst dann eine Parabel [Satz ll"].

') LiouviUes .Tournal, 2, Beilie, T, llt, H. 1.Ö5.

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(•}() Dritter Absclinitt,

Wenn zweitens, wie in Fig. 13, der Durchmessei' die Vei- längemng der Ei-zeugenden AB in T schneidet, so erhält der Schnitt die Gleichur^

, ^ . I

AD"' ' I

wenn AD der ZT pai-allel gezogen ist. Die Kurve heilst dann eine Hyperbel [12];

Wenn endlich der Diu-chmesser die Erzeugende AB selbst in T schneidet, so erhält man die Gleichung

wo a und p ebenso wie bei der Hyperbel besünimt werden, [n diesem Falle heifst die Kurve eine Ellipse [13].

Fig. JH.

ApoUonius leitet diese Sätze — Gleichungen in unserer Sprache — mit Hülfe ähnlicher Dreiecke ab, etwa so, wie man es noch heutigen Tags thun könnte. Es ist übrigens zu be- achten, dafs die Gleichui^en der Ellipse und Hyperbel mit den

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Hauptplaii; zwei Hypei'ljeläste. (i7

daxii gehörigen Konsfantenbestimniungen fast uniiüttelbai' aus dem Hülfssatz (veigl. den vorbeigehenden Abschnitt S, 51) her- vorgehen, welchen Äi'chimedes auf den spedelleren Fall an- wandte, dafs der Schnitt senkrecht ziu' Synimetrieebene (also auch senkrecht zur Ebene der Figur) geführt war.

Zu der ersten Äbteiliuig des ersten Buches wollen ■wir noch die Sätze 14—16 rechnen, wodurch wir zur Übereinstimmung mjt der Einteilung gelangen, welche ApolSonius selbst angieht, indem er vor Satz 17 eine neue Reihe von Definitionen einfühi't. In Satz 14 wird gezeigt, dafs die beiden Aste desselben hyper- bolischen Schnitts, welche durch Erweitei-ung der Kegelfläche über ihren Scheitel hinaus ei'halten werden (ro/iai dvTtxsifiswu), kongruent sind. In 15 wird gezeigt, dafs die Gleichung für eine Ellipse dieselbe Form behält, wenn man den Durchmesser und ■ die Sehnen mit dem Durchmesser und den Sehnen vertauscht, welche den g^ebenen Sehnen und dem gegebenen Durchmesser beziehungsweise parallel sind, mid in 16, dafs auch bei der Hy- perbel eine durch den Mittelpunkt {die Mitte des Durchmessers) pai'allel den Sehnen gezogene Linie („der zweite Durchmesser" der Kurve) die dem g^ebenen („ei-sten") Durchmesser pai'allelen Sehnen halbiert. Hier sehen wir zum ersten Male einen Satz aufgestellt, in welchem die von den beiden Hyperbei- ästen gebildete Kurve als ein Ganzes behandelt wird, eine Auffassung, welche vorlaut^ für die Zusammenstellui^ der Eigeixschaften der EUipse und Hyperbel bedeutungsvoll ist, und von der Apollonius später noch mchtigere Anwendungen macht, wenn er auch in seiner Benennung fortfährt die beiden zu- samniei^ehöi'^en Aste als zwei vei-schiedene Kurven zu be- trachten. Das, was er eine Hyperbel nennt, ist stets nur ein Hyperbelast.

Eine Ellipse , Parabel oder Hyperbel ist hier planime- ti'isch bestinmit als eine Kurve , welche in einem System von ParaUelkoordinaten mit einem beliebigen AVinke! zwischen den Axen durch die Gieichui^ (3), (i) oder (3) dai^estellt wird. Abgesehen von der Bestunmung der- Lage dieser KuiTen scheinen dieselben also von drei Konstanten abzu- hängen, nämlich jenem Winkel, p und a. Nun wufste Apol-

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C8 Diiltev Ab?chnitt.

ionius') aber aus der Lehre von den konjugierten Durchmessern, welche, wie im vorhei^ehenden Abschnitt envähnt, bekannt war, dafs die vor seiner Zeit untersuchten Kui-ven, welche Schnitte an geraden Kegeln sind und durch Gleichungen dei-selben Form für rechtwinklige Koordmateii be- stinunt werden, unendhch viele Paare konjugierter Durchmesser haben, und dafs sie mit deren Hülfe auch auf unendhch viele Arten durch Gieichui^en dei-selbeii Form für schiefwinklige Ko- ordinaten dargestellt werden können. Wenn er also nur eine Abhandlung schriebe, wobei er die vorhin erwähnte Lehre von den konjugierten Durchmessern als bekamit voraussetzen dürfte, und eine genauere Bestmimung der beliebigen Schnitte an schiefen Kegeln geben wollte, deren Gleichui^en er mm gefunden hat, so würde er sofort die erwähnte Lehre benutzen können um nachzuweisen, dafs auch umgekehrt die durch die gefundenen Gleichur^en bestimmten Kui-ven immer unter die früher unter- suchten gehören. Er schreibt indessen keine Abhandlung son- dern ein Lehrbuch, wobei er nichts über die Kurven als bekannt voraussetzen darf. Er mufs deshalb, bevor er das endliche Ziel des ersten Buchs erreichen kami, von den gefundenen Gleichungen ausgehen und auf Grundlage dieser die Lehre von den konjugierten Durchmessern anfbaaen, welche walu'- scheinlich im voraus etwa ebenso ausgeführt gewesen ist, aber auf Grundl^e derselben Gleichungen in rechtwinkligen Koordinaten. Nur dadurch kann er zeigen, dafs die dargestellten Km-i^en immer ein rechtwinküges Paar konjugierter Durch- messer („Axen") haben, und dafs sie sicli deshalb immer auf Umdrehungskegel legen lassen. Bei der Entwicklmig der Lehre von den konjugiertenDuichinesöern^ieiden inde'oenT'ingenten bo'-tinmiui'^en und andere Hulf'^unter-uchungen benutzt mid so iradet dei folgende Inhalt des ei-sten Buchs den wn nun bespiechen wollen seine Eiklaiung

) l\u leden hiei untei dei ^orau= etzin,, iais A] ull um le ei^ie gewesen i&t dei alle möglichen Schmt e ai Kieii^ke^eli uiteisu ht hat Sollte des nicht dei Fall gewesen «ein s) ivOide ihn daduich nui die Auftihinng ie« hiei geschilde ten ;=leniatischen Bduei ei leichtert «oiden ein

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Haiiptplaii; Tangenten. ß9

Auf die oben ei'xvähiiten neuen Definitionen folgt eine Reihe Ton Sätzen [17 — 31], welche wir nicht genauer wiedei-zugeben brauchen. Die meisten dereelben enthalten nämlich nur solche Angaben über die Lage gerader Linien in ßeziehimg auf die Kurven und dadurch indirekt über die RJchtut^ von deren Konkavität, welche sich unmittelbar aus einer Figm^ entnehmen lassen, und deren nähere B^ündung, wemi sie auf solche Weise einmal gefunden waren, nachher keine Schwierigkeit geboten haben kann. Dieselben mu'den nur einen neuen Beweis füi' die Sorg- falt abgeben, welche die Griechen auf eine vollständige Beweis- führung verwandten. Die übrigen Sätze, namentlich 20 und 21, enthalten nur die- Umwandking der Darstellung der Kegelschnitte in die Form, mit der unsere Leser schon bei Seltenheit unserer Erwähnung des Archimedes bekamat geworden sind, wenn wir uns auch damals vorzi^sweise an rechtwink%e Koordinaten hielten.

In 32—40 folgen demnächst Bestimmungen von Tangen- ten. Die Tangente im Endpunkte des Durchmessers, welcher zur Abseissenaxe genommen ist und den wir den Durchmesser nennen können, da. er und der ihm konji^ei-te Durchmesser die einzigen bis jetzt bekannten sind, ist den Ordinalen pa- rallel [33j. Die Tangente in einem Punkte der Parabel, welcher nicht auf dem Dmchmesser liegt, wird dadurch bestimmt, dafs der Anfai^pmikt die Mitte zwischen den Punkten wird, in denen Tangente und Ordinate desselben Kurvenpunktes den Durchmesser schneiden. 33 enthält den Satz, dafs die so be- stimmte Linie Tangente ist, und 35 den umgekelulen, dafs eine Tangente immer diese EigenschEift hat. Bei der Ellipse imd Hyperbel, welche zusammen behandelt werden, wird dieselbe Bestimmung dadurch vorgenommen, dafs der Durchmesser von Tangente und Ordinate desselben Kurvenpunktes harmonisch') geteilt wird [34 und 36], Füi' diese Bestimmui^ folgen in 37 — 40 andere Ausdracke, welche wir am Schlüsse dieses Ab- schnitts genauer auseinandersetzen werden. Mittels dieser wird nicht nur für die Elhpse, sondern auch für die Hyperbel die durch die Proportion

') Doch hi'aiieht ApoUoniiis diesen Ausdruck nicht.

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Dritl.er Alisclmitt.

bostiinmte Gi'öfse li Ijeimtzt, welche auf cle]ii konjugierten Duvdi- nieäser so abgeü-agen wird, dafs ihi'e Jlitte auf den Mittelpunkt der Kurve fällt. Die so begi-enzte Strecke beti-achtet Äpollonius in Folge der eben erwähnten neuen Definitionen, welche er ersl an dieser Stelle benutzt, als die Länge des konjugierten Durchmessers, der die Kurve nicht schneidet. Er wendet also dasselbe Mittel an, welches jetzt benutzt wird, um Gleichartigkeit der Sätze zustande zu bringen. Die Einführung dieser Hülf^röl'se b setzt ÄpoUonius in den Staiid, nicht nur für die Ellipse — wo er das im Grunde schon früher im Be- weise für 15 gethan hat — sondern [in 41] auch für die flj'- perbel der Darstellung der Kurve eine Form zu geben, welche algebraisch durch die Mitteipunktsgleichmig, bezogen auf zwei Durchmesser, ausgedrückt werden würde.

Die Bestimmungen der Tangenten werden feraer benutzt mn [in Satz 42—51] zu zeigen, dafs jede Parallele zti dem g^ebenen Dm'chmesser der Parabel und jede Linie durch den Mittelpunkt der Ellipse oder Hyperbel ganz dieselben Eigen- schaften hat, entweder wie der g^^ehene Durchmesser, indem die zugehörigen Sehnen dann der Tangente in seinem Sehnitl- punkte (seinen Schnittpunkten) mit der Kurve parallel sind, oder, wenn er die Kurve, die dann eine Hyperbel ist, nicht schneidet, wie der ursprünghche zweite Durchmessei'.

42 — 45 enthalten ein^e hierzu dienende vorbereitende Um- formungen der Darstellung der Kur\'en, In 46—48 wird be- wiesen, dafs der neue Durchmesser die zugehörigen Sehnen halbiert, und in 49 — 51 wird gezeigl:, dafs die Kurven, wenn sie auf die neuen Durciunesser und deren Sehnen bezogen werden, auf ganz dieselbe Weise dai'gratellt werden wie damals, als sie auf die ursprünglichen bezogen waren, nänihch durch die Eigenschaften, welche ivir durch die Gleichungen (1), (2) und (3) ausgedrückt halben. Im folgenden Abschnitt werden wir uns genauer mit den Operationen beschäftigen, dnrch welche dies erreicht wird. Hier begnügen wir uns mit dem Resultat und wollen nur noch hinzufügen, dafs der dem neuen Durch-

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Hnuptplan: koQjiigieite Ducclmte-

71

entspi'ochende Wert f tles Parameters — welchen Namen wir der von Äpollomiis auf andere Weise bezeichneten Konstanten geben wollen, obgleich dieselbe um- für rechtwink- lige Koordinaten der eigentliche Parameter ist — auf folgende für alle ICegelsclmitte gleichartige Weise bestimmt wird.

Es sei B {Fig. 14) der ursprüngliche Anfangspunkt, E der neae, J der Schnittpunkt der Tangenten in diesen Punkten, D und h die Punkte, in denen diese Tangenten die durch B und E gezogenen Durchmesser sehneiden; dann ist

P'

^EL

■ ED.

Dai's ApoUonius drei Säize für diese Transformation be- nutzt, beruht darauf, dafs er erst diePai'sbel behandelt, dann den Fail, wo B und E auf derselben Ellipse oder demseil^en Hyperbelast liegen, und endlich den, wo sie auf verschiedenen Hyperbelästen liegei.

Nun ist ApoUonius endlich so weit gekommen, dafs er zu dem Nachweise übersehen kann, dafs die durch die Gleichui^en (1), (2) und (3) dai^estellten Schnitte an schiefen K^eln die- selben Kurven suid, welche auf dieselbe Weise dm-ch recht- mnklige Koordinaten dargestellt tind durch Schnitte an Um- drehungskegehi hervorgebracht werden können. Er hält sich

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7:ä Üiittei- AlischTiitt,

sogar für so gut vorbereitet, dal's er um das letztere zu be- weisen sich unmittelbai' die Aufgabe [52 — 55] stellt: eine Parabel, Hyperbel oder Ellipse „zu finden", wenn die Lage des Än- fangsptmfctes und des Durchmessers, die zugehörige Ordinaten- richtung samt der Lär^e des Parameters und für Ellipse und Hyperbel zugleich die Länge des Durchmessers g^eben sind, also mit anderen Worten, wenn die Km've durch ihre Gleichung gegeben ist. Aus der Lösur^ ist nämhch ersichtlich, dafs eine solche Kurve „zu finden" bedeutet, dieselbe als Schnitt eines ümdrehur^skegels zu bestimmen, tn Wirtlichkeit zeigt sich indessen, dafs diese für jede von deu drei Kurven einzeln ge- stellte Aufgabe aus zwei Aufgaben besteht, die jede füi' sich gelöst werden. ApoUonius begiimt nämlich mit der Annahme, dafs die Ordinaten rechte Winkel mit dem Durchmesser bilden, und löst die Aufgabe für diesen Fall, bei dem er allerdings nicht in der Lage ist von den vorhergehenden planimetrischen Untere Hebungen Gebrauch zu machen. Demnächst ze^ er, wie andere Fälle sich auf diesen zurückführen lassen, da man stets einen Dijrchmesser konstruieren kann, der auf den zugehör^en Ordinaten senkrecht steht. Wenn dieses wicht^e Faktum auch nicht in Form eines Theorems oder eines be- sonderen Problems aufgestellt ist, so geht die Bedeutung, die er demselben beilegt, aus der Soi^alt hervor, mit der er diese Bestimmung einer Äxe vorbereitet hat.

Diese letztere Bestimmung , mit der wir hier beginnen wollen, stützt sich auf die oben (Fig. 14) mitgeteilte Bestimmung des Parameters p\ welcher zu dem Durchmesser durch den Punkt E gehört. Diesei' Durchmesser und der zugehörige Para- meter p' werden nun als gegeben betrachtet, während der Dm-chmesser durch B eine Axe sein und also auf der Tangente in B senkrecht stehen soll. Wir wollen hinsichtlich der Ellipse, um uns an die vorü^ende Figur halten zu können, die Änalysis wiedei^eben, welche der von Äpollonius synthetisch dai^estellten Lösung [54] entspricht, und die Ordinate EF von E an die Axe OB ziehen, sowie FG parallel der Tangente DE. Dann wird , _ gEJ FG F^ ,

^ ^ '"EL ' GE' GO'^ '

yGoosle

HaiiptplELü : Bestiniinimf;' iloi' Axen. 7'A

WO -vvii- den Halbmesser OE = -^ gesetzt haben. Um die Axe OB zu bestimmen kommt es also nur darauf an auf dem Halb- kreise über OE als Durchmesser einen solchen Punkt F zu

bestimmen, dafs „^ „^ den g^ebenen Wert ^-j erhält.

Apollonius sagt, dafs man dies thun soll. Wenn er nicht sagt auf welche AVeise man es thun soll, so mufs der Grund dafür der sein, dafs er es fiTir so einfach hält, dafs ein genauerer Hinweis, der überdies die Darstellung weitläufig machen würde, überflüssig wäre. Eine Lösui'^ dieser Nebenaufgabe hefse sich dadurch finden, dafs man sich FG bis zum zweiten Schnitt- punkt F' mit dem Kreise verlängei't denkt. Darni wird nämlich

FG- FG

■Fz-t -^-A = ~Frpr- Die Sehne FF' soll also in einer gegebenen

Richtung so gezogen werden, dafs sie von dem Durchmesser

EO nach dem gegebenen Verhältnis ^ geteilt wird. Da die

Mitte M der Sehne auf einem anderen bekannten Durchmesser

liegen mufs und, das Verhältnis -^TT=i = -^ — ; auch bekannt

wird, so läfst diese Aufgabe sich leicht lösen. Dafs Apollonius wirklich so verfahren ist, ivird dadurch wahrscheinlich, dafs er am Schlüsse des zweiten Buches eine ähnhche Aufgabe auf ähn- liche Weise gelöst hat, {Ven?l. Ende des 5ten Abschnitts, Fig. 24).

Es ist leicht ersichtlich, dafs ApoDonius' Lösung mit der- jenigen übereinstimmt , welche man findet , wenn man auf einander senkrechte Sehnen sucht, welche einen Punkt der Km-ve mit den Endpunkten des gegebenen Durchmessers ver- binden; nur würde man dann diesen ganzen Durchmesser und nicht seine Hälfte zum Durchmesser des Hülfskreises nehmen.

Die Aufgabe wh'd ganz auf dieselbe Weise für die Hyperbel gelöst [53]. Für die Parabel wird sie, wenn wii' dieselben Bezeichiiungen wie in Fig. 14') benutzen, wo dann die Durch- messer durch B und E mit Parallelen zu vertauschen sind,

') Vergleiche im Folgenden Fig. Öl.

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74 Diittej- Alischiiiü.

dadvureh gelöst, As(s die Senkrechte auf i'i> in I> den Durcli- messer durch E in einem solchen Puntte H schneiden muts, dafä EH = ^ . Der Punkt D und dadurch die Axe DB lassen sich dann leicht be=!tinnnen.

"Was demm.chst Apollonius' Bestimmung eines durch einen gegebenen kegeKchmft gelegten Umdi'ehungskegels betrifft, wenn die Axe und ihi 7ugehorig'er Parameter p gefunden sind, so wird diese fui die Parabel leicht aus dem durch (1) gegebenen Ausdfuck fui p gewonnen. In solchem Falle mufs man, wenn ZY parallel CB gezogen ist, AZ = AY haben -— was nicht der Fall ist in Fig. 12, die im übrigen anzuwenden ist — , mid man erhält dann ZY^ = p . AZ. Wählt man also AZ be- liebig — doch, «ie Apollonius ausdrücküch bemerkt, gröfser als

4 so ist Dreieck AZY vollkommen bestimmt.

4

Die Lösung, welche Apollonius für dieselbe Aufgabe beti'efls der Ellipse mid Hyperbel giebt, läfst sich an die Bestimraui'^ des Parameters in den Formeln (2) und (3) some an Fig. 13, in der wir aus dieser Veranlassui^ die punktierten Linien hinzu- gefügt haben, anschliefsen. Von disen ist A U parallel BC. Man hat zufo^e (2) und des oft erwähnten Archimedischen Hülf- satxes (S. 51)

P_ — ^ALiJ^ _ _^'"-^'_ TT ~ " AD-' "^ ZU.Vf- Soll nun der Kegel ein Umdrehungskegel sein, so niufs man — was in Fig. 1;^ nicht der Fall ist') — JB^AChnheu,

) Dpi &Ltind «eshill nii de'^'emin^e achtet iicse ti^u] I eilieli Iteii 1 t dei (lals daluich teiU dei An'JchluI« aa die im loiau« ent wickelte Lehie lon Schnitten -m beliehigen Eieiske^eln deuthchei wild teii"- die Figui ieijrt d^f•^ dieielbe Löaui^ sich auch, anwenden lassen nnide nenn iie Aufgabe die all^emeineie wäie hirch einen gegebenen Kegelschnitt einen schiefen Kieiskesel /u legen dei einem „egehenen ähnhch i<it Zudem dinn namlich aiif-.ei ^ TAZ auch Z. TAY = Z. ABC gegeben i=t ivud daduRh tei Punkt V \oü tommen bestiKimt Auf diesen Um-itand lei hiei «o es eben daiauf ankommt einen geiiden Kegel zu eihalten jhne Bedeutung i-t Herden im durch eine Bemeikung m unaerei Beapiechung lon Ajol Innin« "^erh'tem BuHip zurl'kkrmmen Man lergl len 17'en Abs-ihnili

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Hauptplan: Identität mit Sclinitten an Umclreliuii^sliegeln. 75

und die Linie ^C halbiert dann den Keljenwinkel vom Scheitel- winkel GAB des Kegels, Läfst man die GrÖfse, über welche man auch in diesem Falle frei darf disponieren können, den Scheitelwinkel des Kegels sein, so mufs der Scheitel A des Kegels auf einem durch diesen Wmkel hestinunten Kreise über der Axe TZ des Kegelschnitts als Seime liegen, und zwar mufs er auf dem einen oder anderen der beiden Bogen ZT liegen, je nachdem die Kurve eine Elhpse oder eine Hj'per- bei sein soll. Die Linie AU mufs die Mitte V des Bogens treffen , welcher in beiden Fällen aufserhalb des K^els fällt. Dei- Punkt V ist dann bestimmt, und wemi man aus

dem soeben gefundenen Äusdi-uck für ^ den Wert tttt ^^-

leitet, so läfst die durch den Punkt V gehende Linie VUA und dadurch der Scheitel A des gesuchten Kegels sich leicht be- stimmen.

Auf diese AVeise löst ApoUonius seine Aufgabe, doch ohne hier zu sagen, dafs man durch Einführung des Kreises ZAT dem Scheitelwinkel des Kegels eine gegebene Gröfse beilegt. Dag^en versäumt er nicht anzuführen, dafs es bei der Kon- struktion der HjiDerbel notwendig ist den Kreis über TZ so zu wählen, dafs das Verhältnis zwischen dem Abstand des Punktes V von TZ und der Höhe des Ki'eisabschnitts TAZ nicht gi-öfser

als — ist. Die ganze Behandlung ist, wie sich später zeigt, ein

dem Bedürfnis des Augenblicks angepafster Auszug aus einer selbständigen Behandlung der Aufgabe: durch einen gegebenen Kegelschnitt einen Unidi-ehur^kegel zu legen, der einem ge- gebenen ähnlich ist; erst im 6ten Buch findet ApoUonius Ge- legenheit diese Aufgabe voüständig in der Foim zu behandeln, welche die Alten bei Konsü'uktionsau^aben und deren Lö- smigen zu beobachten pfl^en.

Housel, der dem ApoUonius keinen bestimmten Plan hin- sichtlich der Abfassung des ersten Buches beizulegen scheint und deshalb den hier besprochenen Lösungen der Aufgaben 52 — 55 nicht dieselbe Bedeutimg zuschreibt -v>rie wir, betrachtet diese Aut- galien nur als Umkehrmigen derjenigen am Anfange des Buches,

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7(i Di'ittei' Allschnitt,

wo es daj'aut' ankam die Beschaffenheit gegebener Schnitte an gegebenen Kegeln zu finden'). Hiemach sollte es also nui' die Absicht des Apollonius gewesen sein Kegel, gerade oder schiefe, zu finden, welche durch gegebene Kegelschnitte gehen. Für eine solche Auffassung spricht vielleicht der Umstand, dafs Apollonius die Aufgabe so forniulieil, wie wir erwähnt haben: eine Parabel, Hyperbel oder Ellipse zu finden, wenn u. s, w. Denn da er ursprünglich in 11—13 diese Namen so eir^eführt hat, dafs dieselben sich mit gleichem Rechte auf Schnitte an schiefen und an geraden K^eln anwenden lassen, und da die Identität dieser Schnitte eist aus der Art hervoi^eht, wie er die Aufgaben 52 — 55 löst, so bedeuten die gestellten Aufgaben dem Wortlaute nach nur: ,u^end einen Kreiskegel durch die durch ihre Gleichui^ bestimmte KuiTe zu legen".

Hätte Apollonius nun wirklich nichts anderes beabsichtigt, so erscheint es mir am wabi'scbeinliciisten , dafs er die um- gekehrten Aufgaben gleich nach den direkten gelöst haben würde, imd dazu würde ihn eine vereinigte Anwendung der stereometi'ischen Betrachtungsweise im Anfange des Buches und solcher Operationen wie die sind, welche wirklich zur Auflösung der Aufgabe! 53 —55 in den specieUen Fällen, wo das gegebene Koordinatensystem rechtwinklig ist, angewendet wei'den, befahlt haben. Was er aber auch beabsichtigt haben mag, so steht

') Liouville's Journal, S.Reihe, T. III, S. 160. Housel hat m jedem Falle Apollonius miCsverstandeD , wenn ei' sagt, daft derselbe diese Kurven auf einen Kegel legt, der ein gerader wird, wenn die Axen rechtwinklig sind; er legt dieselben nämlicli in allen Fällen auf einen geraden Kegel. Die Bemerkung, daia die hier gelösten umgekehrten Aufgaben im. Giiiade dieseiben sind me die direkten, deutet auch auf eine oberflächliche Betrachtung der laitgeteilteu Lösungen. Housels abweichende Auffassung kann sich also nur auf die etwas unklare Form stützen, in der Apollonius die Angaben stellt. In den folgenden Zeilen envähnt Housel allerdings, äah Apollonius ,die Form der Kur- ven durch Betrachtung der rechtwinkl^en Axen zu präclsiei'en sucht" ; aber er scheint vollständig zu übersehen, dafs schon hier eiue esakte Bestimmung derselben und dadurch ein exakter Beweis für ihre Existenz gegeben wird. Nach einer Äufserung von Hoiisel S. 1Ö3 bei Besprechung des zweiten Buchs würde dieser Beweis erst im 7'*'" Buche gegeben sein.

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Hauptplaii; Methoden. 77

doch fest, dafs er nicht nur die Aufgaben auf eine Weise löst, welche allein durch die vorhergehende planimetiische Entwicklung ermöglicht wird, sondern auch dafs es ihm faktisch gelui'^en ist zu beweisen, dafs es an schiefen Kegeln keine anderen Schnitte giebt als an geraden und dafs alle Kegelschnitte Axen haben. Selbst wenn ich also darin Unrecht haben sollte, dafs die Notwendigkeit diese letzten Beweise zu fordern dem ApoUonius während der ganzen Äbfassui^ des ersten Buchs vollkommen klar vor Augen gestanden habe, so ist doch einmal die Auf- einanderfolge der Sätze m diesem Buche erklärt, und zweitens die erwähnte notwendige Forderung faktisch erfüllt. Dafs dies letztere, das ülierdies so ganz mit der Stringenz der Alten über- einstimmt, nur auf einem Zufall beruhen sollte, halte ich indessen für unannehmbar.

Indem wir also nachgewiesen haben, dafs Äpollonius in seinem ersten Buche einen Stoff, der zum grofsen Teil im voraus bekannt war, nach einem klaren und bestimmten Plan geordnet hat, so ist es offenbar vollkommen unrichtig mit Descartes aus dieser Ordnung scbliefsen zu wollen, dafs dieser Stoff, welcher die wesentlichste Grundlj^e für die in den folgenden EücheiTi weiter entwickelte Lehre von den Kegel- schnitten in sich begreift, einem glücklichen Ausgang planlosen Forschens zu verdanken, und nicht auf bestimmte Methoden gestützt gewesen sei. Im Gegenteil, wenn man diesen Plan genau ins Ange fafst, so zeigt es sich, dafs Äpollonius nicht nur im einzelnen gesehen hat, wie der eine Satz aus dem anderen folgte, sondern dafs er auch ein offenes Auge für den inneren Zusammenhang zwischen den Hülfsmitteln gehabt hat, welche in den verschiedenen Beweisen benutzt werden. Diese Hülfsmittel sind dadurch für ihn Methoden gewesen, welche er auch bei anderen üntersuehimgen gebrauchen konnte, und wir werden sehen, daJs er davon auch Gebrauch macht. Zum grofsen Teil sind es wahi'scheinhch dieselben Methoden gewesen, welche seine Voigäi^er zur Ableitung der vor seiner Zeit be- kannt gewesenen Resultate benutzt haben, und welche sie zum Teil gleichzeitig entwickelten, während sie sie in solcher Weise

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78 Diittei' Ai)sclinitt.

anwandten. Abgesehen von dei' alle mathematische Untersuchmig umfassenden analytischen Methode und der Darstellung solcher hierher gehörigen allgememen Hiilfsmittel wie die sind, welche sich in Euklids Data finden, scheinen die Griechen indessen nicht den bedeutungsvollen Schi-itt gethan zu haben diese Methoden und die Regehi für ihre Anwendung ausdrück- lich aufzustellen. Man wird sich also durch den häufigen Gebrauch diese Regeln angeeignet haben. Wir dagegen können um so viel leichter die wichtigsten der ai^ewandten Methoden herausfinden und hervorheben, als dieselben unter diejenigen gehören, welche später in der analytischen Geometrie be- stimmt formuhert worden sind.

Was zuerst in die Augen fällt, und was wir nicht nur bei Äpollonius antreffen, sondern auch bei Ai'chimedes gefunden haben, ist der Gebrauch von Koordinaten. Wh' haben gesehen, dafs diese ganx wie heutigen Tages zur Bestimmung von Punkten gebraucht wurden, und dafs eine Kurve durch solche, geometrisch ausgedrückte Eigens(^haften aller ihrer Punkte dai^esteUt wird, welche nach unserer Darstellung im ereten Ab- schnitt für die Griechen dasselbe waren, wie Gleichungen füi' uns.

Ferner zeigte sich bei unserem Überblick: über das erste Buch des Äpollonius, dafs er, um die Beschaffenheit einer ge- wissen Km've, nämlich eines Schnitts an einem schiefen Kegel, zu imden, die Gleichung derselben in einem gewissen Koordinatensystem {im al^emeinen in einem schiefwinkligeni suchte, und darauf, indem er aus der gefundenen Gleichung diejenige ableitete, welche dieselbe Kurve in einem anderen (rechtwinkligen) Kooi-dinatensystem darstellte, zur Kenntnis ge- lar^e, dafs dieselbe unter im voraus bekannte Kurven- arten gehörte. Endlich haben wir erwähnt, dafs die für eine Kurve gefundene Gleichung direkt benutzt wird mn ihre Tangenten zu bestimmen und neue Eigenschaften abzuleiten. Bei diesen Untersuchungen wurde von einem beliebigen Durch- messer mid dem zu ihm gehörigen Sehnensystem angegangen; aber es steht der Annahme nichts im Wege, dafs mait früher eine der Axen der Kurve auf dieselbe Weise benutzt habe. Eine solche Annahme stimmt damit, dal's Äpollonius in seiner

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Gebraucli der Koordinaten. 79

Vorrede aiisdräcklich nui- den Anspruch erhebt , in den ersten Bücliein früher bekannte Dinge vollstänthger mid allgemeiner zu behandehi').

Alles hier angefülirte stimmt vollkommen mit den Methoden der Gegenwart üliereiii. Der üntei'schied macht sich erst gel- tend bei der Behandlung von Einzelheiten, welche jetzt durch algebraische Umformungen erfolgt, wahrend die Alten auf geo- metiische Operationen tuigewiesen waren. Ein Teil von diesen gehöii indessen unter die im ersten Abschnitt besprochene geometrische Algebra, wodurch der Gedankengang, der sieh durch die geometrischen Operationen hindurchzieht, oft dei-selbe wird vfie der, weichen wir in der Zeichensprache der Algebra ausdrücken. Deshalb werden wir auch in der folgenden Aus- einandersetzung über die Beweisfühi'ung in Apollonius' erstem Buche, die wir bei miserem Überblick über dessen Inhalt nicht mitnehmen konnten oder die wir anzudeuten uns begnügen mufsten, von dieser Zeichensprache zur Abkürzung der Dar- stellung durchgehends Gebrauch machen.

Wir wollen damit beginnen zu zeigen, me Apollonius die in Linserem ersten Abschnitt bei den Figuren ii und 7 erwähnte geometrische Daretellung der Gleichungen der Kegelschnitte, die wir zusammenfassend fo^endennafsen schreiben können

j/^ = 2JX -f ax^ = x{p + ax) = xY, (4)

worin Y = p + ax die unter rechtem Winkel errichtete Ordi- nate der Hülfslinie BE bedeutet, zm- Bestimm«!^ des Dm"ch- schnitts der Kurve mit einer gegebenen, diu'ch den Anfsingspunkt gehenden Linie verwendet. Nimmt man an, dafs diese ge- gebene gerade Linie durch den Punkt (a;^, if^) geht, und nennt man ihre zur Abscisse x gehörige Ordinate y', so erhält man

■^ = ^ , und folglich — =-- --^ • X, welcher Ausdruck gleich Y'

gesetzt mrd. Wird nun ein Punkt (x, Y) in das rechtwinklige Hülfskoordinatensystem eir^eführt, so wird derselbe eine gerade Linie, welche durch den Anfangspunkt geht, durchlaufen. Da, für dasselbe -x, aus F = F' sich i/ = ;/' ei-giebl, so erhält der

') Vevgl. ,A.nhang J.

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80

Schnittpunkt (.lieser Linie mit i^er ersten Hülfslinic diesel])e Abscisse wie der gesuchte Schnittpviiikt. Dieser wird dann so bestimmt, wie Fig. 15 für die Ellipse zeigt, wo G dei' gegebene

"bgetrageii ist, imd die Be-

Punki (x,. y,) ist, CH - Zeichnungen im übrigen

■ AC dieselben sind

an Fig. 6. Die

Hülfsllnien shid dann BE und AH, deren Durchsehnittspunkt J mit Hülfe der Ordinalen JL und LK den gesuchten Punkt K bestimmt, in dem der Kegelschnitt die Linie AG schneidet.

Die Abscisse des Schnittpunktes K ist also wie m der ana- lytischen Geometrie als der Wert von x bestimmt, für welchen der Kegelschnitt und die gegebene GEerade dieselbe Ordinate erhalten. Nur ist die mittels Division durch x erhaltene Glei- chung ei-sten Grades graphisch durch die beiden HGlfelmien gelöst.

Die hier gegebene Bestüiuiiung des Schnittpmiktes zwischen dem Kegelschnitt und einem dui'ch den Anfangspunkt gehenden

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BestirnmunE vnii Tangenten. 81

üeradeii wiid [in 32] benutzt um 7U beweisen, dafs die Tau- gente im Endpunkte eines Duichniessers, der als Anfangspunkt genommen ist, den zum Durchmesiei gehörigen Sehnen parallel ist. Es ist allerdii^ früher [m 17] bewiesen, dafs diese Pa- rallele, AT In Fig. 15, nur den Änfangspimkt mit der Kurve gemeinsam hat und im übrigen aulserhalb dei-s-elben hegt; aber daraus folgt nicht mit Notwendigkeit, daib dieselbe eme Tan- gente ist, denn es liefse sich ja auch denken, dafs die Kurve eine Spitze habe. Deshalb beweist Apollonms [m 32], dafs keine Gerade zwischen AT und die Kurve fallen kann. Der Versuch eine solche AG zu ziehen erweist sich nämüch dadurch als unmöglich , dafs man auf dieser den Punkt K bestimmen kann, welcher nicht aufserhalb der Kui^ve ü^.

Ganz andei-s verfährt Äpollonius [in 33—36] bei Bestimmung der Tangente in einem Punkte {x, y), welcher nicht auf dem Durchmesser liegt, wobei man zu beachten hat, dafs es noch nicht bewiesen ist, dafs durch jeden Punkt der Kurve ein Durchmesser mit denselben E^enschaften wie der g^ebene geht. Bezeichnet man die laufenden Koordinaten der Tangente in [x, ij) mit x' und y', so wird die Tangente dadurch be- stimmt, dafs man für aüe anderen Punkte der Tangente als eben den Berührungspunkt haben mufs:

y" ^ .^

X'_L ±x'^ x-\- — x^

P V

Für die Parabel, wo « = 0, läfst sich leicht beweisen, dafs diese Bedingung von der Linie erfüllt wird, welche den Durchmesser in demselben Abstand x vom Anfangspunkt wie die Ordinate des Punktes schneidet, aber auf der entgegen- gesetzten Seite. Für diese Linie erhält man nämlich

f^ y^

(x -I- x'Y ~ 4x2 '

aber da

^XX' (X'^-X'^'

mithin —^ > ^ ■

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S-2 Dritter Abscitnitt.

Bak XX' <. {^^ — ■) , oder dafs ein Rechteck, dessen

Seiten eine gegebene Summe haben , seinen gi'Öfsten Wert erhält, wenn die Seiten gleich grofs sind, ist bei Euklid VI, 27 bewiesen, wo, wie wir im ersten Abschnitt gesehen haben, die Bedir^ung für die Lösbarkeit der Gleichung ax — x^ = b^ an- gegeben wird.

Durch Benutzung eines besonderen Kunstgilffs wird Apol- lonius in den Stand gesetzt diesen Satz auch zur Bestirammig dev Tangente in einem Punkte D einer Ellipse oder Hyperbel

oder

anzuwenden. Die aufgestellte Bedingung läfst sich mit den Bezeichnungen, welche Fig, 16 enthält, aasdrücken durch

AC-.C'B ^ AG.CB'

AO . C'B ' AG.CB' Nun weifs man, wenn 4 Punkte A, B. 0, D einer Geraden von einem Pnnkte P auf eine der FD parallele Gerade proji- ciert werden und Ai, B,, C, die Projektionen von A, B, C sind, dafs dann

AG. BD _ A^C, BC.AU BiC,' Darf man annehmen, dafs Apollonius diesen speciellen Fall des Satzes von der Unveränderüchkeit des anharmonischen

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Heiitimraimg von Tangenten. 83

Verhiiltiiisses durch Projektion gekannt habe, so wii'd der Gedankengang in seinem etwas weitläufigen Beweise einfach genug. Er wird dann folgendemaafsen überlegt haben. Wenn in Fig. 16 die Punkte A, B, C, C' von einem Punkte P auf eine der PE parallele Gerade in den Punkten ^i, S,, C^, C\ projiciert werden, so ergiebt die aufgestellte Relation, die sich auf die Form

AC. EC C'B.EC AC-.EC ^ CB.EG' bringen läfst, dafs

A,C^.O^B, > A,C\.C\B,. Der Punkt (7, wird nach dem eben citierten Satze bei Euklid dieser Bedii^ui^ für ein Maximum genügen, wemi Cj die Mitte von A^B, ist, also wenn -diCi -= C^Bi. Ein wieder- holter Gebrauch des Hülfssatzes über Projektion giebt dann, dafs

AC.EB _ A,C, _

CB.EA ~ C,B, ' ' oder dafs C und E einander harmonisch zugeordnet sind mit Beziehung auf A und S.

Apollonius nimmt [Satz 34] D zum Projektionscentruni und projiciert auf eine durch A zur DE gezogene Parallele. Abgesehen von der synthetischen Fonu weicht sein Beweis dafür, dafs die auf die ang^ebene Weise bestumiite Linie ED wü-kHch eine Tangente ist, von der hier mitgeteilten analytischen Ableitung desselben nur dadurch ab, dafs er nicht den Hülfs- satz über Projektion eitiert, sondern dessen ziveimaJige Anwen- dung mit Hülfe ähnlicher Dreiecke beweist, und diese Beweise einen Teü seiner eigenen Beweisführung ausmachen läfst'). Die Entstehung des ziemlich weitläuf^en Beweises läfst sich leicht durch die Annahme erklären, dafs der Verfasser desselben selbst den erwähnten Hülfssatz gekannt hat, diesen aber nicht bei seinen Lesern als bekannt hat voraussetzen dürfen.

') Das habe ich genauer nacligewiesea durch ein Referat des Beweisen in Tidsekrift for Mathematik, 1882, S. 98. Housels Wiedergabe des Beweises (Lionville, 2. Reihe, T. III, S. 158) hat fast gamichtf- mit Apollonius' eigener Beweisführung gemein.

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S4

Dfitl.ov Ä))sc]initt.

Flu' die Richtigkeit dieser Annahme spricht das, was wir sonst über die Kenntnis desselben Hülfssatzes im Altertum ivisseii. Derselbe kommt ebensowohl wie der — nach der modernen Auffassung unendlich femer Punkte — allgemeinere Satz über die Unveränderlichkeit des anharmonischen Verhält- nisses dm'ch Projektion unter den Hülfssätzen des Pappus zu Euklids Büchern über die Porismen') vor, und es Msi si(.h kaum bezi^eiteln dafs er unter der einen oder andern Foim m diesem AVeike zu finden gewesen ist^). Dann ist es ganz natmli h anzunehmen, dafs Apollonius den benutzten Hulfssatz ins der Psiismen gekaiint hat; aber da er dieses Werk nicht direkt benutzt, so ist sein angeführter Beweis ent- standen Im ubiigen kann dieser Beweis oder doch derGrund- geduike desselben auch direkt Euklid ai^ehören und in seinen Bucliem über die Ei^elschnitte dai^estellt gewesen sein.

Apollonius formt [in 37 — 40] die Bestimmung derTai^ente um mit Hülfe dei jetzt gebräuchhchen UmfoiTOungen der Rela- tion 7« lachen Mei hannonischen Punkten, die sich leicht durch das im zw eitcn Buch der Elemente benutzte Verfahren ausführen lissen Ist ho 0 dei Mittelpunkt, so findet er {Fig. IG), dafs

OC.OJä- 0^" _(i)', (I)

woraus man ferner durch Subtraktion von OC^ findet;

OC.CJS = AC.CB, (II)

also zufüge der Gleichung der Kun'e, dafs

6V>s = ^^..OC.CE, (III)

) 11 Hllt t P pp B h VII li

) E ist 11 d g« t t e 1 H If

1

I 11 i

1 hl f was h m d m A\ k d

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f t A d K mm tai d P ppus

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P pp Sät Ib t H it k b t t i

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1 b k t b t

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Umforn^llngen der Bestimmung von Tangenten. 85

eine Relation, deren Anwendung bei der Transformation von Koordinaten wir bald kennen lernen werden.

Zieht man femer den den Ordinaten parallelen Durchmesser, dessen Länge b — für die Hyperbel durch Definition — bestimmt ist duri^h

JL „ »!, (( a^

und schneidet dieser (Fig. 16) die Tangente ED in G und die der AB parallele Gerade DF in F, so Mst sich die Gleichung (III) durch Benutzung ähnlicher Dreiecke folgendermafsen um- formen :

^ _ iL _ ^-^' _ ^F^^ = OF.Fa

(III b)

rt- '

a

OCTi

3E-

OC . UM

OO^ '

md hieraus

orhält n

lan, d

a OC

= FJ), teils unmittelbar

FD'.

^ 7'

OF . FG ,

eils durch Bcnutzun

g von

0)

OF.

OG .

= (4V.

(I b)

Für die Ellipse folgen diese letzten Gleichungen eigentlich unmittelbar aus den entsprechenden (I) und (III), daApollonius bereits früher [in 16] die Vertauschung des Durchmessers der Ellipse mit dem könji^erten gezeigt hat. Für die Hyperbel dagegen haben dieselben gröfsere Bedeutung und werden im zweiten Buche heim Studium konjugierter Hyperbeln benutzt.

Noch bleibt uns übrig klar zu legen, wie Apollonius den Satz ableitet, dafs die Kegelschnitte unendlich viele Durchmesser mit denselben Eigenschaften wie die -tu'sprünglich gegebenen haben. Das erreicht er durch Umwandlungen der geometrischen Form der Gleichungen für die Kurven und durch den Übei^ang zu neuen Koordinatensystemen. Die hierher gehörigen Opera- tionen haben indessen eine so weitreichende- Bedeutimg in der antiken Lehre von den Kegelschnitten, dafs sie zusammengefafst im nächsten Abschnitt behandelt werden müssen; in diesem werden dann auch andere noch nicht erwähnte Beweise, die sich im ersten Buch des Apollonius linden und deren Kenntnis von Bedeutung ist, ihre Darstellung finden.

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Vierter Abschnitt.

Umformung der Gleichungen der Kegelsclinitte ; Transformat ioi der Koordinaten,

Wir haben gesehen (S. 32), dafs Apollonius die Kegelschnitte durch die Gleichung

y^ = ■^x + ax^ darstellte, wo x und y Parallelkoordinaten smd; nur war diese Gleichung für Apollonius eine Gleichling ersten Grades zwischen den Flächen des Quadrates ^*, des Rechtecks fx und des Rechtecks ax.x, oder noch einfacher zwischen dem Quadrat i/^ und dem Rechteck x{'p -\- ax). Die Konstanten waren durch die Figur seihst g^:eben, namentlich durch eine Hülfslinie, deren rechtwinklige Ordinate die Höhe j) + «a: des Rechtecks wurde. Wir haben ferner erwähnt, dafs Apollonius zu dieser Form der Gleich«!^ nicht nur durch Beziehung auf ein einzelnes, durch die stereometrisclie Bestimmung gegebenes Koordmaten- system gelangte, sondern auch durch Übergang zu neuen, m denen die eine Axe ein Durchmesser, die andere die Tangente m dessen Endpunkt war. Teils bei diesem Übergange, teils hei anderen Gelegenheiten treffen wir auf Darstellungen der Kegelschnitte durch andere Gleichungen ersten Grades zwischen Flächen, die sich leicht aus solchen zu- sammensetzen lassen, welche x^^ xf/, y^, x, y propor- tional sind, wenn 3; und ^Koordinaten eines Paraiiel- koordinatensystems sind. Die Betrachtung der durch eine solche Zusammensetzung gegebenen Verbindung mit der ana- lytisch-geometrischen Gleichur^ In einem Parallelkoordinaten- systeni kann für uns nütalich sein, «m dadurch auf uns bekannten Wegen den richtigen Blick für die Anwendbarkeit mancher Darstellungen der Alten und für die Verbindung der- selben unter einander zu erhalten; aber die antiken Darstel- lungen weichen Ton unseren entsprechenden insofern wesent- lich ab, als die Griechen nicht so sehr darauf ausgingen, die feste F^r so einfach wie möglich zu machen, sondern

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Algeln'. Deutung dei' geom. Darstelluugeii. 87

vielmehr dai'auf, die Gleichui^eii — welche sie in Worten aus- drücken mufsten — einfach zu gestalten. Deshalb suchten sie durch Einführung fester Hfllfslinien imd durch Vertauschung der Linien, welche durch den beweglichen Punkt parallel den Kooidinatena\en gezogen ^vmden mit neuen Koordinaten- nchtiujgen teils alle koefficienten der Glieder iii dip durch die Glieder be'Btniimten Flathfn selbst hineinzuziehen teils den Fl ichen solche Formen zu geben dak sie Müh zusammenziehen liefsen so diig die Anzahl dei Gliedei m den Gleichui^en \er- imgeit «mde Beideo ^\ai wie wu geoehen hiben, in dei boelien erwähnten ui'-prunglichen Daistellung des Apolloniu« dmch eme Hult=!lmie eneicht A\oiden und dasselbe Hulfemittel dei Veiemfachui^ fanden wii m Aichimedeo Dar^.tellui-^en dei Paiabel (S 60) bemitzt wo die Gleichung dieFoini einer Piopor tion bitte BeiÄpoUomus wai die Htilfslmie didiuch dafs =!ie m einem besondeien rechtwinkligen Koordinatensystem dai^estellt wurde, als em Mittel bezeichnet, welches dem vorliegenden schief ^ mtl^en Koordinatensystem fremd war, und zur Dar- stellmig dei einzelnen bestimmten Kurven Jn demselben dienen sollte Indessen ist das nicht tiberall der Fall. An anderen Orten konnte vielmehr Veranlassimg gegeben sein, den ganzen Äppaiat von festen Linien als ein komplicierteres Koordmaten- system zu behachten. Will man aber auch in diesem Falle der Übersichtlichkeit wegen versuchen die Kurve als auf ein einfaches Koordinatensystem bezogen z« betrachten, während man die übrigen festen Linien an Stelle der Konstanten in den modernen Gleichmigen treten läfst, so kann man etwas zweifelhaft sein, welche der benutzten festen Linien man als Koordinatenaxen betrachten soll, oder ob man sich möglicher- weise da, wo die Alten Koordinatenrichtungen, welche nicht- gezeichneten geraden Linien parallel sind, eii^eföhrt haben, ganz neue Axen mit diesen Richtungen eingeführt denken soll. Wemi sich auf diese Weise die Bestimmungsmethode der Alten ungeiahr gleich leicht durch Beziehung auf zwei verschiedene Parallelkoordinatensysteme ausdrücken läfst, so wird dadm-eh unser Übei'gang zmschen diesen beiden Systeme überflüssig gemacht, oder richtiger, derselbe wird ersetzt durch die Ände-

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88 Vierter Abschnitt.

riingen in der geometrischen Darstellung der Konstanten, welche zn einer solchen Bestimmungsweise gefülirt haben.

Wir haben vorläufig ein äulserst einfaches Beispiel iür diese Unbestimmtheit des gebrauchten Parallelkoordinatensystenis in Archimedes' Bestimmungen einer Eihpse oder Hyperbel, bei deren Wiedei^abe (im zweiten Abschnitt) wir anstatt einer Abscisse die Bezeichnui^en x und x' für Abscissen gebraucht haben, die von beiden Scheitelpunkten aus gerechnet waren. Der eine von diesen ist nämlich nicht mit mehr Recht Anfangs- punkt als der andere, und die Darstellung läfst sich ungefähr ebenso leicht auf einen beliebigen Punkt der Axe, z. B. den Mittelpunkt, als Anfangspunkt beziehen.

In Apollonius' Darstellung ist dagegen dem einen Endpunkt des Durchmessers eine so bestimmte Rolle zuei'teilt, dafs dieser im besonderen als Änfar^punkt betrachtet werden kann. Wir finden deshalb auch bei ihm eine Verlegung des Anfangs- punktes, nämlich Jn Satz 15, wo der gegebene Durchmesser und die dazu gehörigen Ordinaten einer Ellipse mit dem kon- jugierten Durchmesser und den dazu gehörigen Ordinaten ver- tauscht werden. Ohne wesentlich von Apollonius' Betrachtungs- weise abzuweichen können wir nämlich diese Vertauschmig als eine Verlegung des Anfangspunktes, ohne Drehung, bezeichnen, erst vom Endpunkt des gegebenen Durchmessers nach dem Mittelpunkt, und dann nach dem Endpunkte des konjugierten Durchmessers. ApoUonius' Ausführung dieser Operationen ist für uns von Interesse, teils weil sie im al^meuien ein gutes Beispiel für die mit unseren algebraischen Operationen nahe verwandten antiken Flächenoperationen abgiebt, teils weil sie die Anwendui^ der bei Apollonius unter rechten Winkeln ge- zeichneten Hülfsfiguren als Mittel zur Darstellung und Verau- schaulichung der Operationen zeigt, welche man jetzt durch die Zeichensprache der Algebra darstellt und Yeransehaulicht.

Ist (Fig. i7)AB = a der gegebene Durehmesser, ÄN^^j} der zugehörige Parameter, so wird die Ordinate y ■= XH bestimmt durch j/^ = C^'?)- Ist DE = b der konjugierte Durchmesser

und also C der Mittelpunkt, so wird(-|-)"= (^^) = (f'^ß)-

yGoosle

Veflegung des Anfar^spunlttes. 89

Da aber zugleich (OU) = (OB) und {XU) — (ÜY) = (lYS), so wird (—V-yi = (OF). Nun ist (4)'— i/' = ^'^'- ^^' folgUch (OP) -■= ET. TD. Setzt man femer TH = ON = y', so wird ^'^ = ^-(OP) = -^(OP) = ^.ET.TD. Errichtet man nuu in D senkrecht auf DE einen Parametei' 5 = DZ,

der so bestimmt ist, dafs 4- = — , und zeichnet man die zu- h p

gehörige Hülfslinio EZ, so wird das Quadrat üher tj' dem

Fig. 17.

Rechteck {DL) gleich. Die geometrisch ausgedrückte Gleichung für die Kurve in dem neuen Koordinatensystem erhält also ganz dieselbe Form wie in dem gegebenen System.

Die doppelte Darstellung durch Figur und einen Text, von dem aus man in jedem Augenblick die genannten Punkte, Linien und Rechtecke in der Figur aufsuchen mufs, kann aller-

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90 Vieilei- Abschnitt.

dings niemals so einfach zu lesen sein wie die algebraische Dai'steUung; aber für den, der entweder selbst in Gedanken die Operationen allein an der Figur durchführt oder der einer mündlichen Darstellung folgt, bei der fortwährend auf die F^ur gezeigt wird, und der überdies in diesen Fläehenoperationen eben solche Übung hat wie wir in der Buclistabenrechnung, steht das hier benutzte Äosehauungsinittel keineswegs vor dem zurück, welches uns zu Gebote steht.

Als Durchgangsghed treiTen wir hier auf eine Relation

|-3-j — ij'^ = (OP), die sich als Mittelpunttsgleichung für die

Elhpse auffassen läfst. Der Übei^ang zw einer solchen wird indessen später [in 41] sowohl für die Ellipse wie für die Hyperbel vot^enommen , und die dadurch entstehende Gleichung

={«

wird dann in einer etwas anderen Form ausgedi'ückt , indem die durch die drei Gheder ausgedrückten Flächen mit solchen vertauscht werden, die diesen proportional sind. Es wird dami ausgesprochen — und das Ausgesprochene wird durch Figuren erläutert — dafs die Differenz zwischen zwei ähnlichen Parallelo- grammen über den Strecken -^ und x einem Parallelogramui

über y gleich sei, das dieselben Winkel hat, in dem aber das Verhältnis zwischen der anderen Seite und y zusammei^esetzt ist

aus — und dem Seitenverhältnis eines der ersten Pai'allelo-

P gramnie.

Indem Äpollonius weiter die Parallelogramme mit Dreiecken vertauscht und diese auf zweckmäfsige Weise anbringt, wird er [in 43] zu emer Darstellung der Ellipse und Hyperbel gefühi-t, welche nicht nur — ihrer unmittelbaren Bestimmung gemäfs — einen leichten Übergang von dem gegebenen Durchmesser und den dazii gehörigen Ordinaten zu neuen gestattet, sondern auch grofse Bedeutut^ für die Folge gewinnt. Es sei (Fig. 18) ACB der g^ebene Durchmesser und CE ein neuer Durchmesser,

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(leum. Funii ileA' Mitteliiuiiktsyleithuii<i:. ',){

weU^her die Kurve in E schneidet; femer sei H ein beliebiger Knrvenpuiikt, der durch die Ordinate y = KH und die Ab- scisse X = CK auf den g^ebenen Durchmesser bezogen ist.

Dann folgt aus (1) (und wir dehnen das durch das doppelte Vorzeichen auch auf die Hyperbel aus):

i (A CBL - A CKM) = A HKT , (2)

ß)

KT _ a BL ^ ^BL KH ~ y ' CB 2> '

Das letztere erreicht Apollonius dadurch, dafs er MT der Tangente in E parallel sein Jäfst, Diese ist nämlich [37] , wie wir schon am Schlüsse des vorigen Abschnittes (vergl. Gleichung (III)) erwähnt haben, bestimmt durch ZE^ _ p_ CZ. ZI) a ' woraus folgt, dafs

ZI) _ ± ZE _ a_ BL ZE ~ p'CZ~ f ' CB Die Bestimmmig der Richtung von HT durch die Tangente in E bietet den Vorteil, dafs sie eindeutig ist, während die Be- stimmung durch Gleichung (3) gestattet KT nach beiden Seiten von K aus abzutragen und also zwei Richtui^en für die Linie HT giebt, die sich bei der ferneren Anwendung nicht als gleich

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92 ^ U I

zweckmafsig eiweiseu E ist mogiich dal? Ayollonius dti nicht wie wu jetzt Eindeuhgkeit luich den Gebrauch ^on \ orzeichen erreichen konnte eben um dei mit dei Zweideutio keit verbundenen Ver^mung zu entgehen die Benutzung dei Tar^ente voi^ezogen hat obgleich auch das wiedei mit vei schiedenen Ünbecpiemhchkeiten verbunden w ai Zumch^it 1 ^t ei namlich deswegen bereit im ei ten B che di*^ schon ei wähnten Scitze ubei die Txngente die an einen Pmkt E iilsei halb de^ gegebenen Duichme «ei« gezogen ist ableiten müssen die sonst später sich von selbst ergeben hätten. Ferner bringt der von ihm eingeschlagene Weg den grofsen Übelstand mit sich, dars er erst un dritten Buch dazu gelai^en kann dem durch . Gleichung (2) ausgedrückten Satze den vollen Umfang z\i geben. In dem geführten Beweise wird nämlich vorausgesetzt, dal's beide Durchmesser CB und CE die Kurve schneiden. Darüber kommt er, was den einen betrifft, wohl anfangs hinweg [in 45], indem er CB den konjugierten Durchmesser des gegebenen sein läfst, und dann für die Hyperbel die früher erwähnte , Länge" eines Durchmessers, der die Kurve nicht sehneidet, benutzt. Dagegen fehlt ihm, wenn der andere Durchmesser CE die Kurve nicht .schneidet, die Tangente, der die Linien HT parallel sein sollen. Er kann also erst seinen Satz vervollständigen, nachdem er im zweiten Buche die sogenannten konjugierten Hyperbeln untersucht hat , welche dieselben konjugierten Durchmesser haben, und welche, wenn sie auf ein Paar von diesen bezogen werden, mit Ausnahme __eines Vorzeichens die- selbe Gleichung erhalten. Wenn die Kurve in der untersuchten F^^ur eine Hyperbel ist, und der Durchmesser CE diese nicht schneidet, so werden die Linien HT bestimmt als Parallelen zu der Tangente, welche an die konjugierte Hyperbel m ihrem Durchschnittspunkt mit dem Durchmesser CE gezogen ist.

Da ÄpoUonius sich so wirklich, wenn auch erst nach mid nach und auf einem Umwege, zu dem allgemeinsten Satze erhebt oder die allgemeinste Gleichung für die Kurven findet, so will ich diese hier gleich ai^eben. Bei ihrer Ableitung könnte man statt der Gleichung (1) die Gleichung

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Geom. Form, der Mittelpunktsgleichnng.

±((1)

benutzen. Diese ivird, ivenn man an beiden Stellen das obere Vorzeichen nimmt, auf den Fall anwendbar, wo CB mit einem Durchmesser, der die Kurve nicht schneidet, vertauscht wird,

auf dem man aber die sogenannte Länge (7J3 = -^ abtr^,

während ]) eine andere Konstante bedeutet. Bestimmt man dann die Richtung der Linie HT durch die Gleichung (3), so erhält man:

:^ (A CBL 4: A CKM) == A HK7' . (2 b)

wo man die Vorzeichen wie in (Ib), also auf wohlbekannte Art zu wählen hat. Wählt man nun jedesmal von den beiden durch (3) für HT bestimmten Richtungen diejenige, welche der Tangente ün Schnittpunkt der Linie CE mit der Kurve oder mit der konjugierten Hyperbel parallel ist, so erhält man die von ApoUonius gegebene Bestimmung ihrer Richtung.

Die Vorteile, welche diese Form der Gleichung für eine Ellipse oder Hyperbel darbietet, sieht man am leichtesten durch eine Umformung, die ApoUonius allerdii^ nicht ausdrücklich aufstellt — und das konnte er auch mcht in allen Fällen thun, weil ihm der Begriff „Fläche eines une^entlichen Vierecks" fehlte — die aber gerade den Umstand hervorhebt, den er iTiberall praktisch anwendet. Während der Bewegung des Punktes, if auf der Kurve ändern sich die Dreiecke CKM imd HKT, während CBL konstant bleibt. Die Summe oder Diffe- renz der beiden ersten Dreiecke wii'd in jedem einzelnen der in Formel (2b) betrachteten Fälle gleich dem Flächeninhalt des eigentlichen oder uneigentüchen ') Vierecks H3ICT sein. Diese Fläche bleibt also konstant (=. 4: CBL).

Zwei von den Seiten dieses Vierecks sind feste Durch- messer, der gegebene CB und der neue CE. Die dem ersteren

l>eiden Dreiecke,

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94 Viertel' Absclinitt.

gegenüberliegende Seite HM fallt auf eine von ihm halbierte Sehne, die dem letzteren g^enüberliegende Seite HT hat eine bestimmte Richtung. Aus der symmetrischen Art, auf welche die beiden Durchmesser und die beiden Reihen von Parallelen in der gefundenen Gleichung der Kurve vorkommen, wird man dann eine Relation ableiten können, durch welche die Kui-ve auf den neuen Durchmesser CE auf dieselbe Weise bezogen wird, wie sie ursprünglich auf den gegebenen Durchmesser CB bezogen war. Diese Ableitung, bei der es nur nötig war Rück- sicht auf die Fälle zu nehmen, wo sowohl CB wie CE die Kurve schneiden, hat Apollonius folgendermafsen voi^enommen [IstesBuch, 50]:

Dreieck CBL (Fig. 18) ist gleich dem Dreieck CDE^), und man hat also zufolge unserer Umformmig von (2) A CDE == A CBL = HMCT.

Die Subtraktion des Dreiecks CTS giebt demnächst A CDE— A GTS = ± A SHM,

Ein solclier, der sich darauf stützt, dafs jy= =. yjjr , flndet sich

■) Das läfst sich darthun, indem man in dei- Relation HMCT = CBL den Punkt B auf -B faJlen Mist; Apollonius aher fühvt es ohne Beweis CZ _ CB ' CD' '

dagegen später, nämlich im l»'en Satz des dritten Buches, ivo der Satz benutzt wird um ferner zu zeigen, dafs ^ BDI = /\LEL Weun man dann nicht — und wir finden keine ausreichende Veranlassung es zu thun — - einen von Eutokitra ai^eführten Beweis für einen früheren Satz im IstonBuch [43], der genau, mit demselben Beweise wie im 3Mn Buch [1] für die Gleichheit der Ureiecke CBL und ODE beginnt, für echt ansehen will, so liegt die Annahme nahe, dafs Apollonius im liien Buch [50] auf diese Gleichheit in Wirklichkeit dadui'ch schliefst, dafs er denselben allgemeinen Satz den ei geiade im Bcgrifl' ist' auf andeie Weise zu yen^erten auf den Gienzfall anwendet; denn einzig auf diese Weise läfst sich die Gleichheit dei Dieiecke unmittelbar erkennen In solchem Falle nimmt ei sich hier eine Freiheit welche seh die guechiachen Schnftatellei sonst m den aut gestellten Beweisen aus Gründen der Vorsicht nicht eilaubten wie man namentbch an vielen Stellen bei Aichimede's sehen kann Dals man au-, diesei Vorsiüit nicht schhefsen darf dafs le eil st ai ch nicht die Veibindung zwischen dem Uienzfall und dem allpen inen Fall sahen geht daraus heivjr dafs le m dei Regel «leithii ti^e Beweise auf beide anwendeten.

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L.i)ei'§ang z

1 Durchmesse!'.

95

worin + der Ellipse, —- der Hyperbel entspricht. Da diese Gleichung von derselben Fomi ist me die Gleicbung (2), von der wir ausgingen, und nui' die Durchmesser vertauscht sind, so kann man einen zu dem neuen Durchmesser gehörenden Parameter p' derartig bestimmen, dafs man weiter zurück zu einer Gleichung von der Form (1), aus welcher Gleichung (2) abgeleitet war, geht, und dann gelangt man durch Verlegung des Anfangspunkts nach dem Endpunkt E des Durchmessers zu Gleichui^en von ganz derselben Art wie die sind, durch welche Ellipse und Hyperbel ursprfli^lich auf den gegebenen Durch- messer und die zugehörigen Ordinalen bezogen wurden ((3) und (2) des vorbeigehenden Abschnittes). Diese Bestimmung von p' findet man dadurch , dafs man in der Gleichung (3) , mit- tels der man die Richtung der' zum neuen Durchmesser CE gehörigen Ordinalen HTS (Fig. 18) bestimmte, und welche sich

Bestimmungen vertauscht, welche zu den beiden Durchmessern

gehören. Dann erhält man ^>' = 2 . -^ . ED. und das ist eben

die im vorigen Abschnitt erwähnte und angewandte, von Äpol- lonius gegebene Bestimmung von -p'.

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'M Vierter Abschnitt.

Da wir so für den neuen Durchmes'ier und die zugehoi^m Ordinaten zu äereelbenDaistellungbfoim 7uruü£gekelut sind imc für den ursprünglich gegtbenen, so loüo&en alle bis jetzt ge- wonnenen Resultate, welche ur^^prunglich auf diesei planmie- trischen Dai-stellung der kurven aufgebaut wurden, auch auf den neuen Durchmesser an« endbai sein Wenn also Apollonnis nicht in der Entwicklung selbst die neuen Ordinalen als dei im voraus bestimmten Tai^ente in E parallel bestimmt hätte, so ^vürde er, wie bereits angedeutet, diesen Umstand haben benutzen können um hmterher diese Tar^ente zu bestimmen Die neue Gleichung zeigt dals dei neue Durchmesser CE dit Sehnen in der neuen Oidmatenrichtung halbieit Auch dies letztere hat Äpoüonius indessen, bevoi er [m 50J zu dei eigent- lichen Umformung gelangt, bewiesen [namhch in 47], indem ei dafür unmittelbar den in (2) ausgediuckten Hauptsatz ^ei- wendet.

Wir werden uns bei der Wiedei^abe dieses Beweises an die ElUpse halten um dauernd Fig. 18 benutzen zu können, mit dei' der Leser bereits vertraut ist, und die unmittelbar die Be- deutui^en der neuen Bezeichnungen H', K', M' zeigt. Gleichung (2) giebt

Ä HKT = A CBL — A CKM = Trapez (EM) AH'K'T^ Trapez (&¥').

Dui'ch Subtraktion erhält man

Trapez {K'H) = Trapez {K'M), und durch Subtraktion des Fünfecks K'H'SMK ergiobt sich, daCs

A SIIM = A SH'M', oder dafs S die Mitte von HS' ist.

Es liegt kein Grund vor, besonders bei den Sätzen [44, 48, 51] zu verweilen, in denen Apollonius darthut, dafs dasselbe, was für eine Ellipse oder einen einzelnen Hyperbelast bewiesen ist, auch auf die aus zwei Hyperbelästen zusammengesetzte Kurve anwendbar ist, wenn die Punkte, welche wir B und E genannt haben, jeder auf emen von diesen Ästen fallen. Es ist wie früher bemerkt von sehr grofsera Interesse, dafs Apol- lonius auf diese Verallgemeinerung verfEdlen ist, aber bei ihrer

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Dci' ApoDonische Flächeiisatz. *)7

Ausführung, für welche die Symineti'ie der Äste verwandt ivird, ist keinerlei Schwierigkeit zu überwinden gewesen.

Mittels der nun gewonnenen Bestimmung der festen Rich- tung der Seite HT in dem Viereck HMCT (F^. 18), welches -zufolge unserer Umformung des in Gleichung (2) enthaltenen Satzes konstant bleibt, während H sich auf einer Ellipse oder Hyperbel bewegt, läfst dieser Satz sich fo^endermafsen aus- drücken: Das Viereck HMCT (Fig. 19), dessen beide

Fig. lü.

Seiten CM und CT auf feste Durchmesser einer Ellipse oder Hyperbel fallen, während die ihnen gegenüberliegenden Seiten HT und HM auf die von einem beweglicben Kurvenpunkt jy ausgehenden Seh- nen, weiche von diesen beiden Durchmessern hal- biert werden, oder auf die Verlängerungen dieser Sehnen fallen, hat einen konstanten Flächeninhalt. Diesen Satz, der nur dann unbedingt ausgesprochen werden kann, wenn die Benutzung uneigentlicher Vierecke vorausgesetzt wird, und der erst im dritten Buche für alle Arten von Durch- messern bewiesen wird , wollen wir den Ap oUonischen Fläcbensatz nennen.

Die Umkehrang dieses Satzes ist folgende: Wenn ein Viereck HMCT, dessen Seiten CM und CT auf feste

yGoosle

98 "\'iertei' Absei iiiitt.

Linien fallen, während die beiden anderen in ge- gebenen Richtungen von einem beweglichen Punkt H aus gezogen sind, einen konstanten Inhalt hat, so ist der geometrische Ort für H eine Ellipse oder Hyperbel,

Diese Umkehrung spricht Apollonlus nirgends aus, wie er denn überhaupt keine Sätze des Inhalts ausspricht, dafs der eine oder andere Ort ein Kegelschnitt sei. Wenn er aber in der ersten VoiTede äufsert, dafs die Sätze des dritten Buchs sich zur Bestimmung geometrischer Orter benutzen lassen, so darf man mit Sicherheit annehmen, dafs der hier erwähnte, wenn auch nicht ganz in der hier angeführten Gestalt, zu diesen ge- hört habe, und dafs er also die genannte Umkehrung gekannt habe. Indhekt hat dieselbe jedenfalls zu seiner Verf%ung ge- standen, sobald es ihm gelungen war eine vorgelegte Bestim- mung des einen oder anderen geometrischen Orts auf die hier aufgestellte Form zu bringen; denn dasselbe Verfahren, welches oben ar^ewandt wurde um die Kurve, wenn CB der gegebene Durchmesser war, auf CE und Ordinaten, die der HT parallel sind, zu beziehen, wird sich in allen Fällen anwenden lassen und in allen Fällen die Form der Gleichungen geben, durch welche die Kurven von Anfang an charakterisiert sind.

Um die ivichüge Rolle ganz zu verstehen, welche die er- haltene Gleichung: Viereck HMCT = const. bei Äpollonius zu spielen bestimmt ist, kann man dieselbe mit entsprechenden Formen der Gleichung in gewöhnhchen Koordinaten vei^leichen. Denkt man sieh die beiden festen Durchmesser zu Koordinaten- axen genommen, so lassen sich HM und HT als schiefe zu diesen gehörige Koordinaten betrachten. Vertauscht man diese mit gewöhnlichen Parallelkoordinaten, indem man HP = x und HQ = y parallel den Axen zieht, so erhält man (Fig. 19)

HMCT = HMP + HPCQ + HQT, also ax^ -\- ßxy + ^t/^ = K, (4)

wo a, ß, Y und K Konstanten sind, die für andere Figuren negative Vorzeichen bekommen können.

"Wäre umgekehrt eine Gleichung (4) vom ersten Grade zwischen den Flächen x^, xy und y^ gegeben, wo a: und y

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Der Apoiloiiisirhe Flächensatz. !I9

Paralleikoordinaten , HP und HQ, bezeichnen, so würde ey vollständig dem Verfahren entsprechen, welches wir nunmehr bei Äpollonius kennen gelernt haben, die Richtungen von HM und HT so zu bestimmen, dafs ax^, ßxy, yV^ <i^*i Flächen HMP, HPGQ und HQT proportional werden, und dadiu-ch wird die Gleichung in die im Flächensatze gegebene Darstellung der Kegelschnitte umgewandelt.

Da nun der Übergang vom Apollonischen Flächensatz zu der Gleichung (4), ebenso wie der umgekehrte, so emfach ist, da ferner, wie wir gesehen haben, Äpollonius von der im Flächensatz gegebenen Darstellung eines Kegelschnitts, ebenso wie die analytische Geometrie von der in Gleichung (4) ent- haltenen, zur Darstellung desselben in dem durch die Axen gebiideten rechtwinkligen Koordinatensystem übei^ehen kann, so ist ersichtlich , dafs in den Anwendungen die eine Dar- stellungsart ganz an die Stelle der anderen treten kann, so dafs Äpollonius, wenn auch unter einer verschiedenen Form, durch die erstere ganz dasselbe eiTeichen kann, ivie die analytische Geometrie durch die letztere. Hinsichtlich der Leicht^keit der hierzu dienenden Operationen bietet Jede der beiden Darstellungs- formen ihre besonderen Vorteile; denn wenn man beim Flächen- satz ein etwas komplicierteres Koordinatensystem benutzt, so gelangt man dafür zu einer bedeutend einfacheren Gleichung, Dafs Äpollonius nun wirklich dauemd den Flächensatz in Übereinstimmung mit diesen Bemerkungen benutzt, welche wir hier an dessen Anwendung im ersten Buch geknüpft haben, das wird im Folgenden, namentlich dm'ch sein drittes Buch, bestätigt werden.

In gewissen Beziehungen führt der Fiächensatz noch weiter als zu einer Darstellung der Kegelschnitte, welche der in einem Koordinatensystem mit zwei beheh^en Durchmessern als Äsen äquivalent ist. Dafs Mittel zum Übei^ange zu einem Koordi- natensystem mit einem neuen Anfangspunkt vorhanden sind, folgt nämlich daraus, dafs ein solcher Übergang, wie bereits bemerkt wurde, sich allein mit Hülfe der bei Euklid benutzten Flächenverwandlungen bewerkstelligen läfst; dh-ekter aber ivird er dadurch erreicht, dafs man sich die konstante Fläche des

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100

Vierter Alischnitt.

der Form nach veränderlichen Vierecks HMCT (Fig. 19) durch die Koordinaten eines Parallelkoordinatensystems ausgedrückt denkt, dessen Axen den Geraden HM und HT, die ja in Wirk- hchkeit ganz beliebige Richtungen erhalten können, parallel sind. Auf diese letztere Art erhält Apollonius auch wirklich im 3ten Buche Satz 3 und einigen der folgenden eine Darstellung der Kurven, die in gewissen Beziehungen ihren Gleichur^en in einem beliebigen Koordinatensystem mit dem An- fangspunkt auf der Kurve selbst entspricht. Es seien AB und Fi: (Fig. 9.0) die lieiden festen Durchmesser, und HM, H'M' Sehnenabschnitte, welche zum ^ ersten, HT und H'T Sehnenab-

schnitte, welche zum zweiten Durch- messer gehören. Dann ist nach dem Apollonischen Flächensatz

HMCT = HMCT' , woraus man durch Subti-aktioii von PM'CT erhält:

HMM'P = HPTT, (5) und hieraus durch Addition des Parallelogramms {PQ):

QMM'H — QHTT: (6) Durch die eine oder andere von diesen Gleichungen läfst sich der Punkt H', wenn Jf festliegt, aller- Pj^ „Q dings beständig so auffassen, als oh

er auf die beiden Durchmesser unter etwas veränderter Form bezogen sei, aber diese Gleichungen lassen sich auch so auffassen, als ob er auf die Eoordhiaten- asen HM und HT bezogen sei, die durch einen beliebigen Punkt H der Kurve gehen und beliebig gegebene Richtungen haben köimen. Die beiden gleich grofsen Flächen lassen sieh nämlich leicht durch die Koordinaten HP und HQ aus- drücken.

Eine andere Umformung des Flächensatzes findet sich in dem unmittelbar vorhergehenden Satz 2 des dritten Buchs. Wir können dieselbe am leichtesten an Fig. 18 anschliefsen, welche,

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Uinfül'mungen des Flächensatzes. 101

da A H'K'T = Trapez {BM'), durch Subtraktion von Trapex

A GBT ^ Trapez (LW) (5)

ergiebt, eine Gleichung, welche unter Beachtung der Regel für uneigenthche Vierecke auch auf den Punkt H anwendbar ist. Der beweghche Punkt ff (oder H) läfst sich hier so betrachten, Etis ob er durch Koordinatenlinien von gegebener Eichtur^ auf die Koordinatenaxen BL und CE bezogen sei, von denen die eine eine Tangente ist und die andere ein Durchmesser, der nicht durch den Berührui'^spunkt geht.

Indessen lassen sich nicht wie beim Flächensatze diese letzten Darstellungen gaiiz mit den entsprechenden Gleichungen der analytischen Geometiie zusammenstellen. Halten wir die Betrachtung zweier Linien aJs Koordinatenaxen fest, so müssen die übr^en festen Linien, auf welche die Kurve bezogen wurde, als Stellverti'eter ihrer Konstanten aufgefafst werden. Diese sind auch hier so gewählt, dafs sie die Gleichungen, welche auf die Gleichheit von zwei veränderlichen Flächen reduciert werden, in hohem Grade vereinfachen; aber wir können liier nicht wie für den Flächensatz bei ÄpoUonius die Kenntnis der Mittel nachweisen, welche zur Bestimmung dieser Steüvertreter er- forderlich sein würden, wenn die Konstanten dei' entsprechen- den analytisch-geometrischen Gleichungen gegeben wären, und durch welche sich der Übergar^ von den Gleichungen zu den entspreelienden geometrischen Darstellungen bewerkstelligen liefse. Wir können deshalb hier nicht s^en, dafs es für Äpol- lonius bei der Bestimmung eines geometrischen Ortes genügt haben würde zu fmden, dafs derselbe sich durch Beziehung auf ein Pai'allelkoordinatensystem durch eine solche Gleichung zwi- schen Flächen darstellen liefse, deren analytisch-geometrischer Ausdruck

ax^ -r ß^y 4- yy^ + dx-\- ey = 0 sein würde; denn um zu behaupten, dafs Apollonius diese Glei- chung in die Darstellungsform habe umwandeln können, welche wir soeben damit zusammengestellt haben, müfsten wu- etwas darüber wissen, wie er in diesem Falle den Mittelpunkt bestim- men konnte; darüber aber finden wir an dieser SteUe nichts.

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lOä

Vierter Abschnitt,

Die Hiilfaiiüttel , weiche wir hier kennen gelernt haben, stehen also mit Röcltsicht auf die Bestimmnr^ der Kegelschnitte als geometiischer Orter noch hinter der analytischen Geometrie zurück; aber der Inhalt des dritten Buchs und Apollonius' eigene Angaben über das, wozu es sich benutzen läfst, werden, wie wir sehen werden, diesem Mangel abhelfen.

Der Einfachheit wegen haben wir hier gamicht die Para- bel berücksichtigt, auf welche doch offenbar alle Sätze an- wendbar sein müssen, in denen nur nicht der Mittelpunkt vor- kommt. Diese Sätze sind in der Regel einfacher als die über die Ellipse und Hyperbel, und gehen deshalb bei Apollonius gewöhnlich diesen voraus. Das gilt z. B. von dem durch Glei- chur^ (3) ausgedrückten Hauptsatz, dem man, um ibn auf die Parabel zu übertr^en, die oben (S. 96) benutzte Foi-m „£iRKT = Trapez (iJilf)" (Fig. 18) geben mufs, wobei mdessen das Tra- pez iii ein Parallelogramm übei^eht. Der Beweis wird [Istes Buch 42] folgendermafsen geführt (Fig. 21): BK sei der g

Durchmesser, EM ein anderer Durchmesser, UK und HT Parallelen zu den Tangenten BL und ED. Dann ist A IIKT _ EH^ _ BK_ __ {BM) £^EZt) ^ ZE-' BZ (BE)

Da nun DZ = ^BZ, so ist A EZD = (BE). Also wird auch ARKT = {BM).

yGoosle

Beziehung der Parahel auf neue DuiTliinesser. 103

Aus dieser Gleichung folgt wiederum, da A IBD = A ILE, dafs A HMS = (DS) und dadurch, wie für die El- hpse und die Hyperbel, der Übergang zu der Gleichung, durch welche die Parabel auf den Durchmesser EM und dessen Or- dinaten bezogen wird [46]. Der Beweis dafüi', dafs dieser Durchmesser seine Sehnen halbiert, wird ganz ebenso wie für die Elhpse und die Hyperbel geführt [49].

Ebenso wie für Ellipsen und Hyperbeln findet sich auch hier der im vorigen Abschnitt angegebene und benutzte Aus- druck für den zum Durchmesser EM gehörenden Parameter^'. Statt diesen abzuleiten wollen wir die gefundene Gleichung /\. HMS = (DS) benutzen um eine von Archimedes be- nutzte Relation zwischen p' und dem zu dem Durchmsser BK, der dei Einfachheit wegen die Axe sein möge, gehörenden Parameter jj zu entwickeln. Setzen wir ES = w und SH=y\ so lä^at sich die angeführte Gleichung folgendermafsen schreiben:

!/' =

SM.MH

EZ.x';

hiei'avis erhält man durch Benutzung ähnlicher Dreiecke und dadurch, dafs BZ =- 2BZ,

.., , Sff _^^_ SH^ ^ ME ^„,

-' "" ^ SM.MH ^ MH^'^' SM'^"

— ^^' ^^ - 1^ ~ MH-'- BZ ~ Mm'^^'

V' SH' oder -"- = -^r^irr ■

p MH^

Archimedes sagt in dem Buche über Konoide und Sphä- roide [3], dafs dies Resultat in Schriften über die Kegelschnitte bewiesen sei. Er wendet es demnächst an um zu beweisen, dafs in derselben Parabel solche einbeschriebene Dreiecke EHH, deren Spitze E auf dem zur Grundluiie HH (= ^HS in Fig. 21) gehörenden Durchmesser liegt, gleich grofs sind, wenn die vom Durchmesser abgeschnittenen Stücke ES (= x') es sind. Der Beweis läfst sich folgendemrafsen etwas frei wiedergeben :

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104 Fuiiftev Absciiiiitt..

A EHH- = x'y . -^^ = x-y y^ = x']/ ij— = x-Vp^- ;

der letzte Ausdruck enthält nur x' und X'-

In den beiden eben angeführten Sätzen des dritten Buchs [2 und 3] ist die Parabel, welche übrigens besondere Figuren erhält, unmittelbar in Apollonius' Beweisführung miteinb^riffen, und er spricht die Sätze über Kegelschnitte im al^emeinen aus.

lüafter Abschnitt,

Apolfonijs' zweites Buch.

Durch unser ausführliches Vcnveilen bei dem ersten Buch ■\on ApüUonms Kegelschnitten haben mr viel für das Ver- ständnis dieses Hauptwerkes und damit für das Verständnis der ginzeii antiken Lehre von den Kegelschnitten gewonnen. Nicht nui enthalt das erste Buch, wie zu envarten war, eine Grund- 1-ige auf der im Folgenden weiter gebaut wird, sondern die Untersuchungen des ersten Buchs haben um ihr Ziel zu errei- chen sich so v.e\i ausdehnen müssen, dafs die Hauptschwierig- keiten bei dei Einführung besonderer Theorien, wie der der konjugierten Duichmesser, bereits hier überwunden sind, und difsi bich reichlich Gelegenheit geboten hat die Hülfsmittel kennen zu lernen, welche es teils den Voi^ängem des Apol- lonius teils ihm selbst niöghch gemacht haben die greisen Re- sultite zu eiieichen, welche wir nach und nach kennen lernen \\ erden.

Das werden wir nun zunächst bestätigt sehen durch Be- trachtur^ des zweiten und dritten Buchs, welche, wie teilweise auch das vierte, nichts als eine — wie Apollonius sagt ^ „vollständigere und ai^emeinere" Darstellung früher bekannter Dinge enthalten. Das zweite Buch enthält nämlich zum gi'ofsen Teil solche Sätze und Aufgaben über konjugierte Durchmesser,

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Inhalt des zweiten Buchs. 105

\velche keine eigentlichen Schwierigkeiten verursachen konnten, sobald die Hauptsätze des ei-sten Buchs einmal gefunden waren, imd das dritte Buch enthält, aufser einem elementar^eonie- trischen Anhang über Brennpunkte, einige Sätze (unter diesen das schon bei Archimedes erwähnte sogenannte „Newtonsche Theo- rem") von so allgemeiner Natur, dafs man schwer würde begi'eifen können, wie dieselben ohne die Hülfsmiüel der Gegen- wart erreicht werden konnten, wenn uns nicht das Studium der Koordinatenmethode der Alten und im besonderen das des Apollonischen Flächensatzes schon gezeigt hätte, dafs auch die Alten Mittel zur Ableitung solcher allgemeinen Sätze besafsen, welche nicht an einzelne bestimmte Linien in der Ebene des Kegelschnittes gebunden sind.

Im zweiten Buch ist die Lehre von den konjugierten Durchmessern mit der Lehre von den Asymptoten und konjugierten Hyperbeln verbunden. Wir müssen also vor allem die Hauptsätze betrachten, auf welche sich die Ein- führur^ und Wichtigkeit dieser Begriffe, von denen der letzte bereits am Schlüsse des ei-sten Buchs definiert ist, gründet.

Die Asymptoten einer Hyperbel werden zuerst im Ver- hältnis zu einem beliebigen Durehmesser AC (Fig. 22) a!s vom Mittelpunkt ausgehende Linien bestimmt, welche auf der Tangente im Endpunkte C des Durchmessers zu beiden Seiten dieses Punktes

im ersten Buch definierte Länge (Vp.a) des der BD parallelen Dm'chmessers bezeichnen. Es wird geze^t [Stts Buch 1] , dais die so bestimmten Linien ^ B und^ö die Kurve nicht schneiden können, und demnächst [in 2], dafs sich durch den Mittelpunkt ^ keine geraden Linien legen lassen, weiche näher an die Hyperbel fallen ohne sie zu schneiden. Da die Asymptoten iiierdurch auf eine vom Durchmesser ÄG unabhängige Weise vollkommen bestimmt worden sind, nämlich als die durch den Mittelpunkt gezogenen Linien, welche der Hyperbel am nächsten liegen ohne sie zu schneiden, so erhält man dieselben Asymptoten, einerlei von welchem Durchmesser AC man auch ausgehen mag; die Asymptoten müssen also [Satx 3] dieselben Eigenschaften mit

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10(i

Fünfter AbschoitE.

Beziehung auf ein beliebiges Paar Ifonjugiertor Durdimesser haben, welche sie mit Beziehung auf diejenigen hatten, mit deren Hülfe sie zuerst bestimmt wurden [in 1].

Die Beweise für die beiden Sätze [1 und 2] stimmen trotz ihrer geometrischen Form genau mit den analytisch^eometrischen Beweisen uberein, diesich dadurch führen lassen, dafs man die Hy- perbel auf AC als Abscissenaxe durch Ordinaten bezieht, welche der Tangente in C parallel sind. Für die Wiedergabe des ersten Beweises läfst sich die Mittel- punktsgleichung benutzen , der man die Form

Fig, 22,

t = ;

-(4)'

(1)

geben kann; diese widerspricht der Gleichung, \velche man durch die Annahme erhalten würde, dafs ein Punkt einer der Asymptoten

dieselben Koordinaten haben solle wie ein Punkt der Kurve'). In dem Beweise [in 2J dafür, dafs keine Linie durch A näher an die KuiTe ohne sie zu schneiden herankommen kann als die Asymptoten, wird angenommen, dafs es eine solche Lmie AÜ gebe, welche in denselben Winkel zwischen den Asymptoten

') Der Beweis ist allerdings etwas künstlicher als in dieser algebraischen Form, da die angewandte Gleichung eigentlich

ist, wovin ^,' und x" die Abscisaen, von den beiden Endpunkten dos

Durchmessers a kann nicht s?

erechnet, bedeuten, x ist daiin - x,'xf' haben, da x"<.x'.

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Sätxe Übel- Asyaiptoleii. 107

fällt wie die Kurve. Diese Linie mufs (Fig. 22) auf einer durch den Endpunkt C des Durchmessers zu der einen Asymptote ge- , zogenen Parallelen ein Stück CN ahsehneiden, welches auf die- selbe Seite der Tangente in C fällt wie die Kurve. Nun kann CN die Kurve in keinen anderen Punkten als in C schneiden, was

daraus folgt, dafs die Gleichimgen iß =px -\-^x^ für die Kurve und y* ■= — a;" für Parallelen zu den Asymptoten nicht gleich- zeitig bestehen können für x>0. Dann aber mufs die Linie ^JV die Kuiwe schneiden.

Nun hat man unmittelbar die Bestimmung einer Hyperbel durch ihre Asymptoten und eüien Punkt [4], imd den Satz, dafs die Stücke EF und HI, welche zwischen den Asymptoten und der Kurve abgeschnitten werden, gleich grofs sind ['8], Durch Subtraktion der Gleichung (1) für die Kurve von der Gleichung (2) für die Asymptoten erhält man ferner, dafs

iV' — !/)iy' + y) "^ ( 'S" ) > worin j/ und y' die zu derselben

gehörten Ordinaten sind, oder dafs (Fig. 23) das Rechteck EF. FI aus den Stücken, welche zwischen den Asymp- toten und einem Kurvenpunkt auf geraden Linien abgeschnitten werden, welche derselben Tangente parallel sind, konstant ist [10]. Hieraus wu'd wiederum [in 11] mittels ähnÜcher Dreiecke abgeleitet, dafs dasselbe mit dem Rechteck FK.FL aus solchen Stücken der Fall ist, welche auf dieselbe Weise auf einer Reihe von Parallelen abgeschnitten werden, die nicht einer Tai^ente parallel sind. Aus Fig. 22 ergebt sich nämlich: FK.FL _ CJ^ _ a^ EF.FI ~ BC^- " h^' Ebenso entsteht [in 12] der mit unserer gewöhnlichen Form der Asymptotengieiehung genauer übereinstimmende Satz , dafs ein Parallelogramm, welches von den Asymptoten und zwei durch einen beweglichen Kurvenpunkt zu denselben gezogenen Parallelen begrenzt wird, konstanten Inhalt hat, als eine einfache Umformung von Satz lO'), und aus den auf solche Weise

') Dei' Beweis hatte sich auch auf Satz 8 stfitzoii lassen. Die Äsymp-

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108 Fünftel- Abstlinitl.

ge'womienen Mitteln ei^ebt sich leicht, sowohl dafs Parallelen zu einer Asymptote nur einen Schnittpunkt mit der Kurve haben [13], als auch die unbegrenzte Annäherung der Asymp- toten an die Kurve [14]- Ebenso geringe Schwierigkeit verur- sacht es zu beweisen, dafs die beiden Äste einer Hyperbel die- selben Asymptoten haben [15], und zu flnden, welche geraden Linien beide Äste schneiden.

Konjugierte Hyperbeln sind, wie schon bemerkt, bereits hn letzten Satze [54] des ersten Buchs definiert, und zwar als zwei solche vollständige Hyperbeln, welche ein Paar sowohl der Lage als der Gröfse nach bestimmter konjugierter Durchmesser gemeinsam haben, so dafs der erste (d, h, schnei- dende) Durchmesser der einen der zweite Durchmesser der anderen ist und umgekehrt. Diese Definition, welche sich an ein einzelnes Paar konjugierter Durchmesser anschliefst, erhält indessen erst wirklichen Wert dadurch, dafs die beiden Hyper- beln dieselben Eigenschaften mit Beziehui^ auf ein beliebtes Paar konjugierter Durchmesser haben. Das wird im 2tea Buch' Satz 20 durch Anwendung der im ersten Buch gegebenen Be- stimmung von Tangenten gezeigt, über welche wir am Schlüsse des dritten Abschnittes berichtet haben.

In diesem Satz wird nämlich zueist gezeigt, dafs, wenn (Fig. 23) zwei konjugierte Hyperbeln durch die konjugierten Halbmesser OA (= -Ja) nnd OB (== -J5) bestimmt sind, der Durchmesser OQ, welcher einer an die eine Hyperbel gezogenen Tangente PM parallel ist, die andere in einem Punkte Q treffen mufs, dessen Tai^ente QN dem Durchmesser OP parallel ist. Man hat nämlich, wenn EP und SQ die Ordinalen von P und Q sind, welche je zu einem der gegebenen Durchmesser gehören (nach Gleichung III im dritten Abschnitt);

PR^ _ ^ _ QyS.NS OR.MR ~ a^ ^ SQ^ Da nun FM pai'allel ^0, so ist

totengleiohung ist übrigens in AViiklithkeit niu' ein speciellev Fall des im vorigen jlbschnilt erwähnten Flathoii^^fitzp.s,

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Konjugierte Ilypei-belii.

Fig. 23.

FM _ OS UE QS '

PS SS woraus TTB -■ QS '

lind hieraus ergiebt sich, dafs OP parallel QN.

Daraus folgt, dafs jedes Paar konjugierter Durchmesser der einen Hyperbel der Lage nach mit einem Paar konjugierter Durchmesser der anderen Hyperbel zusammeiifäilt.

Was demnächst die Länge der Durchmesser betrifft, so

ist zu beweisen, dafs der Halbmesser -^ der Kurve BQ,

welcher dem Halbmesser OQ [=-^| konjugiert ist, gleich

OP ist. Nennt man den zum Durchmesser d gehörenden Para- meter p, so ist c^ =^ p.d; aber nach Satz 50 des ersten Buchs (vergl. unseren dritten Abschnitt, Fig. 14) wird ^) be-

qp ■ ~QE' ■

i.QD.QN.QO

Dafs diese Gröfse gleich 40P^ ist, erhält man auf fol- gende Weise. Aus dem Isten Buch (vergl. unseren dritten Ab- schnitt, Ib) tolgl;

0J5'-(|)'-0T.P«,

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110

Fünfter Abschnitt.

tolglich

woraus folgt, dals

OB' FS OT' ' OT'

AOBJi AOPM

ATOM 'ATOM oder dafs A OBE = £\ OFM. Da nun zugleich im ersten Buch (specieller Fall des Flächensatzes) gezeigt ist, dafs A ONQ = A OBE, so ist A ONQ = A OFM, und da in diesen ^JSfQO =^ /_ OFM, so erhält man

QN.QO = PO.PM. Durch Einsetzen in den Ausdruck für c^ imtl durch Betrachtuug der Figur ergiebt sich

MiÜiin ist der Satz bewiesen.

Hierdurch und durch die im ersten Buch gegebene Grund- lage ist Apollonius so weit gelangt, dafs das Übrige aus der Lehre von den Durchmessern und Asymptoten eines Kegelschnittes oder zweier konjugierter Hyperbeln keine Sehivierigkeit mehi- darbieten kann. Es hegt deshalb kein Grund vor in den genaueren Zusammenhang zwischen den übrigen Beweisen oder Lösungen von AufgEiben weiter einzugehen, welche den Rest des zweiten Buchs ausmachen, und welche zum grofsen Teil nur eine weitläu%ere DarsteUur^ desjenigen geben, was sich hierüber in modernen Lehrbüchern findet. Nur einzelne Zt^e, welche etwas gröfseres Interesse darbieten, wollen wir anführen.

In Satz 23 wird gezeigt, dafs das Produkt der Stücke, welche auf einer Reihe von Parallelen zwischen ihren beiden Schnittpunkten mit einer Hyperbel und ihrem einen Schnitt- punkt mit der konjugierten Hyperbel abgeschnitten werden, konstant und doppelt so grofs wie dasjenige ist, das man durch Vertauschung der ersten Hyperbel mit den Asymptoten [vergl. 10 und II], welche beiden Hyperbeln gemeinsam sind, erhalten würde [17]. In 29 wird gezeigt, dafs die Tangenten in den Endpunkten einer Sehne sich auf deren Durchmesser schneiden.

Von Satz 44 an löst Apollonius Aufgaben, welche voll- ständig gezeichnete Kegelschnitte betreffen, und diese werden.

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Aufgaben übei- gezeichnete Kegekchnitte. 1 1 1

wenigstens teilweise, bei den Konstruktionen selbst benutzt. Im G^ensatz zu dem, was er bei den schwierigeren Aufgaben tliat, die er am Schlüsse des ersten Buchs zu lösen hatte, hält er es hier nicht für uberflüsäig vor der synthetischen Darstel- lui^ der Lösung die Änalysis mitzuteilen, welche zu derselben fiährt, indem er damit beginnt sich die Aufgabe gelöst zu denken. Da dann der Beweis für die Lösung kurz wird und sich im wesentlichen an die im voraus gegebene Änalysis auschliefst , so dient er nur dazu dasselbe darzuthun , was schon die Änalysis gegeben hatte, nämlich, dafs die Auf- gabe auf diese oder jene Weise gelöst werden mufs, wenn sie sich überhaupt lösen läfst. An dieser Stelle ist es auch vollkommen berechtigt, sich hiermit zu begnügen, da schon im voraus gezeigt ist, dafs die gestellten Aufgaben Aufiösui^en haben. Wenn z. B. Apollonius , nachdem er [in 44 und 45] Durchmesser und Mittelpunkt bestmimt hat, [in 47] die Äxen einer Ellipse oder Hyperbel durch einen koncentrischen Kreis bestimmt, der durch einen Punkt der Kurve geht, so beruht seine Begmndung der Thatsache, dafs dieser ICreis mehrere Schnittpunkte mit der Kurve hat, dai-auf, dafs, wie er in seiner Änalysis als bekannt vorausgesetzt hat, Axen exi- stieren. Der Beweis für die Existenz der Axen kommt eben, wie wir früher gesehen haben, als Glied in den Beweisen für die Auflösui^en [53 und 54 des ersten Buchs] der Aufgabe vor, einen Kegelschnitt mit gegebenem Durchmesser und ge- gebenem zugehörigen Sehnensysfem und Parameter auf einen Umdrehungsk^el zu legen; denn hier fmg er damit an, die eine Axe imd den zugehörigen Parameter solcher Kurven zu bestimmen. Es würde also in Apoilonius' Entwicklung eine Lücke sein^), wenn man die Auffassung des Gedankenganges im ersten Buche, die wir vertreten haben, verwerfen und be-

') Darauf hat auch liuiisei aulhierksam gemacht; iiLei' nach seiner ÄTiffassur^' (Liuuiille. 2. Reihe, III, S, 163) ivird diese LQclte eist im Ti*" Buche ausgefiTllt; dadurch würden aber alle vorbeigehenden Büchei' auf einer loseren (jrundlage ruhen, als wir sonst bei Apollonius ge- wohnt sind.

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1 12 Fünfter Alj:idmitt.

behaupten wollte, dafs er erst hier im Kweiten Buche zu den Axen der Kegelschnitte käme.

Dagegen jedoch läfst sich nichts einwenden, dafs Apol- lonius erst hier im zweiten Buche [in 48] beweist, dafs eine Ellipse oder Hyperbel nicht mehr als ein Paar Axen haben könne, selbst wenn sich ein solcher Beweis auch recht wohl an die Bestimmung der Axen im ersten Euch hätte ansrhliefsen lassen, bein Bewei=! stutzt «ich darauf dafs dei Hulfskreis die Kurve mcht m mehi Punkten schneiden kann al'. in dem ge gebenen und in den zu diesem mit Beziehuj ^ auf da=! schon be stimmte Axenpiii "-ymnietnsch liegenden und da^ leitet er al aus den — geometnach dargestellten ■ — Gleichungen der Rurv und des kieises die auf dieses Axenpaar belogen ^iinl Fui die Paribel «ichliefst Apollonius einen be \ eis dafui dafs sie nur eine Axe habe ui n ittelbar an die Bestimmung liesei [in 46] an In diesen Beweisen hat man ein Beispiel für die Unrichtigkeit dei in eisten Absei mtt eiwdhnten gegen die griechischen Mathematikci eihobenen Peschuldigui^ da(s sie gamicht darauf bedacht ^laien die Losungen einer Aulgabe alle zu eihaltei

Dafs Apollonius indessen nicht überall Veranlassung nimmt die Anzahl der Lösungen zu untersuchen, zeigt sich gleich durch die dann folgende Bestimmung [in 49—53] einer solchen Tan- gente an einen vollständ^ g^ebenen Kegelschnitt, die durch einen gegebenen Punkt geht, oder mit der Axe oder dem an den Berührungspunkt gezogenen Durchmesser einen gegebenen Winkel bildet. Der Grund für diese Unterlassung kann sehr wohl der sein, dafs die Bestimmung dieser Anzahl durch die Analysis, welche zur Lösung der Aufgabe führt, so unmittelbar in die Äugen Sllt, dafs es nicht nötig ist dieselbe zu nennen. Hierauf dürfte wohl eine einzelne Ai^nahme deuten: Apollonius nennt und zeichnet beide Tangenten an eine Hyperbel, d. h. einen Hyperbelast, von einem Punkte, der in demselben Winkel zwischen den AsjTnptoten liegt wie die Kurve. Dafs es zwei solche giebt, ist nämlich weniger in die Augen fallend, als dafs sich z. B. zwei Tar^enten an eine Ellipse oder Parabel von einem aufserhalb liegenden Punkte ziehen lassen, was er nicht anführt.

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Aufgaben über Tangenten.

113

Die Bedingung für die Möglichkeit der Lösung wjj'd an der einzigen Stelle angegeben, wo eine solche nicht unmittelbar in die Augen springt, nämlich für die Bestimmung einer Tan- gente an eine Ellipse, welche mit dem Durchmesser durch den Berührungspunkt einen gegebenen Winkel bildet. Apollonius schliefst diese Bedingung nicht, wie wohl in der Regel moderne Schriftsteller thim würden, an eine Diskussion der Lösung der Aufgabe an, sondern er giebt dieselbe — ebenso wie z. B. Euklid die früher erwähnte Bedingung für die Möglichkeit der Auflösung quadratischer Gleichungen — in Satz 52 vor der in 53 gegebenen Lösung der Aufgabe. Sein Beweis für die Be- dingung der Möglichkeit hängt indessen so eng mit der Lösung zusammen, dafs diese Abweichung von modemer Dai-stellungs- weise ohne jede sachliche Bedeutui^ ist.

Da wh' schon im Vorhergehenden die Sätze über Durch- messer und deren Sehnen, die bei der Lösung der hier angeführten Aufgaben benutzt ^verden, erwähnt haben, so liegt kein Grund vor bei anderen von diesen Lösungen zu verweilen als bei der letzten, etwas sch\vier%eren Aufgabe, eine Tangente zu konstruieren, welche einen gegebenen Winkel mit dem Durch- messer durch den Berührungspunkt bildet; dieselbe wird im wesentlichen ohne Benutzung der gezeichneten Kurve gelöst. Hierbei wird die Methode benutzt eine Figur zu konstruieren, welche der gesuchten ähnhch ist. Aus dem gegebenen Winkel OPN (Fig. 24 a, wo die Linie ON eine Axe ist) und dem durch

die Gleichung der Kurve gegebenen Verhältnis ■., ..■ ^^ =- ^^

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J 14 "^eflistpr Al>schniU.

erhält .man nämlich auf folgende AVeise (Fig. 24 b) eme Figui- O'P'M'N', welche OPMN ahnlich ist. In eincTi beliebigen Kreis wird die Sehne O'N' so eingetragen, dafs die Poripherie- winkel über dieser (in dem einen S<^ient) die gegebene Gröfae besitzen, welche z OPN haben soll. Es kommt dann nur darauf an, senkrecht zur Sehne O'N' die Sehne P'Q' so zu ziehen, dafs

Vi _ P'^"" ^ P'M'

'ä ~ (FWTMW '^ WW' Das letzte Verhältnis erhält also einen gegebenen Wert, und da der Abstand des Punktes M' von der Mitte der Sehne P' Q' bekannt ist, so wird P'M' auch bekannt, und P' läfst sich durch eine Parallele zur O'N' bestimmen.

Seclister Abschnitt.

Apollonijs' drittes Buch, 1—40, 44 und 53—56,

In seiner allgemeinen VoiTcde vor dem ersten Buch ') sagt Apollonius über das dritte Buch, dafs es manche merkwürdige Theoreme enthalte, welche nützlich seien für ,die Bestimmung und den Diorismus körperlicher Öiier" {r6Kot arepeoi), und unter diesen körperlichen Örtern, d. h. geometrischen Örtern, ivelche Kegelschnitte sind, nennt er besondei-s „den Ort zu 3 oder 4 Geraden", der, wie er sagt, bis dahin kerne vollständige Behandlung gefunden habe und auch nicht ohne das, was in diesem Buch g^eben werde, vollständig behandelt werden könne, 4)a uns durch die angedeuteten Anwendungen, mit denen wir uns in den folgenden Abschnitten beschäftigen werden, ein weiterer Ausblick über den Inhalt des dritten Buches hinaus eröffnet wird, so erhält dieses eine erhöhte Bedeutung als Hauptquelle für die Kenntnis der weitergehenden und nicltt

'} Vergl. Anhang 1.

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Allgemeinheit dar Untersiicliungeii. 1 15

uiimittelbai' überlieferten Uiitersuchui'^en der Griechen. Aber auch die Sätze selbst, welche wir in dem Buche ausdrücklich aufgestellt finden, verdienen unser Interesse im höchsten Grade durch die Allgemeinheit, zu der sie sich erheben; denn zum gi'Öfsten Teile schliefsen sie sich nicht mehr, wie die im ersten und zweiten Abschnitt, an solche besonderen Linien vne Durch- messer und Asymptoten an, sondern sie nehmen im Gfegenteil dieselbe Natm an, wie die, welche sich in der analytischen Geometrie an die Darstellui^ dm'ch die allgemeine Gleichung zweiten Grades anscbliefsen , oder wie die, welche der plani- metrischen Behandlung der Kegelschnitte in der modernen pro- jektivischen Geometrie zu Gmnde liegen. Das gilt besonders von den Satzgruppen des Buches, auf die wir in diesem Ab- schnitt genauer eingeben wollen, und an die sich die von Apol- tonius hervorgehobenen Anwendungen geknüpft haben müssen. Die in unserem vierten Abschrütt besprochenen Umfor- mungen und Erweiterui^en des Flächensatzes finden sich in Satz 1—15 des 3ten Buchs. Dafs hierfür so viele Sätze notwendig sind, mrd dadurch begreiflich, dafs nicht nur der Hauptsatz, sondern auch seine schon genannten Umformungen 7U dei Foim erweitert weiden müssen, ^^elcbe sie annehmen, wenn die verschiedenen dann vorkommenden Punkte auf itrsthiedenen Hypeibelästen hegen, odei wenn die in ihnen benutzten Richtungen von Geraden nicht den iangenten an <lie Kuive selbst, sondern nni den Tangenten an die kon- lügieite Hjpeibel piiallel sind Eme eigenthche Vollständig- keit auch dei Form nach wiid übugens nur hinsichtiicb des riächensatze'^ selbst eiieicht , abei seine Umfoimungen ge- schehtn, wie \Mr gesehen haben, so unmittelbar, dafs sie auch m solchen Fallen zui Verfi^ung stehen, mo dire Richtig- keit racht besondeis nachgewiesen wird, ja Apollonius benutzt sogai selbst in einem späteien Ben eise [füt 23] eine zum ersten Male m 3 daigestelUe Umformung m emem Falle, wo ei die Richtigkeit derselben nicht ausdruckliLh nachgewiesen hat. Das emz^e, was em modemer Leser in Betreff des Haupt- satzes selbst veraiifst, ist ein derartig zusammenfassendes Ausspiechen des einzelnen allgemeinen Satzes, wie wir

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IIÜ

Sedisier Ab^duiitt.

es im vierten Abschnitt gegeben haben, wenn der Beweis des- selben auch immerhin in den ■verschiedenen Fällen etwas ver- schieden lauten müfste Dafs Apollonius indessen trotz der Zer- stückelung die Einheit im Auge gehabt habe, geht teils daraus hervor, dafs er Sätze mid Beweise so gleichartig ausdrückt, wie die Um&tande eb zulassen, teils daraus, dafs er hinsichtlich des Hauptaatzea alle Fälle berücksichtigt. Dasselbe gilt — bis auf eine unwesentliche Ausnahme — von den folgenden, gleich- falls zerstückelten, allgemeinen Hauptsätzen, welche nunmehr aus dem Flächensatze abgeleitet werden.

Der erste von diesen ist das sogenannte Newtonsche The- orem, oder, wie wir es im zweiten Abschnitt (S. 53) genannt haben, der Potenzsatz. Wir sahen, dafs schon Ärciiimedes diesen in dem Umfange als bekannt voraussetzen konnte, den derselbe annehmen kann, wenn man nicht mehr als einen Hyperbelast betrachtet, Apollonius beweist denselben, dehnt seine Gültigkeit auch auf zwei zusammengehörige Hyperbeläste aus, und behandelt specielle Fälle. Der Satz sagt aus, dafs, wenn man (Fig. 25) durch einen beliebigen Punkt Z der Ebene Geraden in gegebenen Richtungen zieht, von denen ein Kegelschnitt die Sehnen EK und J)T ZD.ZT

abschneidet, das Verhältnis Derselbe wirrt in 16—23 cntM-ickeit.

ZE.ZK

konstant ist.

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Der Potenzsati;. 117

Indem wir zuerst, wie es von Äpolloiüus in 17 und bei : F%iir, welche die gebrauchten Bezeichnungen erläutert, geschieht, voraussetzen, dafs sich Tai^enten an die Kurve in den g^ebenen Richtungen ziehen lassen, welches zutrifft, wenn die Sehnen nicht beide Hyperbeläste schneiden, so läfst sich der Beweis mit unseren Bezeichnungen folgendermafsen schreiben: KZ.ZE _ lE^ — IZ^ _ AIEM—AIZL _ ZEML CA'' ~~ CJ.^ "" ~ AÄCN " AäCN'

und ebenso ist

TZ.ZD ZDXO

CB^ ^ ABCP

Nun erhält man, wenn man den Flächensalz') auf die Punkte E und D anwendet,

ZEML {^ GOEM—GOZL = GXDL — GOZL) = ZOXD, und wenn man denselben auf Ä und B anwendet,

AACN{= AGBN-GBCA = AGPA^GBCA) = ABPC.

Der Satz ist also für diesen FaU bewiesen, da das in dem- selben erwähnte Verhältnis dem Verhältnis zwischen den Quadraten der den Sekanten parallelen Tangenten, diese von ihrem Schnittpunkt bis an die Berührungspunkte gerechnet, gleich wird. Ist weder die eine noch die andei'e Sekantenrichtung einer Tangente parallel, so sieht man ganz auf dieselbe Weise [in 23], dafs das Verhältnis dem zwischen den Quadraten der an die konjugierte Hyperbel ge- zogenen Tangenten gleich ist. Ist endlich die eine Sekante einer Tangente parallel, die andere nicht, so wird das Ver- hältnis ausgedrückt durch dasjenige zwischen dem Quadrate dieser Tangente, dieselbe vom Berührungspunkte

') ApolloEius wendet denselben nicht unmittelbar an, sondern zuerst die im 3"" Buch [3] und dann die im 3'™ Buch [1] {vergl. d. Amn, S. 94) enthaltene Umformung. Um indessen nicht voraussetzen zu müssen, dafs der Leser diese Umfonnui^n seinem Gedächtnisse ein- geprägt habe, führe ich die Anwendungen {dwch die ia Klammern angegebenen Operationen) auf den Hauptsatz zurück.

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118 Sechstel- Absthnitt.

bis zum Schnittpunkte mit dem Durchmesser gerech- net, der die auf der anderen Sekantenreihe abge- schnittenen Sehnen halbiert, und dem Quadrate der Hälfte von der Sehne in dieser Reihe, welche diesen Punkt zur Mitte hat. Der Beweis bleibt der Hauptsache nach unverändert [21],

VordenallgemeinenSätzenbehandeltApoUonius [16, 18—20] einige der einfacheren Fähe, in denen die eine Sekante mit einer Tangente vertauscht wird. Dagegen findet er es für die Eüipse überflüssig den FaU besonders zu behandeln, wo die Sekanten einem Paar konjugierter Durchmesser pai'allel sind, obwohl sein allgemeiner Beweis hier nicht anwendbar ist; aber der Satz ist dann eine unmittelbare Folge der auf diese Durch- messer bezogenen Gleichung der Kuiwe. Wenn er trotzdem diesen Fall für die Hyperbel [in 32] behandelt, so beruht das vermuthch darauf, dafs die minder gewohnte Behandlung der beiden Hyperbeläste hier gröfsere Forderungen an seine Auf- merksamkeit stellte oder als etwas neues hervorgehoben werden sollte.

An die Anwendungen des Potenzsatzes auf die Fälle, wo die Sehnen konjugierten Durchmessern parallel sind, schliefson sich noch einige Sätze [24 — 29]^), Es mag wohl Interesse darbieten, in den meisten von diesen den Zusammenhang zwi-

') Vielleicht ist es die Hinzufügung dieser Sätze, welche in Housel (LiouYille, 2 Reihe III, S. 168) die wunderliche Voretellung heivui- gemfen hat, dafs Apolloniiis Newtons Theorem nur in dem Fall he- iveiat, wo die Koordinatenrichtungea konjugiert sind. Wäre das der FaU gewesen, so würde die Entstehung des erwähnten Tlieoiems, welches jetzt gerade durch seine grofse Alfeemeinheit interessiert, keinen Anspruch auf sonderliche Beachtung haben. Eine spätere Äufserung zeigt, dafs Housel die Sätze, in denen ApoUonius die um- fassenderen Formen des Theorems aufetellt und beweist, als HülfesStze für dessen Beweis der engeren Form auffafst, in der er das Resultat der Untersuchimg erblickt. Wie unrichtig diese Auffassung ist, ergiebt sich unter anderem daraus, dafs eben diese engere Form sich als Grenzfall dem allgemeinen Beweise entzieht. Dafs die Alten dem allgemeinen Satz Gewicht beilegten, sieht man auch daraus, dafs der- selbe von Archimedes in dem vollen Umfange benutzt ist, den derselbe annehmen konnte, so lai^e man nm- einen Hyperbelast betrachtete.

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Der Pntenz.?atz; Satze üher Polaren. 1 \',i

odien konjugierten lljpeibeln lU'-fiiliriRhpi behmdtU zu t-chtii als man jetzt zu thun pflegt abei diebelben hoben doch geiir^eie Bedeutung und sind wenigei voüstandig als die ubr^en batzt und Satzgruppen des dritten Buch'^ DAbei liegt es nahe die- selben als Hülfssätze 7\\ betiachten ■v\ eiche bei dei ßeatmnnung geometrischer örter, wozu dao Buch im ganzen nutzlich lem soll, benutzt werden sollen In die^ei Vermutung bm ich be stärkt worden, wählend ich den Versmh machte diesen Be- stimmungen von Örtem nachspiueii DTiubei weide ich im nächsten Abschnitt benthten und da ich doit Gelegenheit finden werde die Sätze anzufühlen "o iibeigehe ich dieselben an dieser Stelle.

Von viel gröfseiei Bedeutung als Aie'fe letzteren sind dit jenigen Sätze, welche m 30—40 iMedei lus dem Fhchensatzt abgeleitet worden, und die bich m den beiden Hauptsitzen zusammenfassen lassen i\elclie m dei modernen Iheorie dei Polaren Punkte der Pohie eme& aufseren odei inneren Punktes bestimmen. Die erste diesei beiden Bestimmungen 30t m dem Satze enthalten, dafs, wenn man von einem Punkte eine Sekante und zwei Tangenten an einen Kegelschnitt zieht, die von der Sekante abgeschnittene Sehne durch den Punkt und den Durchschnittspunkt mit der Berührungssehne harmonisch geteilt wird.

Der a%enieine Beweis für diesen Satz, der bereits im ersten Buch für den Fall bewiesen ist, wo die Sekante ein Durchmesser ist, wird [in 37] auf folgende Weise geführt.

Es werden — wie in Fig. 26, wo der Umstand, dafs Ol eine Axe ist, unwesentlich ist — die durch den gegebenen Punkt C und den einen Berührungspunkt A gehenden Durch- messer CI und AI gezogen, und um den Flächensatz benutzen zu können werden durch die Endpunkte D und Z der abge- schnittenen Sehne Linien in den diesen beiden Durchmessern konjugierten Richtungen gezogen, und diese Linien werden ver- längert bis sie denjenigen der beiden Durchmesser schneiden, dem ibi-e Richtungen nicht konjugiert sind (die Linien DN und DP, sowie ZK und Zß). Aus der Figur ergiebt sich dann, dafs

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Sechstel' Abschnitt.

CZ^ A CLM A RZM CLZR

ACXO APBO CXDP Wendet man nun den FVkchensat'/.'-) auf die Punkte Z und A an, so ist

CLZR (= CLKI—ZKIE ^ CLKX—AIC) =^ ALKA. und auf dieselbe Weise erhält man

CXDP ~ AXNA. Folglich wird

CZ^ ALKA AL^ EZ^

CD'' ^ A XNA AX-' "" LI)^ ' Der Satz ist also bewiesen.

Den zweiten Hauptsatz können wir leicht an dieselbe Fig. 26 anschliefsen, in der S die Mitte der Sehne AB bezeichnet und CT parallel der AB ist. Man erhält dann nämlich mittels des

') Apollonius wendet diesen niclit unmittelbar an, sondern die im dritten Buch [2] enthaltene Umformung. An dieser Stelle sind die Citate in Halleys Ausgabe wider Gewohnheit nicht ganz genau.

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Sätze Übel' Polare«. J,2 1

bewiesenen Satzes, dafs ZS durch den anderen Endpunkt U der Sehne I) 0 geht, und dafs S und T die Sehne ZU harmonisch teilen. Da Z ein beliebiger Punkt der Kurve sein kann, so wird die Polare CT des inneren Punktes S durch dieselbe harmonische Eigenschaft charakterisiert wie die Polare des äufseren Punktes. Äpollonius, der keinen der Ausdrücke ,har- monisch" oder „Polare" benutzt, beweist diesen zweiten ali- genieinen Hauptsatz In 38, wo mtin indessen statt der hier angedeuteten Anwendung des vorbeigehenden Satzes 37 eine — auch nur angedeutete — Wiederholung des Beweises für diesen Satz findet.

Die übrigen Sätze derselben Gruppe [30 — 40] rühren teils davon her, dafs wie gewöhnlich besondere Rücksicht auf solche Fälle genommen wird, wo die Punkte auf verschiedenen Ästen derselben Hyperbel liegen, teils auch rühren sie von der be- sonderen Behandlung solcher Grenzfalie her, wo der eine der vier harmonischen Punkte sich bis ins Unendliche entfernt, und der ihm zi^eordnete die Mitte zwischen den beiden letzten wird, oder wo der gegebene Punkt auf einer Asymptote hegt. Diese Grenzfälle hefsen sich nach griechischer Darstellur^sweise der Form nach nicht in den allgemeinen Sätzen miteinbegreifen. Dafs Apollonius dennoch ihre Bedeutung als Grenzfälle von diesen vollkommen richtig aufgefafst hat, sieht man ans der Art und Weise, wie dieselben in dieser Satzgruppe angebracht werden.

Zur Theorie der Polaren gehört noch der Satz 44, wel- cher aussagt, dafs die Polare eines äufseren Punktes mit Be- ziehung auf eine Hyperbel zwei von den Linien parallel ist, welche die Schnittpunkte z^vischen den vom Punkt aus gezo- genen Tangenten und den Asymptoten mit einander verbinden. Dieser Satz ist von den übrigen Sätzen über Polaren getrennt, weil für seinen Beweis der erst in 43 bewiesene Satz benutzt wird, dafs eine beweghche Tangente einer Hyperbel auf den Asymptoten Stücke abschneidet, welche, vom Mittelpunkt aus gerechnet, ein Rechteck von konstantem Inhalt bilden.

Der letzgenannte Satz gehört zu einer kleinen Satzgruppe 41 — 43, welche in keiner anderen als der hier angeführten Ver-

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122 SocliHtei- Abschnitt.

bindung tnit dem früheren Inhalt des Buch^ steht, die aber eine besondere Aufmerksamkeit verdient, da sie das giebt, was wir mit einem modernen Namen die Erzeugung der verschiedenen Kegelschnitte durch eine bewegte Gerade nennen können.

Da sich auf anderem Wege nachweisen läfst, dafs die Alten wirklich eine mit diesem Namen stimmende Anwendung von diesen Sätzen gemacht haben, wahrend die übrigen Sätze des dritten Buchs es vorzugsweise mit den K^elschnitten als Erzeugnissen von Punkten oder als Örtem für Punkte zu thun haben, so wollen wir die genauere Besprechung dieser kleinen Satzgmppe bis zu einem späteren (dem löten) Abschnitt ver- schieben, wo wir dieselbe mit ihren Anwendungen in Verbin- dung setzen können.

Ebenso wollen wir die nächste Satzgruppe 45—53, weiche die einfachsten Eigenschaften der Brennpunkte der Ellipse und Hyperbel enthält, und die in keiner anderen Verbindung mit dem übrigen Inhalt des Buchs steht, als dafs sie auf dem von allen übrigen Sätzen des Buchs unabhängigen Satze 42 aufgebaut ist, in einem besonderen Abschnitt {dem 16ten) über die Brennpunkte der Kegelschnitte besprechen.

Ich habe den Eindruck empfangen, als ob diese beiden Satzgrappen zunächst nur deshalb ihren Platz im dritten Buch gefunden haben, weil sich kein anderer und passenderer Platz für sie darbot, indem dann die hier erwähnte Verbmdung zwischen einem einzelnen Satze [43] und dem übrigen Inhalt des Buchs als Veranlassung benutzt ist auch die übrigen mit- zunehmen. Zugleich scheint mir der Umstand, dafs, wie wir sehen werden, in diesen Gruppen in wenigen Sätzen ohne Um- schweife die einfachsten und deshalb wichtigsten Eigenschaften mitgeteilt werden, darauf hinzudeuten, dafs hier nicht die Ab- sicht ist etwas Neues geltend zu machen, sondern einige be- kannte aber wichtige Eigenschaften der Kegelschnitte zusammen- zustellen.

Df^egen mufs ich vorläufig den Versuch aufschieben zu erklären, weshalb die Satzgruppe 53 — 56 bis an den Schlufs des Buchs geschoben ist. Ihrem Inhalt nach schliefst dieselbe sich nämlich ganz an die ereten Satzgruppen des Buchs, den

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Andere Satzpuppe]! des .T=" Buch.?. 123

Flächensatz, den Potenzsatz «nd die Sätze über Polaren an, indem sie die Kegelschnitte als geometrische Örter für die Durchschnittspunkte zwischen den sich ent- sprechenden Strahlen von zwei projektivischen Bü- scheln behandelt. Diese Grundlage für die Bestimmung der Kegelschnitte als geometrischer örter in der modernen projek- tivischen Geometrie wird in der That in voller A%emeinheit bewiesen, doch so, dafs die Projektivität der Büschel auf eine bestimmte Weise ausgedrückt wh'd, nämlich durch die einfache Relation, weiche zwischen den Punktreihen stattfindet, die sie auf Linien bestimmen, welche durch jeden Scheitelpunkt der Büschel parallel zu der Tangente im anderen gezogen sind; aber diese bestimmte Art die Projektivität auszudrücken kami es allerdings mit sieh gebracht haben, dafs die Anwendbarkeit viel geringer wurde als jetzt, wo man in den Worten; die Büschel sind projektivisch, alle die projektivischen Eigenschaften ausdrückt, welche die moderne Geometrie als bekannt voraus- setzt.

Es seien Ä und C (Fig. 27) die festen Punkte, AB und OB die Tangenten in denselben und CP und AQ Parallelen zu diesen ; femer sei M ein beweglicher Punkt des Kegelschnittes, weicher durch ÄMP und CMQ mit den festen Punkten ver- bunden wird. Dafs die von diesen Linien gebildeten Büschel, in denen die Tangenten der Linie AC so entsprechen, dafe P auf C läilt, wenn Q sich bis ins Unendliche entfernt, und Q auf A fallt, wenn P sich bis ins Unendliche entfernt, projek- tivisch sind, läfst sieh dann ausdrücken durch CP.AQ = constans.

Diese Relation beweist Äpollonius in 54 für den Fall, wo die Kurve eine Ellipse, eine Parabel oder eui einzelner Hyper- beiast ist, in 55 für den, wo A und C jeder auf einen von zwei zusammengehörigen Hyperhelästen fallen, während M sich auf einem derselben bewegt, mid in 56 für den Fall, wo A und C auf dem einen Hyperbelast ii^en, während M sich auf dem anderen bewegt.

Der Hauptsache nach ist der Beweis folgender. Wenn man durch M die Sehne MN parallel A C zieht und diese die

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Sechster Abschnitt,

Fig, Tl.

Tangenten in 8 und R schneidet, so wird Ji!JV = M.S , \Yeil der Schnittpunkt mit dem Durchmesser der parallelen Sehnen die gemeinsame Mitte für SU und 3/W ist. Das nach dem

Potenzsatz konstante Verhältnis tttt^^ttt? läfst sich also, indem

JiJY . Km.

man zugleich die ähnlichen Dreiecke der Figur Ijenutzt, folgender- raafsen umformen i

RG^ __ RC'^ _ BC SA_ BG_ RN.RM MS.BM BÄ'MS'RM _ BC CP.AQ ~ BÄ" AC-" Bezeichnet man den konstanten Wert dieses Ausdrucks mit X, so erhält man

" BC- und der Satz ist dann bewiesen.

Der konstante Wert erhält einen mehr symmetrischen Aus- druck, wenn man den Wert einführt, der nach dem Potenz-

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Erzeugung' von Kegelschnitten durch projektivisehe Büschel. 125

satz X zukommt. Dieser ist, wenn wie in Fig. 27 der Durch- messer BG der Sehne AC die Kurve in E sehneidet, _ FC^^ _ EG^ BC^ __ EG^ BC* " ^ FW ~^ ~BW ■ 'GG^ '" BW ' {AC- ' wodurch man erhält:

CP.AQ = ^^.BA.BC. Diesen Ausdruck — oder richtiger den darin einbegriffenen fflr ^^-^f ^ — findet Apollonius in 54 und 56.

hl 55 dagegen, wo BG die Kurve nicht schneidet, zieht man dui'ch B eine Parallele zur Sehne AC, welche in diesem Falle die Kurve schneiden mufs, da AG beide Äste schneidet. Ist H der Schnittpunkt der Parallelen mit einem der Äste, so wird der Ausdruck für z, wie wir beim Potenzsalze bemerkt haben,

"" ~ WR' ' und dann eihält man

AB.BC ,,-,,

CP.AQ =

Apollonius' Entwicklur^ weicht lufser i)i du h m der Dai'stellung von der hier gegebenen eigentlich nui daluich ab, dafs die hier benutzten Ausdrücke fui x gleich eingetuhit werden.

Li dem den allgemeinen Sätztn vorangehenden Satz 53 wird der einfache Fall besonders behandelt, wo die Sehne AC ein Dm'cbmesser, die KuiTe eme Ellipse oder Hyperbel ist. In diesem Falle läfst sich der Beweis ohne Benutzung des Potenzsatzes allein mit Hülfe der Gleichungen für die Kurve durchführen.

Dieser Satz 53 ist, ebenso wie 42, einer von den wenigen, in denen gleich auf die aus zwei zusammengehörigen Hypei'belästen zusammengesetzte Kurve Rücksicht genommen wird, euie Rück- sicht, die im übrigen so einfach ist, dafs sie nicht im Beweise erwähnt zu werden braucht, wo der bewegliche Punkt doch nur als euiem Hyperbelast zur Zeit angehörig betrachtet wird. Für moderne Leser ist es viel eher auffallend, dafs gesagt wii'd.

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P( Seleiie \1 i

dei Satz gelte auLei für zusiminengehoiige Hypfibelaste auch fir eine einfache Hyperbel (d h omen Hyperbela&t) ibei man muf-i bedenken dala mau auth fni einen bolchen den Punkt tiUPo Duichne •^er^ dei in Wuklichkeit auf dem mderen Hj peibelist hegt als einen Endpunkt htzeichnet und was die T-mgenten m den Endpunkten betrifft so werden diese in die&em Sat? und m 42 nm tIs m dei Pichtun^ der zum Duich raesser gehoi enden Oidinaten gezOt<en bezeichnet Die Satze be Hinnen nanihch folgendermalsen "Wenn min m einer Hypeibel pinei EUipie einem Krei&e odei m entgegengesetzten Schnitten (\ h zu ammeiigehoiigen Hyperbeleisten) von den Endpunkten i.'ines Duichmesaeis Parallelen zu dessen Oidinaton aeht ....

Siebenter Abschnitt.

„Der Ort zu drei oder vier Geraden".

Wie wir gesehen haben, soll Apollonius' drittes Euch den zu der antike« Bestimmung') ,der Örter zu drei oder -rier Geraden" enthalten, und man darf nicht unterlassen das Mittel, welches diese Mitteilung über die Absicht und Bedeutung der angestellten Säl^e giebt, zu benutzen um ein tieferes Verständnis der Arbeit und der Betrachtungsarten, welche der griechischen Lehre von den K^elschnitten ihre Ent- wicklung verliehen haben, und der Bedeutung der Resultate, welche dieselbe erreicht hat, zu gewinnen.

„Der Ort zu vier Geraden", von dem der Ort zu drei Geraden ein specieller Fall ist, ist^) der geometrische Ort

') In der Vorrede wird eigentlich die Synthesis der Örter geaannt, d. h. die synthetische Darstellung der Beschaffenheit der geo- metriscJien Örter und ihrer genaueren Bestimmung durch die gegebenen Stücke; aber die Voraussetzung für diese Darstellung ist die Kenntnis der Bestimmung selbst — und diese ist es, welche uns inter- essiert.

') Pappus, Ausg,ibe von Hultsch, S. (ITS; mitgeteilt in unserem AnhanEr -2.

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für die Puitkte, deren Abstände x, geraden J.inien der Gleichung

-- eonstans

genügeil. (Von diesen Linien wollen wir x — 0 und 3 = 0 gegenüberliegende nennen, ebenso ^ = 0, m = 0).

Die Abstände werden nicht nur auf den auf die Geraden gefällten Senkrechten gemessen, sondern auch allgemeiner auf Schiefen, die in gegebenen Richtungen gezogen sind, was übri- gens, wenn gleichzeit^ die Konstante sich entsprechend ver- ändert, keine andere Bestimmung des Ortes liefert.

Wir werden bald zeigen, welche Lösung dieser Aufgabe ApoUonius wahrscheinhch kannte und — wie er sagt — durch die Verbesserungen der Theorie, welche er in seinem dritten Buche einführte, vervollständigte ; aber zuerst wollen wir einigen falschen Auffassungen entg^entreten, die ebenso wie ein früher erwähntes Mifsverständnis ihren stärksten Ausdruck bei Des- cartes gefunden und sicherlich das Ihrige dazu beigetragen haben, dafs man sich auch später so wenig bemühte den Mitteln der Alten zur Bestimmung von Ortera nachzuspüren.

Aus Äufserungen in der Vorrede geht unzweifelhaft heiTor, dars Äpollonius eine vollständige Lösung besafs. Da Äpollonius, so weit mir bekannt, sich nirgendwo auf mathematischem Ge- biete als unzuverlässig erweist, so verdient er voUes Vertrauen, und zu seinen Worten stimmen auch die — dem Äpollonius nicht freundlich gesirmten — Äufserungen des Pappus in der Einleitung zum 7ten Buch '). Er sagt nämlich in vollkommenster Übereinstimmung mit Äpollonius' eigenen Äufserui^en, dafs, dieser selbst die Aufgaben allein durch die Satze, die zu Euklids Zeit bekannt waren, nicht vollständig hätte lösen können. Descartes, der diese Worte so verstanden hat, als

') Veigl Anhaag '1 Dasselbe, was wir hier geltend machen, wird auch von Heiheig hervorgehoben (Litterar^eschichthche Studien über Euklid,

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128 Siebenter Absthnilt.

ob ÄpoÜonms die Lösung der erwähnten Aufgabe überhaupt nicht Toilendet habe, bemerlct ferner i), dafs Pappus sage, der geometrische Ort werde ein Kegelschnitt. Aber, fahrt er fort, Pappus läfst sich nicht darauf ein diesen K^elschnitt zu be- stimmen oder zu beschreiben, Wunderhch genug gelangt Des- eartes durch diese Worte, welche augenscheinhch dazu bestimmt sind die Vorzüge der neuen Methode, der analytischen Geo- metrie, zu ze^en, gerade dahin der alten Geometrie einen der wicht^sten dieserVorzüge beizulegen um ihr dagegen solche abzusprechen, welche sie jedenfalls vor seiner eigenen Behand- Imig derselben Aufgabe Yorausgehabt haben mufs. Einer der grofsen Vorteile der analytisch^eometrischen Bestimmung eines geometrischen Ortes ist namiich die Leichtigkeit, mit der sie zeigt, dafs dieser Ort eine Gerade, ein Kegelschnitt u. s, w, ist, wahrend die genauere Bestimmung der gefundenen Linie mit mehr Schwierigkeit verbunden ist. Bei der Benutzung von Methoden, die einen geringeren Grad von Allgemeinheit besitzen, wird dagegen der Nachweis, dafs eine Kurve ein Kegelsclmitt ist, direkter darauf ausgehen zu zeigen, dafs dieselbe mit einem vollkommen bestimmten Kegelschnitt zusammenfällt. Was nun Descartes' eigene fernere Bestimmung desselben gometri- schen Ortes betrifft, so b^nügt er sich damit ein Paar konju- gierter Durchmesser und die Form zu finden , welche die Glei- chung durch Beziehung auf diese annimmt. Dadurch ist die Km-ve allerdings bestimmt, aber nur weil man dann auch weifs, dafs die Gleichung der Kurve dieselbe Form durch Beziehung auf ein Paar rechtwinkliger Äxen, die sich dann auch bestim- men lassen, behält. Für diese letztere Bestimmung, welche, me aus der elementaren analytischen Geometrie bekannt ist, den schwierigsten Teil der Bestimmung eines durch die allge- meine Gleichung zweiten Grades gegebenen Kegelschnittes aus- macht, giebt Descai'tes in seiner Geometrie keine Anleitung, sondern er bezieht sich ganz einfach auf Apollomus. Dazu ist er selbstverständlich vollkommen berechtigt, aber seine herab-

') Geometrie, Ausgabe i'oii van Schonten, S. lU.

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"Wri fimlet ?icli die Be.-limmun^ tler Örter';' 129

setzenden Bemerkungen über die Geometrie der Alten \i"erden dadurch noch imbilligei.

Wie Deseartes die Beweise dafür, daTs Apoilomus wirklich die erwähnte Aufgabe gelöst hat, übersehen haben kann, wird übr^ens dadurch erklärhch, dafs ApoUonius seine Lösui^ nicht ausdrücklich mitteilt, und dieser Umstand mag auch auffaUend erscheinen. Ich vermag denselben nicht anders ais dadurch zu erklären, dafs er angenommen hat, die Bestimmung eines geometiischen Ortes, selbst wenn derselbe ein Kegelschnitt wird, gehöre nicht in ein systematisch und synthetisch dar- gestelltes Werk üljer die Eigenschaften der Kegelschnitte. Der Bew^grmid hierfür kaim wiederum der gewesen sein, dafs die Lehre von der Bestimmui^ der Örter weitläufig genug wai' um ein ganzes seihständiges Werk zu füllen. Für die Richtigkeit dieser Erklärung spricht der Umstand, dafs kein Theorem bei ApoUonius dii'ekt aussagt, dafs ein gewisser geo- metrischer Ort ein Kegelschnitt sei, wenn dieselben auch oft Ortstheoreme sind, insofern sie ze^en, dafs umgekehrt alle Punkte eines Kegelschnittes eine gewisse Eigenschaft haben. Hierzu stimmen ferner die ältesten bekannten Titel für Werke über Kegelschnitte, nämlich Euklids vier Bücher über „Kegel- schnitte" im Gegensatz zu Äristäus fünf Büchern iöber ..körperliche Örter". Das erste von diesen ist uEich Pap- pus' Bemerkui'^ (vei'gl. Anhang 2) durch ApoUonius' voUstän- (hgeres Werk ersetzt. Das zweite hat, nach seinem Platze in Pappus' woMgeordnetem Verzeichnisse von Werken, die zu der antiken analjtischen Geometrie') gehörten, um eine Stufe höher gestanden — wenn es auch vor den hier erwähnten Lehrbüchern der Kegelschnitte geschrieben worden ist — , und auf Grund der Übereinstimmui'^ seines Titels mit dem von ApoUonius' ebenen Örtern mufs man annehmen, dafs es geo- metrische Örter behandelt habe, welche Kegelschnitte werden.

') Ausgabe von Hultsch, S. 636 \nidiii ist bei -.einem Vei-suclie die vefloTene Schrift des A i' i s 1 1 u & iviedeihei zustellen \ oa dei selben allgemeinen Auffassimg ihreq Inhalten ausgegangen die hiei geltend gemacht wird.

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130 Siebenter Abschnitt.

Üis atüniut Audi zu Pappn-i Aufsei ungen ubti dif ui^pfuhit i Bnchei Wenn namhch Pippus zu dessen Zeit Äii=!taus Weik noch existierte, sagt') dafs Euklid wedPi {dem noch lebenden) Aiistaus zmorkommen (uEimlich mit Beziehung aiit mögliche weiteie Entdeckungen) noch einen neuen Giund fui dit^ellj*^ Lehie legen wolle '^o fo^ hieiaus difi Euklid m seinein Weikf ein anderes Ziel verfolgte als Äristaus denn bezweckte %em Werk dasselbe wie das des Anstaus so muffte ei ]a eben die Ab-iicht haben aut diesem Gebiete etwas besseiei henorau- biingen als das was bereits voilag Pappiis mnfs alao meinen dafs Eukbd dei ebenso wie Ajollonius die ailgememe Lebie lon den Kegelschnitten behandelte dieselbe mit Beziehung ■iut den Punkt luf den e^ hiei ankommt nicht weiter fühlte al"- notwendig tt'ir um Äri'.lxus unvollständige Bestinmiung „des OiiB zu diei odei viei Geiaden" zu begiunden oder sjnthetisch daizustellen dessen Werk ist also mcht eine ailgememe Lehre von den Kegelschnitten gewesen sondern hat in Ubeiemstim mnng mit seinem Ninien nii die ?u dieser Lehie g h ir In Bestimmungen geometri^Lhei Oitei hehindelt )

) lubgabe von HultAch s, 676 (unsei Änhdng 2) Meine Äuffii. ung lej Worte stimmt mit dei ubeiein welche Heiberg Litterirgeichi ht hebe 'Studien über Euklid S S4^8G geltend gemacht hat und norai« er aicberlich mit Recht schliefat daf wie ApoUonius sagt die alteien Lösungen der iiifgaben über „Örter zu irei und vier Geraden nicht loU^äHdig waren

) Mit RicLsichl darauf dafs nicht nm ApoHomui seinen Tade! allein ^egen Entlid nebtet sondern auch Pappua bei „dem dei zuei-st darüber schneb' an Euklil zu denken scheint kann man \ielleii,ht in meinei Be ei-htieung zneifeln die teilweLse Bestimmung des Ort'- zu iiei Oeiaden auf Äriitaus zunckzuf bien Die^ei ZweiJel ivuide ndes en lie Hauptsache nämhch die Begrenzui^ dei älteien Be tin mung imd die Art wie iie BestimmunR au geblhrt ■nird gar nicht tieffen Unsere im Fo!^ndea gegebenen Eiklstningen werden aucli \ann ihre Gültigkeit behalten nenn Pappus nur meint difs Eukl d Be'^immung unvolbtändig aem mulste werl er dreselbe alfeememe Auffassung 1er Kegelschnitte benutzte iie Ari'itJi.uf, bei andeien ahn heben Bestimmungen von Urtern anwandte Da, oben arfge teilte \e hältnis /wischen Eukhd und Aiistäus laf'.t ich dcch ge\iiffl nich festhalten wenn man beachtet dafs das wovon bei Euklid die Rede ist die ^yntbes s des Orts olei die sjntbetisUie Darstellung lofi.

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Der Salr. vom einbeschriehenen Viereck. 131

Indessen bleibt es doch auffallend, dafs ApoUonius auch nicht die der Bestimmung des Orts zu vier Geraden entspre- chende theoretische Umkehrung des Satzes mit ange- nommen hat, dafs jeder vorgelegte Kegelschnitt — und zwar in Beziehung auf jedes einbeschriebene Viereck — die E^enschaften besitzt, welche den Ort zu vier Geraden cha- rakterisieren. Der Gmnd mag wohl der sein, dafs man, in Anspruch genommen von der gi'öfseren BeschwerUchkeit, welche die Bestimmung des Orts venu'sacht hat, den theoretischen Satz nur als Appendix zu dieser betrachtet hat. Aus der Natur der Sache und allen vorliegenden Ar^aben geht hervor, dafs derselbe aller Wahrscheinlichkeit nach ein Durchgar^sglied war und jedenfalls denen nicht unbekannt gewesen ist, welche sich auf eir^ehende Weise mit dem Ort zu vier Geraden be- schäftigt haben. Ist derselbe also bekannt gewesen, tmd zwar teilweise dem Aristaus und Euklid und vollständig dem ApoHonius, so ist der Name Theorem des Pappus, den Chasles demselben gegeben hat, nicht zutreffend — um so weniger, als auch Pappus nur die Bestimmung des Orts und nicht das umgekehrte Theorem erwähnt. Wir werden dasselbe deshalb in der Folge den Satz vom e;inbeschriebenen Viereck nennen.

Wenn man nun nach allen vorliegenden Erläutermigen, namentlich nach den von Pappus bestätigten Worten des Apollonius in der Vorrede, eine Wiederherstellung der antiken Bestimmimg des Orts zu vier Geraden unternimmt, so nm!s

de^-eii Bestin munR i&t Anitaii« liat dann vielleitht he Bestimnmng les Otts analytisch, bii* zu einem. Satze znvuckgefühit den er lon dei allKemeineü Lehie ton den Kegel'^chnitten her alb bekannt voraus letzte nach der ÄuffasAung die im folgenden geltend gemacht wiid mliWe lie's der Potenziatz sein Waien diesei und die /ugehöngen Bestunnmiyen damals voll'itlndig so ^le sie ea bei ApoUonma sind -r wiirde Au-tlus Anilysis auch voUständv "eiü und die Mittel zur synthetischen Bestimmung des Orts wöiden ^oihegen Deshalb hdlt

ich Apollomua an Euklid als denjenigen bei dem man da« ^el■mlfst w«6 an der voUatSnligen Bestmimui^ fehlt Dals Euklid etwas junger ist als Aiistaui ist im übrigen Gnnjnd genug dafHr dafs ApoHonms ^h Veitietei des Standpunktes ül ei den ei selbst zunächst •^leh eihebt

Jen PI fei n ntdnif

9*

yGoosle

i;-j^ SiKbciitev 1 tt

dieselbe einer doppelten Fordeiung ^cni^en sie inurs sich vor Apollonins' Zeit teilweise haben lusfuhren lassen, und sie mul's durch Apollonins' Sätze im dritten Buch vervollständigt werden können. Damit Apollonius' Äufserungen fui Mathematiker seiner Zeit verständlich sein konnten muls nbeidies angenommen werden, dafs diese Anwendung lemes diitten Buchs so nahe gelten habe, dafs seine Sätze unmittelbar von denen benutzt werden konnten, die — vielleicht durch Aristäus — die frü- here Bestimmung kannten.

Da der Satz vom einbeschriebenen Viereck In der modernen Geonieti'ie im wesentlichen nur ein anderer Ausdruck für die Er- zeugung der Kegelschnitte durch projektivische Büschel ist, so liegt GS nahe die Hülfsmittel für die Bestimmung des Oxis zu vier Geraden in der letzten Satzgruppe des dritten Buchs [53—56] zu suchen. Die Art, wie die Projektivität der Büschel hier bestimmt wird, ist indessen — wie wn- Gel^enheit nehmen werden im näclisten Abschnitt ausführlicher zu zeigen — niclit wohl gee^et als Übergang zu der al^emeuien Bestimmung des Orts zu vier Ga'aden zu dienen. Aber es giebt eine andere Art, wie sich die zwischen dem Inhalt der angeführten Satz- gruppe mid dem Ort zu vier Geraden existierende Verwandt- schaft benutzen läist, nämlich durch einen Versuch, ob nicht eine etwas veränderte Anwendung derselben Beweisführung, welche sich in der Satzgruppe findet, zur Bestimmung des Orts führen könne.

Betrachten wir nun diese Beweisführung, die wh' am Schlüsse des vorigen Abscbnitls mitgeteilt haben, so ergebt sich sofort, dafs die darin durch eine einfache Anwendung des Potenzsatzes gefundene und darauf weiter umgeformlo Bcla- tion (Fig. 27)

BM. MS

BO''

= constans

die specielle Form ist, welche der Satz vom einbeschriebenen Viereck annimmt, wenn zwei g^enüberh^ende Seiten des- selben in Tangenten übergehen, wodurch die beiden anderen in der Berühmt^sehne zusammenfallen. Mit Ausnahme kon- stanter Faktoren sind nämlich BM und MS die Abstände des

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Der Ort zu di-ei Geiaden bei Apolloniu?.

l3;-{

Kiu'veiipunktes M von den Tangenten BÄ und BC, und HC der Abstand von der Berührungssehne ÄO, oder diese Strecken sind eben die Ahstände, in iestimmten schiefen Richtungen geraessen. Der so gefundene specielle Fall des Satzes vom einheschriebeneii Viereck erhält ein besonderes Interesse dadiu-ch, dafs der geometrische Ort eines Punkte M, der umgekehrt durch die hier gefundene Relation bestimmt wird, derjenige ist, den ApoUonius unter dem Namen Ort zu drei Ge- raden besonders erwähnt. Dadurch gewährt die Satzgruppe auch Aufkläi'ung über die Bestimmung dieses Orts, und dieselbe ist vielleicht gerade am Schlüsse des Buchs als Beispiel für den in der Vorrede erT,vähnten Gebrauch ar^eführt, der sich vom Inhalte des Buchs zm- Vervollständigung der Bestimmungen solcher geometrischen Örter machen iäfst, die früher nur teil- weise bekannt waren.

Wir wollen uns nicht besonders mit dem Ort zu drei Geraden beschäftigen , sondern uns damit begnügen , den- selben als einen Specialfal! des Orts zu vier Geraden zu be- trachten, aber wir wollen versuchen, ob uns nicht auch ein AVink mit Beziehung auf die Bestimmung dieses letzteren g^eben sein sollte. Es zeigt sich dann sofort, dafs die gemachte Anwendui^ des Potenzsatzes sich weiter ausdehnen mid zu einem Beweise für den Satz von einbeschriebenen Vierecken in allen den Fällen machen lafst, wo diese Paralleltrapeze sind.

Wenn AB (Fig.28) eme feste Sehne eines K^elschnittes ist und MN eine Sehne von gegebener Richtur^, welche AB in E schnei- det, so \7ird nach dem Potenzsatze

Mli . EN

-ÄETRB = ^°"^*^^-

Trägt man nun auf der be- weglichen Sehne MS = MN ab, so ist nach den Sätzen über Durchmesser der geometrische Ort für den Punkt S eine Sehne

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134 Sk'lientet Ali^dmitt.

CD, welche den Durchmesser der Sehnen MN in demselben Punkte schneidet wie AB, und deren Endpunkte C und D aut den der MN parallelen Linien AC und BD liegen. Die Ab- stände X, y, s, M des beweglichen Kui"venpunktes M von den Seiten des Trapezes ABDC werden also der Bedingung

— = constans genügen.

Da ABDC ein beliebiges einbeschriebenes Parallel trapex sein kann, so ist der Satz vom einbeschriebenen Viereck nun für ein solches bewiesen,

Soll man umgekehrt den geometrischen Ort für einen Punkt M bestinunen, dessen Abstände x, y, z, u von den Seiten eines Trapezes dieser Bedingung genügen, so kann man durch eine passende Veränderung der gegebenen Konstante die Abstände in denselben Richtungen wie in Fig. 28 rechnen, so dafs man erhält

_ MM . MS _ ^_Ji^' AB. MB AR. ÜB' wo / eine gegebene Konstante ist. Darauf mnl's man versuchen einen Kegelschnitt in Übereinstunmung mit dem bewiesenen Satze zu bestimmen, und zwar mufs man die Bestimmmig so vornehmen, dafs man mittels derselben synthetisch den Beweis dafür durchführen kann, dafs diel Punkte des gefundenen Kegel- schnitts wirklich für den gegebenen Wert von l die gegebene Bedingung erfüllen; denn von vornherein weifs man nicht, dafs der geometrische Ort immer em Kegelschnitt wird.

Bevor wk dies nun genauer durchführen, wollen wir doch versuchen uns darüber zu vergev^issern , dafs wir wh'küch auf der richt^en Spur nach der antiken Bestimmung des Orts zu vier Geraden sind ^).

'\ Nichdpm [th m mcffli liM genauem inschluK an die eigenen Vliiitteii dec Alten die hier und im tolgenden Abschnitt danfestelle Restitution dei antiken Bestimmui^ de-. Ort*, zu vier (reiaden durchgeführt hatte habe ich die^ dur^h eiue Zuaammenstellimg mit der Bestimmun,; die'sea Orta geprüft «eiche «iLh 7ii Anfang der Sectio V (on Neivtoui

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Der Ort au den Seiten eines Trapeze;^, 135

Eist lieben «ii iiu^ daduich dafb wn die Beweise fiu ilit baiie _>4— 50 lu Aiiollouiu-. dnttem Buche zum ÄU'Sgaiigopnnkt jienommen habtn überzeugt, dals dei Gebrauch, den yni

Principia findet wohl beabsichtigt Newton Lerne sclclie Restitution tljei da ei mit seinei gnlndhchen Kenatiuss ivad seinei wohlbekannten Weitachätzung dei Schnften der Alten die Giundlage tOr seine Bestim mung ausdrücklich ÄpoEoniu^j zu-chieibt so i&t es eimgermifsen walu scheinlich dafa er iiellach dieselben Wege eingeschlagen hat die Apollonius hat bahnen wollen

Bei dieser Piufung ei^ab sich dafs Sewton eben dieselben Beweise lih den 'latz lom eiiibeachiiebeneaViereck sowohl wenn dasielbe eni Tiapez ist als wenn es eine behebige Foim bat geführt hat die ini hiei und m lern fönenden \bbchnitt den Alten beilegen Dagegen verfährt Newton etwas andei« bei dem Beweise dafui dais iei Ort zu \iei Geraden immer ein Kegelschnitt ist und )iei dei hieran ge knüpften Bestimmung des Xegelsohnittes Den ewteien eihait ei indem ei -,n,h daiaiif stützt dafs ein Kegelschnitt durch 5Punite Yolliommen beatimmt ist wonach reichhche Mittel zui genaneien Bestmunung des Orts zur Verft^ng stehen Da Äpollonins im vierten Buche selb t bev eist ddl= zwei Kegelschnitte sich höchstens in 4 Punkten schneiden so benutzt Neivton hieibei m Wirkhchkeit keinen Sit? der Apollonius imbekannt war Da indessen besonders das dritte Buch bei dei BestimniuBg des eniahnten geometiischen Orts benutzt weiden soll und man die genaueren Untersuchimgen dieses Buches nicht notig hit wenn min zuerst daion ausgeht dafs die Kuive durch 5 Punkte ^olltonmien bestimmt ist so glaube ich nicht dafs Neivtjns Bestim mimfe mit der dei Alten vollkommen öbeiemstimmt Das Verfahien welche" wu im fo!^enden den Alten zuschieiben ist ein umgekehrte« und stützt sich in groJsem Umfange auf Apollonius drittes Buch Wii nehmen an dal« die Alten den Beweis dafui dafs der Ort em Kegel schnitt wffd an die wnkliche Bestimmung dieses Kegelschnittes ange schlissen haben Die Durchfuhrang desselben zeigt nun alleidmg dals em solchei Kegelschnitt durch "i Punkte bestimmt ist aber Bui indem sie zeigt \Me ei bestimmt wird

Ähnliche Grmde in Veibindung mit mehieien ubei die wir spatei berichten werden hindern uns unseie Restitution der antiken Bestim muBg des Orts /u vier Geladen aut eine Konstruktion einei Ellipse Imth T Punkte aufzubauen die sich bei Pappus iindet Auch mil diesei Konstruktion «timmt dieselbe indessen teils dann üherein dnfs sie auf Ann endimg des Potenzsatzes beruht teils dann daü dei Fall wo zwei von den Geraden — bei Pappus zwei von den Veibmlui^s luuen zwischen den filnl Punkten — parallel sind erst für sich be handelt wird wonach die allgemeine Au%abe hierauf 7uiuek gefuhrt

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IM ■^■eleüe AI 1 'tl

vom PoteiiZ'iatzp peimtht hibpii und teinei \on den dinii geknüpften Besüuimuijgen vom Weite des konstanten Verhilt nisses ma(,hen weiden deraitig i-jt dif-5 iiich Apolloniu'. nnt ihm vertraut gern konnte

Dag^en konnte es bedenkbch ei'^chemen diTb man lut dem eingesthhgeneu V/ege niu zui Bestnnuiiuig des Oits /n vier Geraden |jelaiigt i^enn die^e em Tiapez bilden Hieini liegt eine Auffordeiung zu versuchen ob man muht duich andere Anwendungen dei Sitze m Apollomuis dnttem Bicht, weiter gelangen konnte Deis lafst sich indessen kium durch führen, wenigstens nicht auf eine himeichend einfathe Alt Dagegen ist e^ — \vie wsi nn folgenden Abschnitt sehen y\ei den — nicht schwierig, die Bestimmung, wodurch eine Kurve als Ort zu vier beliebigen Geraden definiert wird, in eine solche umzuwandeln, wodurch sie auf dieselbe Weise auf die Seiten eines Trapezes bezogen wird. Da diese Umwaiidelung durch Mittel vollzogen wird, welche vor der Zeit des Apollonius vollständig bekannt waren, so hat Apollonius in dieser Beziehung nichts zu vervollständigen gehabt. Aber da die Voraussetzung dafüi-, dafs diese Umfor- mur^ vollen Nutzen gewähren soü, darin besteht, dals man die Aufgabe vollständ^ behandeln kann, wenn die Linien ein Trapez bilden, so gelangen wir zu voller Übereinstimmung mit den Äufserungen in Apollonius' Von-ede, wenn sich nui- nach- weisen läfst, dafs die Bestimmung des Orts zu vier Ge- raden, weiche ein Trapez bilden, teilweise mit Hülfe dessen durchgeführt werden kann, was vor Apol- Eonius' Zeit bekannt war, aber erst vollständig durch das, welches sich in Apollonius' drittem Buche findet.

Was das war, das man vor Apollonius' Zeit vermifste, wird deutlich durch die Verbindung zwischen dem Ort zu vier Geraden und dem Theorem vom einbeschriebenen Viereck. In Übereinstimmung mit diesem Satze sollte der gesuchte Ort ein Kegelschnitt sein, der um das aus den vier Geraden gebildete Viereck beschrieben war — sei es nun, dafs dieses ein- Trapez wai- oder nicht — . Das ist auch nach modemer Auffassung immer der Fall. Indem die Griechen dagegen emen einzelnen

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Prüfung des eingeschlagenen Weges. 137

Hyperbelast ^Is irifu vulWxnligeii RegpkchniU Letii litet™ so hat in dem Falle wo dei geometii^che Ort nach un&eier Auffassung tme vollständige Hyperbel sein wmde dei eme oder andere von deien Asten «men solchen selbständigen Ted derselben gebddet diL sit -^Kh — i^enigstens voiiaufig — init dessen Betrachtung begnügt hiben Welchei von den Asten e" dann sein sollte ist von einer genaueien Bestunmur^ abhdi^ig gewesen, die auch dann schon notwendig war wenn dei Oit nicht aus den beiden voUstan ligen Ilegel-schnitten zu^ianimengesetzt sein sollte, die ni-m jetzt ah den ^\eitpn ^ A dei Konstanten entsprechend eihilten wurde Diese genauere Besümuiiuig kann mögUcherweibe dann bestinden hs,bpn dafs dei konstinte Wert des Verhalinibses duith emtn Punkt des gesuchten Orti bestimmt wuide duich den dann auch der Kegelschnitt odei blol's der Hyperbela'^t den man eben i,K den Ort /u Mei Ce raden auffas'ien wollte gehen sollte

Um nun zu bewei-^en dafs em aolchei Hyperbeli^t de) nicht durch alle JLckpunkte dea Viereck-^ geht dei Ort zu den vier Geraden sem kann und um ilso auch den Ort zu beitimmen welcher dem Weite von X dei tu emei solchen Hyperbel t'ühi-t, entspricht, ist es notwendig, dafs man die Verbin- dung des Hyperbelastes mit dem anderen Äste der- selben vollständigen Kurve kennt, und namentlich, dafs man die hierauf bezüglichen Erweiterungen ajier der Sätze und Bestimmungen kennt, welche beim Beweise des Satzes vom einbeschriebenen Viereck und bei der umgekehrten Bestimmung solcher Örter benutzt werden.

Aus der Vorrede zu Apollonius' viertem Buche ') sieht man nmi allerdings, dafs andere vor ihm zusanimer^ehörige Hy- perbeläste betrachtet und Verständnis für deren Bedeutung bei Untersuchungen gehabt haben, welche, wie wir im neunten Abschnitt zeigen werden, der Bestimmung des Orts zu vier Geraden mindestens nahe gestanden haben; aber die voUstän- dige Durchführang der hierher gehörigen Untersuchungen und Beweise ist sicher das Werk des Apollonius. Die Gründe,

■) Vergl. Anhang 1.

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J38 Siebentel' Abselmitt.

welche uns dahin bringen dies zu behaupten, wollen \vir hier, wo wir ausdrüclilich Gebrauch davon machen, zusammen- stellen.

Dafs Apolloiiius über zusammengehörige Hyperbeläste etwas neues und vollständigeres, als bis daliin bekannt war, bringt, wird ausdrückhch in der ersten Vorrede gesagt^). Die Worte derselben über die vollständ^ere und allgemeinere Bearbeitung im ersten Buch beziehen sich wohl zi^Ieich auf die Eigenschaften eines einzelnen Kegelschnitts, aber wenigstens in Betreff der planimetrischen Eigenschaften führt ein Vergleich mit dem, was sieh bei Ärchimedes findet, dahin, die Verallgemeinerung vor- zi^weise auf dem Gebiete der zusammengehörigen Hyperbel- äste zu suchen, vielleicht auch in der bereits in. diesem Buche mitgeteilten ersten Erweiterung des Flächensatzes, welche, in Verbindung mit den ferneren Erweiterungen im dritten Buch, eben dazu benutzt ivird den Potenzsatz und den Satz über die Polaren auf die aus zwei Hyperbelästen zusammengesetzte Kurve auszudehnen. Auf diese vei'schiedenen Erweiterungen, welche als besondere Sätze auftreten, deuten ge^vife die Worte der Voixede über neue und bemerkenswerte Theoreme, welche sich im dritten Buche finden.

Dafs das Studium zusammengehöriger Hyperbeläste etwas neues bei Apollonius war, darauf deutet auch der Umstand, dafs er trotz der Vollständigkeit, mit der die Übereinstimmui^ zwischen der aus solchen zusammengesetzten Kurve und einem einfachen Kegelschnitt nachgewiesen wird, stets fortfährt die- selben als zwei von einander unabhängige Kurven zu behan- deln. Damit fährt er fort trotz der Weitläufigkeit, die dadurch notwendig wnd um jene Enveiterungen , welche immer den Sätzen über die emfachen Kt^elschnitte folgen, alle zu erhal- ten, und die vermieden woiden wäre, wenn man von vorn- herem die Satze über die beiden Hyperbeläste mit denen über einen einfachen Kegelschnitt zusammengezogen und darauf m dei weiteren EntiMcklung auf den so verallgemeinerten Sätzen wpitei gebaut hattp Diese Weitläufigkeit steht in starkem

'] Vei^l. Anhang 1.

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Ei-rit Apollonius behanaelt beide Hyperbeläste vollständig. 139

Gegensätze zu der Geschicklichkeit, mit der er Sätze und Beweise über eine Ellipse, eme Parabel und einen einzelnen Hyperbel- Etst zusammenzufassen versteht. Dies letztere konnte er thmi, weil der gemeinsame Begriff Kegelschnitt und die daran ge- knüpften Untereuchungen und Bearbeitungen ihm überliefert waren. War dagegen, wie wir annehmen, etwas neues in Betrefi' der Eigenschaften der beiden verbundenen Hyperbeiäste beizu- bringen, so ist leicht zu begreifen, dafs dies seine natürliche Stelle in hinzugefi^en Erweiterungen der im voraus bekannten Sätze über einfache Kegelschnitte fand.

Die liier verfochtene Auffassung, die, wie mr sehen wer- den, noch weiter durch die Angaben bestätigt wird, welche die oben citierte Vorrede zum vierten Buch enthält, giebt nun eine Erklärung dafür, weshalb ÄpoUonius den Ort zu vier Ge- raden vollständiger behandeln konnte als seine Voi^är^er. Diese Erklärui^ ist so einfach «nd stimmt so gut zu allen übrigen bekannten Umständen, dafs man sogar umgekehrt durch dieselbe ein neues und wichtiges Argument dafür erhält, dafs die Ausdehnui^ der Sätze über K^elschnitte auf die aus zwei zusammengehörigen Hyperbelästen zusainmengesetzte Kurve wirk- lieh dem Apollonius angehört.

Der angeführte Beweis für den Satz über das in einen Kegelschnitt beschriebene Trapez besafs auch vor Apollomus volle Gültigkeit, wenn das Wort Kegelschnitt in antikem Sinne als eine ElUpse, Parabel oder ein einzelner Hyperbelast genom- men wird. Derselbe war nämlich auf dem Potenzsatze aufgebaut, der, wie wir gesehen haben, zu Archiiiiedes' Zeit vollkommen bekannt war, sofern er nicht auf zwei Hyperbeläste angewandt werden sollte. In dieser begrenzten Ausdehnung gewährt der Potenzsatz auch genügende Mittel um umgekehrt den Ort zu vier Geraden, von denen zwei gegenüberliegende parallel sind, i]i allen den Fällen zu bestimmen, wo dieser Ort wirklieh die hier geforderte Beschaffenheit erhält. Die Vorgänger von Apol- lonius hätten z. B. recht wohl die Bestimmung der Endpunkte des Durchmessers BF, der (F^. 28) die Sehnen ÄC und BI> halbiert, auf die Konstruktion solcher Punkte dieser Linie

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140 Siebenter Absphnilt,

XAirückiÜhren können, für welche das Quadrat ihres Abstandcs von einem bekannten Punkt derselben Linie in einem gege- benen Verhältnis zu dem Rechteck aus den Abstaiaden von den beiden anderen steht, worauf der Kegelschnitt leicht näher zu besümmeii ist. Statt dessen konnten sie auch das folgende Verfahren benutzen, welches vriv sowohl ihnen wie Apol- lonius lieber beilegen mochten, weil dasselbe durch die Er- weiterung des Potenzsatzeb auf zwei zusarmnengehörige Hy- perbeläste, die sich in Apollomus diittem Buche findet, an- wendbar wird, um den Oit 7i\ Mei fi-eraden in allen Fällen jni bestimmen. Vor Apolloniu=! ist dann nur die Behandlung des ersten der nachfolgenden Hauptfalle durchgeführt gewesen.

Wenn die verschiedenen Ausdrücke in ÄpoUoniiis' drittem Buche für das konstante Verhältnis im Potenzsatz auf die Konstruktion des (vollständigen) um ein gegebenes Trapez be- schriebenen K^elschnittes ai:^ewandt wei'den sollen, der für einen gegebenen Wert des Verhältnisses X Ort zu den vier Seiten des Trapezes ist, so kann dies am besten auf eine Weise geschehen, die alle Fälle umfafst, wenn man vorläufig einen Kegelschnitt zu bestimmen sucht, der dem gesuchten ähnlich ist. Doch deniten wir hierbei nicht an Ähnlichkeit der Kurven selbst, welche erst eine vollständige Behandlung in Apoilonius' sechstem Buche erhalten hat, sondern wir wollen diesen Aus- dnick nur der Übersichtlichkeit wegen benutzen um zu be- zeichnen, dafs wir die Gestalt gewisser zum Kegelschnitt gehörigen geradlinigen Figuren suchen. Dafs eine solche Bestimmimg einer Figur durch vorbeigehende Bestimmung ihi"er Gestalt wirklich eine antike Methode ist, dafür haben wir teils ein Beispiel am Schlüsse von Apoilonius' zweitem Buche (vet^l. S. 113) gesehen, teils geht es daraus hervor, dafs Euklid in den Data ausdrücklich Sätze aufstellt, welche aussagen, dafs eine F^r, welche geivissen gegebenen Bedingungen untem-orien ist, der Gestalt nach gegeben ist.

Bei der vorliegenden Aufgabe kennt man nun zur Bestim- mung des Kegelschnittes, welcher dem um das Trapez ABDC beschriebenen (Fig. 28) ähnlich sein soll , den Wert X des Ver-

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Dei Orl zu den SeUeii e

AE.BB

zwei gegebenen Richtungen, sowie die RicMur^ des Durcli- niessers EF, der die Sehnen in der einen der g^ebenen Rich- tungen halbiert. Dies wird in Übereinstinimui^ mit ApoUo- nius' verschiedener Bestimmung der Konstanten des Potenz- satzes auf verschiedene Weise in den folgenden vei-schiedenen Hauptfällen benutzt:

1) Der Kegelschnitt hat (was immer der Fall sein mufs, wenn ein einfacher Kegelschnitt im antiken Sinne wirklich um ABDC beschrieben werden soll) Tangenten in beiden gegebenen Richtungen. Dann kennt man das Verhältnis

HG ^'■ zwischen diesen Tangenten. Wenn man dann in der ähnlichen Hülfsfigur — deren entsprechende Punkte wir durch gestrichelte Buchstaben bezeichnen wollen — E'B.' beliebig wählt, so kennt man: die Lage eines Durchmessei-s, seinen einen Endpmikt E\ die zugehör^e Sehnenrichtung, some einen Punkt G' mit zuge- höriger Tangente. Der Punkt, welcher E' harmonisch zuge- ordnet ist mit Beziehung auf die Durchschnittspimkte des Durch- messers mit der Ordinate von G' und der Tangente in G' wh'd nach dem ersten Buch der andere Endpunkt F' des Durch- messers sein, und der Kegelschnitt ist also bestimmt,

2) Der Kegelschnitt (welches Wort ivir der Einfachheit wegen im modernen Sinne nehmen wollen, so dafs die aus zwei Hyperbeln zusammengesetzte Km-ve mit einbegriffen ist) hrtt m kemei dei beiden gegebenen Richtuu|jen Tan- genten In diesem Falle kennt min di" ^eihiltuis zviischen

) Da Uli aui hoffen d rfen das Wesentliche von iler Beliandluug 5ei Utea zu geben '.o können imi kerne PilLksiuht auf die Möglichkeit nehmen dafs dieselben die Operationen dadurch erschwert haben dafa =ie die=e Bedingung in einer Fiim. ansdrilcltfen dmch welche m gleichei Wei?e RucW''ht auf die 'sehnen A^ und üJ> genummen ivuide el en=fi wie Apollomus in III 54— jb (üe beiden Tangenten B i und -BT (Fi^ J7| n „lei hei «ei-.e beni Uubt^t

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m

Siebenter Abschnitl.

den in den gegebenen Richtungen an die konjugierte Hyperbel des gesuchten ähnlichen Kegelschnittes gezogenen Tangaiten, und kann diese dann auf die hier gezeigte Weise bestimmen.

ä) Der Kegelschnitt hat Tangenten, welche den l>arallelen Seiten AC und BD des Trapezes (Fig. ^9), aber nicht solche, welche der zweiten gegebenenRich- tung (der von AB) parallel sind. In diesem Falle hat Apollo- nius das konstante Verhältnis X als das Verhältnis zwischen den Quadraten der Tai^ente EI und der Hälfte IK der 7.\i AB parallelen Sehne LK bestimmt, welche in / von fler Tan- gente EI halbiei-t wird. Man kennt also

IK LI ^^'■ Wählt man E'I beliebig, so hat man also zur Besthiimuiig des ähnlichen Kegelschnittes einen Dm-chmesser nebst Sehnen-

lichtung, sowie den einen Endpunkt E' und noch zwei KmTen- punkte K' und L'. Nennt man die Ordinalen dieser Punkte, bezogen auf den Durchmesser, j/j und y^, die Abscissen von E' aus a;, und x^, und die vom anderen Endpunkt ¥■ des Durchmessers aus x\ und x\, so hat man

vi y^

yGoosle

woraus — ^ bestimmt ivirä. Der Punkt F' wird also bestimmt x\

durch das VerJjältnis zwischen seinen Abständen von zwei gegebenen Punkten der geraden Linie, auf der er Hegen soll.

4) Der Kegelschnitt hat keine Tangenten, welche den parallelen Seiten des Trapezes parallel sind, dagegen solche, welche der zweiten gegebenen Rich- timg parallel sind. Die Konstruktion liefae sich hier auf dieselbe Bestimmung der konjugierten Hyperbel zurückführen, ^veIehe im vorhergehenden Falle auf die gesuchte angewandt wurde, aber dazu giebt Apollonius' drittes Buch keine Anlei- tung. Man ist deshalb eher auf eine neue unmittelbare An- wendung derselben Bestimmung des konstanten Verhältnisses

Fig. 30.

angewiesen. Nimmt man nun an (Fig. 30), dafs die der AB pai-allele Tangente PO den bekannten Durchmesser zu ÄO imd BD in 0 schneidet, und ist OQ die zu diesem Durch- messer gehörige Ordinate in 0, so ist

. ^ - ,/;-_ 91^ OP ^ ^^- ~ O'P'

Wird eine von diesen letzten Strecken beliebig gewählt, so hat man den Durchmesser 0' T', die Kurvenpunkte P' und Q'

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144 Sieiieiitei- Al^dniiU.

(deren Ordinalen den Durchmesser in 0' und T' treffen) und die Tangente O'P' in dem ersten von diesen. Da diese Tan- gente zugleich den Schnittpunkt 0' des Durchmessers mit dL'i- Ordinate Ton Q' trifft, so wird, wenn V der Mittelpunkt und a' „die Länge" des Durchmessers O'T' ist, während h' die Länge des konjugierten Durchmessers bedeutet, O'U'.U'T' =

\-ä) ("'^^ ™ ersten Buch gezeigt). Hieraus folgt wiederum, dafs T'Q' Tangente in Q' ist. Nach den Sätzen des zweiten Buchs wü'd femer die Verbindungslinie zwischen dem Schnitt- punkt V' der beiden Tangenten und der Mitte X' der Sehne P' Q' ein Durchmesser sein und den Mittelpunkt U' bestim- men. Der ähnliche E^elschnitt wu-d darauf leicht zu bestun- men sein. Im besonderen ergiebt sich das Verhältnis zwischen den konjugierten Durchmessern als

dies ist nämlich einer von den Sätzen über Tangenten im ersten Buch (IHb unseres dritten Abschnittes).

Wir haben also in allen 4 Fällen gesehen, wie man eint; Figur bestimmen kann, die der gesuditen ähnlich ist. Man kann sich dami den Übergai^ zu der gesuchten Figur auf viele Arten vollzogen denken, z. E. dadurch, dafs die ähnliche Figur sofort die Richtung des zur gegebenen Sehne AB gehörigen Durchmessers ergiebt, ^vodurch der Mittelpunkt U bestimmt wh'd. Das Verhältnis zwischen UA und dem ihi' parallelen Halb- messer I/'A' der ähnlichen Figur wird dann Mittel zum Über- gange darbieten.

Die hierzu gehörende Bestimraui^ der Lär^e des Halb- messers U'A' , welche die Griechen unzweifelhaft ausführen konnten^), verlangt mdessen eine gewisse Arbeit, und es liefse sich erwarten, dafs Apollonius, wenn er diesen Weg eingeschlagen hätte, auch im dritten Buche die hierzu dienenden Hülfssätze aufgeführt haben würde. Das hat er nicht, aber wie

') Vei-gl. den S. 106 angefiihrten Beiveis für Satz 1 de?

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145

ijereits bemerkt enthält das genannte Buch [in 24—29] einige andere Sätze, die an und füi' sich nicht so interessant und voll- ständig sind, dal's es wahrscheinlich wäre, dafs sie ihrer selbst w^en entwickelt worden seien, und von denen man also an- nehmen kann, dafs sie eben als Hülfsmitte! für die noch feh- lende Bestimniur^ entwickelt sind. Dafs sie in der That ein sogar in hohem Grade natürliches Hülfsmittel hierfür enthalten, wird sich am besten zeigen, wenn wir aimehmen, dafs die ähnlichen Figuren nur benutzt sind um das Verhält- nis zwischen den Längen des den parallelen Sehnen parallelen Durchmessers b und ihres konjugierten Durchmessers « zu finden, und wenn wir dann durch analytLche Gtometiie die noch fehlende Bestimmung suchen. Auf diesem Wege wird iiai nairhch direkt dazu geführt, ■Vpollomub Sit/ 27 über die Ellipse inzuwenden, und dann wild der Zusammenhang mit den übrigen Sätzen über die Hy- peib 1 — wie ispater gezeigt «eiden soll — verständlich.

Die Aufg-ibe welche gelost weiden soll ist also tolgende Durch zwei Punkte ^ «

i und Ji einen K.egelschnitt zu legen dessen einer Duichme ser iiif emei ge^e benen Geiaien liegen soll i^eim z oleii-h die zu diesem Dmchmesstr ge hörige Sehnennchtung sowie da "\ ei hdltnis /wis hen semei Lange und dei Lange de konjigierten Dui ebnes ei ' gegeben smd

Weim wir den Kegelschnitt den nn vorläufig eine Eüipse sein lassen ■\\ollpn luf diese heilen Duithniesser beziehen, und he Kooid mten \on B und 1 i it j t/ und x^ , i/^ bezeiclmen, ) tihalten wii

Flg. 31.

■ + 74tt-1,

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Sieiientci' Absphnitt.

worin ^j, _(/2, -r- und x^^Xi gegeben sind, während die Lage

des Mittelpunkts und die absoluten Werte von a und b gesucht werden.

Die Subtraktion der Gleichungen ergiebt

(yi — ji) (•/, + •/.) *' ■

zieh! iiicin nun parallel dem Durchmesser die Linie B(K welche die Ordinate von Ä in 0, und die Ellipse zum zweiten Male in Y schneidet, so kann man der gefundenen Gleichung die Form

OB.Or_ _ »•

OA.OC *•

(-2)

m

geben; dies ist nur der Potenzsatz, angewandt auf Pai'allclcn zu konjugierten Durchmessern, Diese Gleichung giebt den Punkt Y, worauf man — wenn man wiü — leicht den Mittel- punkt finden kann, also x^ und x^, und dadurch die absoluten Werte von a und b. Man kann indessen die gegebenen Glei- chungen auf eine Weise benutzen, welche direkter zu dieser letzten Bestimmimg führt. Mullipli eiert maii dieselben iiiii

und addiert, so folgt

{^)

und das ist nach der Figur

OB"-

OY^-{-'j^{OA'' + OC^) --= (

(ö)

Dadurch ist der eine Dui'chmesser bestimmt, und den anderen bestmmit man a«f dieselbe Weise. Die letzte Gleichui'^ drückt eben Satz 27 des 3ten Buchs aus, dessen Bestüinnung also vollkommen vei-ständlich wird. Dafs derselbe gerade da vorkommt, wo wir Verwendmig für ihn haben, bestätigt femer die Bichtigkeit der Erklärung, die wir im ganzen von der An-

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SEitz 9,1 in ApoUonius' B'^«' Tiiicli, 147

Wendung des ^Len Buchs zur Bestimmung des Orts zu \"ier Geraden und zu ähnlichen Bestimmungen geben.

Die Ableitung von Satz 27 mittels der Sätze in Eulilids zweitem Buche steht der analytisch-geometrischen Ableitung zu nahe um einer genaueren Auseinandersetzung zu bedürfen, ApoUonius' Beweis ist eine synthetische Umformung dieser Ab- leitung.

Ganz dasselbe \tifahien, i\elche5 hier auf die Ellipse an- gewandt wurde lipf^e sich auih auf die Hyperbel anwenden. Dafs Apoüomus daran nicht gedacht hat, geht daraus heiTor, dafs er den dem Satz 27 entspiechenden Satz für die Hj"perbel nicht angeführt hat Diesei Umstand lafst sich indessen voll- kommen erklären, wenn ApoUonius für die Hyperbe! eine fmdere, bequemere oder ebenso bequeme Konstruktion der Lärmen der Durchmesser gekannt hat. Da man erwarten darf, dafs eine solche sieh aul das stützen wird, was die Hyperbel vor der Ellipse voraus hat, näraUch die Asymptoten, so braucht man nicht lange danach zu suchen. Der Mittelpunkt der Kurve kann zuerst bestimmt worden sein, indem man, wie wir es für die Ellipse angenommen haben, den zweiten Schnittpunkt F einer durch B zum Durchmesser gezogenen Parallelen — wenn wir dieselben Bezeiclmimgen wie in F^. 3 1 gebrauchen — kon- struiert hat, oder indem man, wie früher angedeutet, die ähn- liche Figur bereits hierfür benutzt hat. Die Asymptoten sind

Schneiden diese die Sehne ÄC in den Punkten S und T, so wird darauf nach einisten der ersten und wichtigsten Sätze über Asymptoten, welche im zweiten Buch entwickelt sind, der zu AC parallele Halbmesser b als mittlere Proportionale zwlijchen AS und AT bestimmt sein, oder — wodurch man fUe Konstruktion der einen Asymptote spart — zwischen A H and SC.

Wenn die gesuchte Kurve eine Parabel wird, so niufs sich dies schon bei der Bestimmung der ähnhehen Figur — die in diesem Falle auf die erste von den vier Arten vorgenommen werden kann — dadurch zeigen, dafs in dieser Figur der eine

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148 Siel»entei- Absolinitt.

SdiiiitLpQiikt £' des Durchmessers die MiLte des zwischen ehicr Tangente und der zi:^ehörigen Ordinate abgeschnittenen Stücks wird. Die Bestimmung der gesuchten Kurve selbst geht in diesem Falle so leicht aus der Gleichung der Parahel hervor, dafs für Apoilonius kein Grund für einen hierher gehörigen Hülfssatz gewesen sein kann, um so weniger, als die Bestim- mung in diesem FaUe — nach unserer Annahme — vor seiner Zeit bekannt gewesen ist,

Wie einfach und natürlich die dem Apoilonius von uns zugeschriebene Bestimmung des Orts zu vier Geraden ist, von denen zwei gegenüberliegende parallel sind, wird vielleicht etwas verdeckt worden sein durch alles das, was wir haben anfühi-en müssen um zu begründen, dafs dieselbe wirklich nfdie mit deq'enigen übereinstimmt, welche er bei der Abfassung des dritten Buches vor Augen gehabt hat. Wir wollen dieselbe deshalb kurz rekapitulieren:

Durch die Wahl der konstanten Richtungen läfst sich die Eigenschaft, welche den Ort definiert, folgendermafsen ausdrü- cken (Fig. 28);

MR. MS MB. BN

" AB. BB AB. MB

Durch die in Apoilonius' Stern Buche gegebenen Fonnen des Potenzsatzes läfst sich dann das Verhältnis -^ zwischen

0

dem Durchmesser, der die parallelen Sehnen halbiert, und seinem konjugierten Durchmesser bestimmen. Die Bestimnmng nimmt eine der vier Formen an, welche wir beschrieben haben. Der Mittelpunkt der Kurve kann entweder schon in Verbin- dung mit dem Verhältnisse -j- durch die ähnliche Figm' be- stimmt sein, oder er kaim hinterher indirekt durch Konstruk- tion des Punktes Y (Fig. 31) bestinmit werden, in dem eine Pa- rallele zu dem unmittelbai' gegebenen Durchmesser durch eine der Ecken des Trapezes die Kurve zum zweiten Mtde schneidet; diese letzte Bestumnung- mrd durch Gleichung (3) voigenommen, welche unter den Potenzsatz gehört. Die wirkliche Länge des Durchmessers erhält man dann für die Ellipse aus dem in

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Rekapitulation; Satz 24- ^J in Apollonius" 3'™ Buch. 149

(ileichung (6) ausgedmckten Satz 27, und für die Hyperbel auf die soeben beschriebene einfachere Weise.

Dadvirch dafs ich so sehr ins Einzelne gegangen bin, wie es hier geschehen ist, habe ich mich wahrscheinlich der Gefahi' ausgesetzt, dafs meine Ai^aben auch in Einzelheiten fehlgehen können. Eine Hauptprobe dafür, ob meine Bestimmung des geometrischen Oils im, ganzen mit der der Alten übereinstimmen könne, mufste sich indessen durch den Versuch ergeben, ob dieselbe sich im einzehien durch Mittel durchführen liefs, die den Alten zu Gebote standen. Diese Probe ist besonders gut ausgefallen, da manche Einzelheiten sich sogar munittelbar gerade an Apollonius' drittes Buch, aus dem die Hauptzüge entnommen waren, anschliefsen liefsen.

Bei der Art, wie das hier geschehen ist, habe ich doch nur 6inen Satz der Gmppe [24 — 29] benutzt, die, wie ich an- genommen habe, mir zu solchen Bestimmungen ivie der des Orts zu vier Geraden dienen sollte. Ich habe den Satz 27 angewandt, der von der Ellipse handelte. Die übrigen, welche ^ich auf Hj'perbeln beziehen, namentlich — wie wir bald sehen werden — auf die Verbindung zwischen konji^erten Hyper- beln, können vielleicht hin und wieder Anwendung bei der synthetischen Dai'stellung und Begründung einiger von eben den Operationen gefunden haben , durch welche wir die Auf- gabe gelöst haben. Wenn man in der Benutzung der konju- gierten Hyperbel, die wir nur im Sten Falle benutzten, aher auch im itenFall benutzen konnten, etwas weiter gehen wollte als wir, so konnten namentlich die Sätze 24—26 sich nütz- lich erweisen, um die aus der Konstruktion hervorgehenden Eigenschaften der konjugierten Hyperbel auf die'gesuchte Kurve selbst zu übertragen. Im übrigen ist es, da Apollonius in der Vorrede die Anwendung zur Bestimmung körperlicher Örtei' im allgemeinen envähnt, nicht einmal wahrscheinlich, dafs alle diese Sätze zur Anwendung auf den besonders hervorgehobenen Ort zu vier Geraden bestimmt gewesen sein sollten.

Wie dem aber auch sein möge, so wird der Gebrauch, den ich von Satz 37 gemacht habe, die Art der Anwen- dungen zeigen, die sich auch von den tibr^en Sätzen der

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150 Achtel' Al)3t:linil.t.

Gmppe, deren Inhalt ivir nun in Kürze mitteilen wollen, niaeheii läfst.

Die Sätze 24 — 26 drücken aus, dafs, wenn man durch einen beliebigen Punkt P Linien zieht, die einem Paar koHJu- gierier Durchmesser von der Länge « und b von zwei konju- gierten Hyperbehi parallel sind, und diese die Kurven bezie- hungsweise in M und N und in Q und fi schneiden, dann folgende Relation stattfindet:

MP.NP-{-'^ .QF.BP = ^«^

24 sagt nämlich au-,, dafb diesei Satz luhüg i=X \\Piin P auf der konvexen Seite beidei Km^en li^t und 25 und 26 drucken die Sätze aus, welche anderen Lagen entspieihen und welchi für uns in derselben Gleichung enibegiiffen imd wenn wir dit Strecken mit Vorzeicheii nehmen 2& =!agt au^ dif^ fui di selbe Bedeutung dei Bezeichnungen sich MP^ -I- NP^ _ a^ QP^ + BP' b^ einlebt, und 29, dal's, weim die erste der beiden geraden Linien die gemeinschaftlichen Asymptoten in S und T sclmeidcL, sicli ergiebt, dafe

QP''-\rEP' l>^ '

Achter Abschnitt.

Der Ort zu vier Geraden (Fortsetzung); Zusammetiliarg mit EiiWids Porismen,

Da die Sätze in ApoUonius' 3tem Buche uns als nicht recht Eiuwendbar auf die direkte Bestimmung des allgemeinsten Orts zu vier Geraden erschienen, so haben wir uns in dem vorhei- geheiiden Abschnitt damit b^ni^t dieselben auf den Fall anzu- wenden, wo die vier Geraden ein Trapez büden. Eme solche

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Übei^ang zu elftem beliebigen Viereck. 151

Erklärung von Apollonius' Vervollständigung der vor seiner Zeil bekannten Lösung dieser Ausgabe ist doch nur haltbar unter der Voraussetzung, dafs wir annehmen dürfen, dafs damals ein — vielleicht aus Aristäus' Büchern über körperliehe Örter — vollkommen bekannter Übergang von der allgemeinen Aufgabe zu der existierte, wo die vier Geraden ein Trapez bilden. Da man in ApoUonius' drittem Buche keine Hülfssätze findet, die sich bei diesem Übergange gut benutzen lassen, so mufs man zugleich annehmen, dafs derselbe von Apollonius' Vervollständigung unberühi't geblie- ben ist.

Wenn wir nun auch nicht mehi' ganz direkte Mittel haben imi solchen Wt^en nachzuspüren, wie sie die Alten wirklich bei diesem Übergange g^angen sind, so wollen wir hier doch auch nicht ganz im Fm=!tern tappen. Wir können nämlich Winke benutzen, die in der Behandlung Eihnlicher Aufgaben, welche uns bei den Alten aufbewahrt sind, und in den Berichten über venvandte Untersuchungen, welche wir bei den späteren Schrift- stellern des Altertums finden, enthalten sind.

Wir wollen damit beginnen auf die beiden Arten hinzu- weisen, v/ie die Parabel als Ort zu vier Geraden in Arclii- niedes' Buch über die Quadratur der Parabel auftiitt, so wie wir es am Schlüsse des zweiten Abschnittes nachgelesen haben (S 61) Von den Vierecken auf welche die Paiabel hieibei bezogen iviid ist dab ezne aus dem anderen dadmch ent fanden difs zwei anemandei stofsende Seiten sich um ihie auf dei PEuabel hegenden Schmttpunkte mit den beiden anderen gedieht haben Es hegt dann nahe zu \ei&uchen ob dieselben Mittel «eiche benut7t bind um den Ubeigmg m diesem sehi speciellen Fall 7U beweikstelhgen wo der Punkt um den die eine Seite liich diehen '•ollte unendlich lein wai ah nicht auch benutzen la sen mn im allgemeinen die hier angegebene Innformmig emei gegebenen Bestimmmig eine Oit"^ zu viei Ueiaden \oi zunehmen.

Man wird hierdurch auf ein Verfahren hingewiesen, das sich, wenn man dasselbe von einem modernen Gesichtspunkt betrachtet, dadurch charakterisieren läfst, dafs die projektivi-

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152 Achter Absclinitt.

sehen Büschel, welche einen Kegelschnitt erzeugen, als soiclie bestimmt werden, welche zwei gerade Linien in proportionale Teile teilen. Um klar zu machen, dafs die Griechen ein solches Verfahren benutzt haben können, werden wir dasselbe indessen anabhängig von der berührten modernen Betrachtungswebe darstellen. Wenn dasselbe dadurch auch einen specielleren Charakter annimmt, so wird es doch auch ^ziemUch verschiedene Formen haben annehmen können, deren Abweichungen von einander übrigens nicht sehr wesentlich sind. Da wir nicht wissen, welche von diesen die Griechen benutzt oder vorgezogen haben, so können wü' uns das einzige von Euklids Poris- men zum Vorbild nehmen, welches uns in seiner ursprünglichen Gestalt aufbewahrt ist '). Hinterher werden wir ze^en , dals es kaum ganz zufällig ist, dafs das erwähnte verloren gegangene Werk gerade das darbietet, was hier benutzt werden soll.

Das überlieferte Poiisma sagt aus, dafs wenn man von zwei gegebenen Punkten gerade Linien zieht, welelie sich auf einer der Lage nach gegebenen Geraden schneiden, und die eine auf einer der Lage nach gegebenen Geraden ein gewisses Stück von einem g^ebenen Punkte an abschneidet, die andere auf einer anderen Geraden ein Stück abschneiden mufs, welches [zu dem ersten] in einem gegebenen Verhältnis steht.

Derselbe Satz ist, wie wir sehen werden, auch richtig, wenn die erste g^ebene Gerade mit einem Ort zu vier Geraden vertauscht wird, und wenn die beiden festen Punkte beUebige Punkte von diesem sind. Um indessen zuerst nur die Umfor- mung dieses Orts zu bewerkstellen, welche ivir hier vor Augen haben , wollen wir (Fig. 32) als die beiden festen Punkte die gegenüberliegenden Ecken A und G des Vierecks ABCD. auf welches der Ort bezogen wird, annehmen, und wollen die Ge- raden, auf denen die Stücke abgeschnitten werden, parallel zu den von diesen Ecken ausgehenden Seiten AB und CB ziehen. Es seien dies die durch C und A gezogenen Geraden OK und AE. AVir wollen annehmen, dafs AD und die von A bis an einen Kurvenpunkt M gezogene Gerade die CK in I>'

') Pappus, Ausgabe von Hultsch, S. 6515.

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einem beliebigen Viereck. 153

und M' schneiden, während CD und CM die AE in D" und J/" sehneiden.

Rechnen wir nun bei der Bestimmung des geometrischen Orls die Abstände des Punktes ^f von J B und CD parallel

der BC und seine Abstände von BC und AD parallel der BA, so wird das Verhältnis zwischen den Abständen von CD und

ßC gleich — TTE!-, und das Verhältnis zwischen den Abständen

AE von A£ und i)^ gleich „, -., . Dafs das Verhältnis zwischen

den Rechtecken aus den Abständen von den g^enüberli^enden Seiten von ABCD gleich X wird, läfst sich also ausdrücken durch

D-M' CE^

D-M-' '-- AE ' wo ;i eine neue von der Lage des Punktes M auf der Kurve unabhängige Konstante ist.

Ist, wie es nach unserer Annahme der Fall war, die Konstante X durch emen Punkt F des geometrischen Orts be- stimmt, so erhält man unmittelbar anstatt (1) D-M'- _ D-F" _ F-M" D'M' ~ D-F- ^ F'M' ' ^"'

worin F' und F' die Schnittpunkte von AF unrl C'^' mit CE imd AE bedeuten.

i.-TT,--/'. (1)

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'154 Achter Al)^chnitt,

Dal's auch das letzte Verhältnis in (2), welches aus den beiden anderen abgeleitet ist, konstant bleibt, wenn M sich auf dem betrachteten Ort bewegt; zeigt, dafs dieser auch Ort zu den vier Seiten des einbeschriebenen Vierecks ABCF ist.

Da wir hierbei nur die Definition des Orts zu vier Geraden benutzt und sonst keinerlei Rücksicht auf de^en Beschaffenheit genommen haben — abgesehen davon, dafs wir die Vierecke eüibeschrieben genannt haben — so ist bei dieser Umformung kein Bedarf für ii-gendwelche Äusdehnui^ von einem einfachen Kegelschnitt (in antikem Sinne) auf zwei zusammengehörige Hyperbeläste gewesen.

Um den Satz von dem in einen Kegelschnitt beschriebenen Viereck von einem Trapez auf ein beHebiges Viereck ausdehnen zu kömien, und um umgekehrt die Bestimmung eines beliebigen Orts zu vier Geraden auf ein solches zurückzuführen , in dem zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind, braucht man nur den Fall beti'acMet zu haben, wo eine von den Linien AJ) oder AF mit AE zusammenfällt.

Haben die Alten nun wirklich, wie wir annehmen, diese Umfomiui^ benutzt, so ist kein grofser Sprang nötig gewesen um auch fönende Erweiterung des citierten Eukhdischen Po- rismas auf Kegelschnitte zu finden:

Weim man von zwei festen Punkten eines Kegelschnittes gerade Linien an einen (beweglichen) Punkt desselben zieht, so werden diese auf zwei Geraden, von denen die eine willkürlich gewählt werden kann, proportionale Stücke abschneiden.

Die beiden Geraden brauchen nämlich, wenn A und C die Punkte sind' nur parallel BA xmA'iBC zu sein. Nun lassen sich ebenso gut wie D auch A, B und C mit neuen Punkten der Kurve vertauschen. Folglich können die g^ebenen Punkte A und G beliebige Punkte der Kurve werden, und AE kann eine beliebige Richtung erhalten.

Es sprechen in der That Gründe dafür, dafs die Alten dieses Porisma gekannt haben oder das daran geknüpfte Theo- rem, welches sich dadurch vom Porisma unterscheiden würde, dals es ausdrücklich die Bestimmui^ der Linien ausspricht, auf denen die Stücke abgeschnitten werden.

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Uliei-einstimmiiug mit einem Eukiidischeii Porisma, J55

Zu dieser Annahme wird man zunächst dadurch gefüin-i, dafs man erwarten darf, dafs die Alten, indem sie sich mit dem citiei-ten elementai'en Porisma bei Euklid beschäftigten, sich auch gefragt haben, ob umgekehrt der geometrische Oii füi' die Durchschnittspunkte zwischen geraden Linien, welche, durch feste Punkte gezogen, proportionale Stücke auf festen Geraden abschneiden, immer eine gerade Linie ist.

Die Antwort mufste verneinend ausfallen; aber die Griechen haben, da sie den Oii zu vier Geraden kannten, nicht unier- lassen können zu bemerken, dafs hier ein solcher vorlag. Da- durch ist die Erweiterung des Porismas zu einem Ort zu vier Geraden gegeben, und damit der bereits dargestellte einfache Weg zur Umformung dieses Orts, der ein notwendiges Glied in der vollständ^en Bestimmung desselben war.

Doch glaube ich eher, dafs die Verbindung umgekehrt gewesen ist. Man hat berni Studium des Orts zu vier Geraden oder bei Untersuchungen über Kegelschnitte die Umformmig des Vierecks auf dem angegebenen Wege gefunden, und man hat dann die Beobachtung gemacht, dafs die in dem so ent- stehenden Porisma gegebene Bestimm™^ der Punkte eines Kegelschnittes sich zugleich auf die Punkte einer Geraden an- wenden liefs. Diese Auffassmig wird bestätigt, wenn wir untersuchen, auf welchen anderen Wegen als den hier be- schriebenen es überhaupt möglich gewesen sein kann die Um- formung vorzunehmen, welche ims beschäftigt.

Die Bestimmung eines Punktes M als auf dem Ort zu den Seiten des Vierecks ABCß belegen, der durch einen Punkt F gehen soll, ist an sich ein Ausdruck für die Gleichheit dessen, was man jetzt anharmonische Verhältnisse nennt:

Ä{BDFM) = C{BDFM). (3)

Dafs diese Gleichung ein einfacher und ziemlich unmitiel- bai-er Ausdruck hierfür ist, sieht man daraus, dafs umgekehrt, der Satz vom embeschriebenen Viereck sich ohne weiteres aus derselben herauslesen läfst, wenn man auf die gewöhnliche Weise die anharmonischen Verhältnisse durch die sinii^ der Winkel ausdrückt, und diese wieder mit Verhältnissen zwischen Sti'ecken vertauscht.

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|i)|> ArIiI.ci" Abschnitt.

Der Übergang vom einem Viereck zn einem arideren niuls dann unter der einen oder anderen Form zusaramengefaUen sein mit einer Umformung der aufgestellten Gleichheit anhar- monischer Verhältnisse in die Gleichheit der unharmonischen Verhältnisse

A{BFJ}M) = C(BFJ)JI) (4)

zwischen denselben Linien in anderer Reihenfolge genommen. Diese Umwandelimg mufs vorgenommen sein, indem man zuei-st der Gleichheit einen vom Satz vom eintaeschriebenen Viereck verschiedenen Ausdruck gab, welcher die ümwandelung un- mittelbarer gestattete.

Am einfachsten wird dies ebenso wie in dem, von ims aufgestellten Beweise dadurch erreicht, dafs man die Geraden der beiden Büschel von solchen festen Geraden durchschneiden lärst, welche von denselben in proportionale Teile geteilt werden. Da man indessen nicht immer zuerst auf das verfällt, was am einfachsten ist, so können die Alten möglicherwefee auch den Durchschnitt mit anderen Hülfslinien benutzt haben, wonach die Gleichheit der anharmonischen Verhältnisse durch die Pro- portion zwischen Rechtecken:

B'F'.D-M- _ B"F-'.D"M-

B-M-.D-F- ~~ B"M-.D"F'' ''''

oder durch eine Proportion ausgedrückt werden würde, welche im modernen Sinne in dieser einbegriffen sein würde und dadurch einfacher geworden wäre, dafs einer oder zwei Punkte sich bis ins Unendliche entfernt hätten. In dem vorher ge- führten Beweise war dies der Fall mit B' und B". Auf die in ihrer allgemeinen Gestalt aus vier Rechtecken gebildete Pi'o- portion kann man sehr leicht dadurch getroffen sein, dafs man z. B. die beiden Hülfslinien mit FM hat zusammenfallen lassen, wodurch F' und F" nnt F, M' und M" mit M zusammen- fallen. Die dadurch erhaltene Proportion:

B'-M.D'M _ B"F.D'F

B'M.D"M ' B'F.D-F'

welche das sogenannte Theorem von Desargues ausdrückt,

ist nämlich geradezu durch den Satz vom einbeschriebenen

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Pi'iifung' i( II derer Hiiiftniitte!.

157

Viereck ausgedrückt, weiui man die Abstände von den Seiten in der Richtung FM rechnet, und wir werden im nächsten Abschnitt weiter begi'ünden. dafs die Alteii diese Unifonnung mrklich gekannt haben.

Wenn nun die Beziehung auf das gegebene Viereck auf irgend eine Weise, d. h. durcii irgend eine Wahl der Hülfs- linien, auf die Form (5) gebracht war, so hat diese Propor- tion sich folgendermafsen weiter imiformen lassen;

B'F-.B'M'—B-M-.D'F- B-F".D"M" - B" M" . D" F'-

B" M" . P' F''"

B'D'.F'M' 'B-M-.FD-

•'M".F"D"

(*')

dies ist ein Ausdruck für (4), mid es mufs sich nachweisen lassen, dafs derselbe die Beziehung auf das Viereck ABCF in ähnlicher Weise ausdrückt, wie die Proportion (5) die Beziehung auf ABCD. Die Zusammenziehung der Zähler mag allerdings nach dem verschiedenen Vorzeichen in verschiedene Fälle zer- legt sein, aber dieselbe ist nicht so schwierig^) wie viele von denen, welche, die Alten, wie man bei Pappus sehen kann, haben ausführen können, ja von denen man, wenn Pappiis überhaupt Veranlassung gehabt hat dieselben als Hülfssätze für

') Die da))ei angewandte Relation AC.BB = AB.CD-^AD.IlC ist in der geometrisclien Algebi-a durcii die neh anstehende Figur dargestellt, worin A, B' , C. D' dieselben Ab- stände haben wie A, B, G, D, und deren Anwendung man leicht ver- stehen wird, wenn wir die Relation folgendermafsen schreiben: AG .B- D- = AC .B-C + AC .0^V^ = AC.B'C- ^CD.AO = AD.B'G- + GD.AB'.

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n

und ivenn man, woldgemerkt. dieser Anleitung i Flächen in der Fignu selbst folgt.

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1,'j8 Achter Absrlmitt.

das Versländiiis dei alteren Schiütstellpi lutzubteilen venmiten mufs, dafs die Alten es -lOgai fui unnötig fehaltt*n haben, sie zu beweisen

Ich glaube kaum dals es deulbii i^t daK die Alten, um den Übei^ai^ \on d^i Beziehung eines Oit& auf ein Viereck zu dessen Beziehung laf em indeie', \ieieck vorzunehmen, sich anderer Mittel haben bedienen können hIs derjenigen, welche (im modernen &inne) in den hiei angetuhiten einbe- griffen sind, welche also kemenfalis giof^eie Schwierigkeiten haben darbieten können

Bei der Möglichkeit aut niannigfalt^e und hes^ondere Arten Hülfslinien zu wählen kann die'^ei Beweis inde sen eine Menge verschiedener Formen angenommen haben Ei bleibt also zu untersuchen, ob min sich an einzelne von diesen Formen ge- heilten oder ob man auch andere gekannt und angewandt hat, wenn auch nicht gerade bei der Be&tmimui^ ^eb Oits zu vier Geraden, so doch mti eine giof-iere Menge lon Darstellungen der Kegelschnitte und diduich Mittel zu veischiedenen Unter- suchungen zu eihillen n mientlich um zu beweisen dafs vor- gelegte geometrische Orter Kegelschnitte &ind.

Diese Frage ist, anders ausgedrückt, die, ob die Griechen andere Darstellungen von der Erzeugung eines Kegel- schnittes durch projektivische Büschel kannten und anwendeten, als diejenigen sind, welche man im Satze vom einbeschriebenen Viereck hat. Sie mufs also mit einem Hin- weise auf die Erzeugui'^ von dieser Art beantwortet werden, auf die wir bereits am Schlüsse von Apollonius' drittem Buche [53 — 56] gestofsen sind. Die Relation, durch welche in dieser die Projektivität der Büschel ausgedrückt wird, würde in (5) einbegriffen sein, wenn man den Punkt B mit A und D mit C hätte zusammenfallen lassen, sowie die Richtung der festen Geraden so gewählt hätte, dafs B' und D" ins Unendliche forti'ückten, d. h. parallel den Tangenten in Ä und C.

Da nun der hier erwähnte Satz sieh ausdrückhch bei Apol- lonius findet, so könnte es scheinen, als ob einige Veranlassung gegeben sei, sich denselben der Bestimmung des Orts zu vier Geraden zu Grunde gelegt zu denken. Derselbe gieht in der

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Fi-üEung andever Hülfsmittel. 159

That — wie wir schon im vorigen Abschnitt bemerkt lialien — unmittelbar den Oit zu diel ßeixden Wenn ich nur wenig geneigt bin den'-elben luch bei dei Restitution de? Orts zu vier Geraden zu benutzen %o li^t da'5 daian weil ^iif Grund der besonderen Form des hierzu gehörigen Vierecks zwei Über- gänge nötig sem wuidei um zu einen beliel"igen Viereck zu gelangen, und wed man \ienn man imgekehit bei der Be- stimmui^ eines gegeVenen Oit von emem bebebigen Viereck ausgehen würde Bestimnungen von Tmgenten vornehmen mufste, um denselben int den m lern eiWcdinten Satze be- stimmten Ort zn irei Ger^ien zuiuckziifubien Der, welcher die hiermit \eibundenen bcbwierigkeiten ubeiiMudeii konnte, würde nicht unteihssen haben zu bemeifcen daft man das Ziel rascher erreichen 1 onnte wenn man — wae wir es gethan haben — das \on Ai ollonm^. m dei emdbnten Satzgruppe be- nutzte Verfahien luf ein embescbnebeneis Tiijez anwendete, worauf nur eine weitere limfoimung les Vieiecks notwen- thg ist.

Doch kann es nnmei noch mdeihcb erscheinen, dal's Apoilonius , wenn ei den Ort z ^ lei Geraden im grofsen und ganzen auf die Weise bestimmt hat, welche wir als die nächstli^ende bezeichnet haben, nicht lieber in seinem dritten Buch die hierzu dienende Erweiterung des aufbewahrten Po- rismas von Eukhd (umgewandelt in ein Theorem) aufgeführt hat als die in den Sätzen 53 — 56 enthaltene Erzei^ng von Kegelschnitten. Doch lassen sich hierfür vei-scbiedene Gründe denken. Ich bin am meisten geneigt den Grund darin zu suchen, dafs er nur die Erweiterung einer einzelnen der im voraus bekannten Ei'zei^ui'^en von Kegelschnitten durch projek- tivische Büschel auf den aus zwei Hyperbelästen zusammen- gesetzten K^elschrütt hat zeigen wollen, und dann die gewäblt hat, bei der diese Erweiterung am leichtesten vorzunehmen war. Da nämlich bei der in der Sat^ruppe 53—56 behandelten Erzeu^ng nur zwei feste und ein beweghcher Punkt vor- kommen, so bedarf man hier zur Erweiterung des wahrschein- lich im voraus bekannten Satzes über einen Kegelschnitt [54] nur zweier Sätze [55 und 56]. In dem oben über Kegel-

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160 Athlei' A!)-(chnitt.

schnitte ausgesprochenen Porisma (nmgewandelt in ein Theorom) kommen dag^en — abgesehen von dem zur Bestimmung von Eonstanten dienenden Punkte F — im ganzen 5 Punkte des Kegelschnittes {Ä, B, C, D, M) vor, wodurch die Erweiterung auf die beiden Hyperbeläste') bedeutend weitläufiger wird.

Wenn ich soeben von ,den im voraus bekannten Ei'zeu- gLii^en von Kegelschnitten durch projeküvische Büschel" ge- sprochen habe, so babe ich dabei bereits vorausgesetzt, einmal, dafs es mehrere derselben gab, und zweitens, dafs man auch, ohne dieselben wie wir unter den B^riff Projektivität zusam- menfassen zu können, eine klare Vorstellung von ihrem gegen- seit^en Zusaiumenhange hatte. Die Berechtigung zu diesen Voraussetzungen entnehme ich demselben Werke, weiches mir den Weg zur Umformung des einbeschriebenen Vierecks zeigte, den ich zuerst als den annehmbarsten hingestellt habe, nämlich aus Euklids Porismen.

Diese Schrift ist allerdings verloren, und Pappus' Än- gal)t,n^) über ihren bihilt sind lange Zeit ixtselhaft gewesen; aber jetzt smd diese Ratsei dei Haupt^-tche nach vollständig gelost ■wenn sieh auch immer noch ubei tlie Form der Poris- men stielten lafst und die Unteisuchung n über Einzelheiten des Inhalts und den ^^ ahrbchemliche» Äuiifs und Zweck der Schrift nicht m allen Punkten abgeschlossen sind. Bereits Robeit Sintson deutete in ■nie Pappu=! Angaben zu er- klaien =<eien, iber diese Eiklarui^ liefs '.ii.h erst durchführen, als die Wissenschaft im Begriff stand das Gebiet wiederzuero- bem, zu den die Porismen gehörten, und das geschah dann durch einen der Männer, welche bei der Arbeit auf diesem Gebiete zu den ersten gehörten, nämlich durchMicholGhasies. Dieser hat wie bekannt sogaj' eine Restitution von Euklids

') Die Veranlassung m eioer solchen Eiweitprimg ei-gieht "ich eist, «-emi das Porisma üher Kegelschnitte aii=ge-piochen imd Um dasselbe zur Tjyafonnui:^ des noch nicht n&.heL he'itim.mteii Oit". /.a vier Geraden anwenden zu können, \\ai es also filr Apollonius niclit nötig eine solche Erweiterung vorzunehmen

') Ausgabe von Hultsch, S. 648 ff.

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Inhalt der PorismeE Euklids. IGl

verlorenem Werk ^) ausgearbeitet, die allerdings keinen Anspruch auf volle Übereinstimmung in den Einzelheiten macht — das geht unter anderem daraus hervor, dafs Chasles 220 Porisraen aufsteht, wähi'end das Werk nur 171 gehabt hat — , die aber zur Genüge die Durchführbarkeit der aufgestellten Erklärungen und deren Übereinstimmung mit aUen vorliegenden Angaben zeigt.

Es darf also, ohne dafs wir nötig hätten die Begründmig dafür zu wiederholen, zweierlei als feststehend betrachtet wer- den: zunächst, dafs Euklids Porismen ausgesprochen haben, dafs Punkte auf einer Geraden liegen, dafs Gerade durch denselben Punkt gehen und dafs Punkti'eihen auf geraden Linien m sol- chen Verbindungen stehen, welche mit gröfserem oder gerin- gerem Grade von Allgemeinheit das ausdrücken, was wir pro- jektivisch nennen; mid demnächst auch, dafs die Voraussetzungen, unter denen dieses der Behauptung nach stattfindet, in den beiden ersten Büchern über die Porismen aus Bedingungen derselben Ai-t zusammengesetzt sind,

Pappus' Worte, dafs die Voraussetzungen ,ganz speciell'' sind, könnten vielleicht die Befürchtung erwecken, dafs in den Porismen nur einzelne eng begrenzte Sätze dieser Art auf- gestellt worden seien. Wenn wir indessen den weiteren Zusani- menbang dieser Worte berücksichtigen, dafs sie nämlich „ver- schieden sind, weil sie ganz speciell sind", und ferner beachten, dafs Pappus 10 Porismen in eins*) von sehr allgemeinem Charakter zusammenzieht, so müssen wir annehmen, dafs diese Specialität entweder nur in der Verschiedenheit liegt oder in der bei den Griechen gewöhnhchen Zerstückelung besteht, so dafs jedesmal mehrere Porismen zusammengenommen die Voraussetzungen über die Lage der darin vorkommenden Punkte und Geraden vollkommen a%emein machen.

'} M. Chasles, Les trois livres de porismes d'Euclide, r^tablis pour la premifere fois d'aprfes la notice et les lemmes de Pappus, et conforme- ment an sentiment de R. Simsoti sur la forme des ^nonces de ces propositions. Paris t860.

') Ausgabe von Hultsch, S. 652.

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JG2 Achtel- Abschnitt.

Unter diesen Umständen sind zwei Folgerungen möglieh: entweder es hat direkt unter den Porismen solche gegeben, welche ausdrückten, dafs wenn zwei Strahlentüschel zwei feste gerade Linien in Punktreihen schneiden, welche einer gewissen Relation der erwähnten Art (z. B. der, dais das Rechteck aus den Ahständen von zwei festen Punkten der Geraden konstant ist) geni^en, andere feste Geraden existieren müssen, welche sie in Panktreihen schneiden, die einei' anderen dieser Relationen genügen (z. B. ähnlich sind); oder man mufs, wenn die Porismen verwickelter gewesen sind, bei ihrer Bil- dung mit dieser Art von Übei^ängen vertraut gewesen oder geworden sein. Wenn also, wie wir gesehen haJien, wenigstens Apollonius eine Form [3tes Buch, 53—56] für die Bestimmung projektivischer Büschel, die einen K^elschnitt hervorbrii^en, kennt, so darf man schliefsen, dafs er auch Euklids Porismen benutzen konnte um dies durch andere Formen für die Rela- tion zwischen den Punktreihen auszudrücken, weiche die Büschel entweder auf denselben Hülfslinien, die er benutzt, oder auf anderen bestimmen. Berücksichtigt man nun die vielen Aus- drücke für die Projektivitat, die nach Pappus in Euklids Poris- men aufgestellt sein müssen, so erhält man dadurch ebenso viele Bestimmungen von K^elschnitten , hervoj^ebracht durch solche Strablenbüschel , deren Verbindui^ wh- nun in die eine zusammenfassen können, dafs diese Büschel projektivisch sind.

Hierdurch erhalten wir zunächst eine Erklärung von Apol- lonius' Äufserung in der Vorrede, dafs sein drittes Buch, wähi-end es gleichzeitig zur vollständigen Bestimmung des Orts zu drei oder vier Geraden dient, überhaupt ausreichendere Mittel zur Bestimmung und Diskussion körperlicher Örter gebe; denn jede Form für die hier erwähnte Erzeugung ist ein Oiistheorem. Wenn Apollonius s^t, dafs diese Mittel zum Teil neu sind, so hat man gewifs wie gewöhnüch vorzugsweise an die für die Diskussion der Örter so wichtige Betrachtung zusammengehöriger Hyperbeläste zu denken. Abgesehen von diesen können dem Verfasser der Porismen, der die Bestimmung des Oi"ts zu vier Geraden teilweise kannte, solche Erzeugungen der K^elschnitte.

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Zusammenhang mit dei- pio.jektiv. Eiiengnng tief Kegelsclin. 163

wie wir hier erwähnt haben, nicht fremd gewesen sein, und Äristäus' Buch über körperhche Örter kann möglicherweise verschiedene Beispiele hierfür enthalten haben.

Femer bestätigt die allgemeine Beti'achtung des Zusam- menhangs zwischen der Lehre von körperlichen Ortern und Euklids Porismen die Richtigkeit ' der Anwendung, ■welche wir von dem Tollständ^ aufbewahrten Porisma gemacht haben. Betrachtet man nämlich die verschiedenen Formen, unter denen die Erzeugung durch projektivische Büsche! sich überhaupt in Übereinstimmung mit den Porismen ausdräcken läfst, so zeigt das erwähnte Porisma deuthch, dafs die Bestimmung der Büschel durch Teilung gewisser Geraden in proportionale Teile nicht vergessen sein kann. Es kann also die Vermutung nicht ganz unrichtig sem, welche wir zu Anfang dieses Abschnitts darüber aufgestellt haben, wie die Alten den Übei^ang von einem einbeschriebenen Viereck zu einem anderen, der ein notwen- diges Glied in ihrer vollständigen Bestimmung des Orts zu vier Geraden gewesen ist, bewerkstelligt haben.

Das. worauf wir hier gebaut haben, ist teils die Gewifs- heit, dafs ApoUonius den Ort zu vier Geraden vollständig, seine Vorgänger denselben teilweise bestimmt haben, teils ist es die letzte Satzgruppe in ApoUonius' drittem Buche, teils sind es endlich die vorliegenden zuverlässigen Angaben übei' den Inhalt von Eukhd« Poiiimtn ünieie bthlus'-e gehen von dem geometrischen Faktum au--, dafs alle diese Untersuchungen ihrem Inhalte nach genau zusammenhängt n und führen daim, indem nur dieser Zusammenhang auf die nächstliegende AVeise benutzt wird, dahin, dafs die Alten die Ei/eugung von Kegelschnitten durch projektivische Büschel, abge- sehen von deren Zusammenfassung durch den Gat- tungsbegriff Projektivität, vollständig gekannt haben.

Darch Aufstellung dieses Resultats gehen wir freilich bedeu- tend weiter, als Chasles nach seinen Aussprüchen über Kutzen und Anwendung der Porismen zu urteilen thut. In der Art der , Anwendung selbst ei^ebt sich indessen keine gi-ofse Abweichung von dem , was er in dieser Angelegenheit sagt. Er hebt eben

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164 Achter Ahsehnltt.

auch') den Nutzen hervor, den die Porismen nanieiithch bei der Bestimmung von Örtem gewähren können, da die durch dieselben gegebenen verschiedenen Darstellungen der bekannten Örter es möglich machen, jeden neuen Ort, der bestimm! werden soll, auf mannigfaltige Weise an jene anzuschliefsen. In dieser Beziehur^ vergleicht er äiifserst treffend die Porismen, in denen angegeben wird, dafs man durch Bestimmung von irgend etwas Unbekanntem zu einer gewissen Darstellung ge- langen kann, mit den bekannten Formen der Gleichungen in der analytischen Geometrie, welche man durch Bestimmung der noch unbekannten Koefficienten dahin bringen kann neue geometrische Örter von einer gewissen Art darzustellen. Diesem Vergleiche können wir um so mehr zustimmen, als wir überall in der höheren Geometrie der Alten fast eben soviel Überein- stüimiur^ mit der Behandlungsmethode der analytischen Geo- metrie wie mit der der modernen reinen Geometrie finden, was wir Gelegenheit finden werden des weiteren auseinanderzusetzen, wenn wir im zehnten Abschnitt die Bestimmungen der Orter bei den Alten untersuchen. Im besonderen werden dann die beiden ersten Bücher über Porismen den Untersuchungen der modernen analytischen Geometrie entsprechen, bei denen na- mentlich die lineare Form für die Gleichung der geraden Linie benutzt ist. Wie wir angeführt haben, behandeln dieselben näm- lich teils die Bedingungen dafür, dafs Punkte auf einer Geraden liegen oder gerade Linien durch einen Puntt gehen, teils die Relationen zwischen geradlinigen Punktreihen, welche in einer ebenen Figur durch Projektion mid durch Schneidung von geraden Linien verbunden sind.

Es ist übrigens unwesenthch, ob man die Porismen mit den modernen rein geometrischen oder mit den analytisch- geometrischen Hülfsmitteln vergleicht, welche beide nur unter verschiedener Form ganz dieselben Ziele verfolgen. Sie ihrer- seits gewähren dasselbe unter einer dritten Form.

Chasles hat ferner darin Recht , dafs diese reichen Hülfsquellen in den beiden ersten Büchei^n der Porisnien

') M. Chasles, Les trois livres de porismes d'EucUde, S. (iü.

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unmittelbar nui aut geiadlm^p Fj^fuien angewandt ^^ erden, also auch unmittelbai um geiadp Lin]en al'i geometnsche Örter ergeben, und dafs dipselben im ^ten Buche nui zugleich auf den Kreis Anwendung finden Ei lügt hin^u ^), dah der gröfste Teil der Poiisraen mit derbelben Leichl^keit sich auf die Lehre von den Kegelschnitten au-fdehnen las^e, und weist in einer Änmeikimg aut seme eigene Darstellung der Erzeu- gnis durch piojektiMsche Büschel m semem Appigu hittorigue besonders hm

In seiner Wiedetheiftelluiig dei Poiigmen ist e'i auch an manchen Stellen leicht die allgememen Sätze ubei Kegelschnitte KU erkennen, welche ei seLbst voi Augen hat, und welche er nur entwede! 90 specialisiert , dafs eine Gerade odei em Kreis an Stelle eine'* allgemeinen KpgeJ=!chmttes tntt, odei so umformt, dafs der Kegelschnitt mit dem das Porisma zu-^ammenhängt, nicht genannt wird, sondern nur die daduich eneichte Ver- bindung zwi&ihen geiaden Linien odei zwischen diesen und Kreisen ziiriickbleibt

Das, was wii nun hmzuzutugen haben, 11t die Annahme, erstens, dafs eben diese Veibindung mit dei Lehre von den Kegelschnitten auch Euklid während der Ausarbeitung der Porismen vor Äugen geschwebt hat, und dafs gerade diese Übereinstimmung im Gedankengange Chasles dazu verhelfen hat den Porismen ihren richtigen Cha- rakter und Inhalt zu geben; zweitens, dafs Apollonius wäh- rend seiner weiteren Behandlung des Orts zu vier Geraden und körperhcher Örter überhaupt vielfach Veranlassung gehabt hat diese Verbindung zu benutzen. Ich h^e um so weniger Bedenken bei dieser Abweichui^ von dem kenntnis- reichen Wiederhersteller der Porismen, als derselbe nii^endwo in den von ihm veröffentlichten Voruntersuchungen irgendwelche Rücksicht auf die Bedeutung des Umsiandes genommen hat, dafs die Alten eine so aügemeine Aufgabe, wie die Bestim- mung des Oi'ts zu vier Geraden — für welche er ja sogar dem Pappus einen grofsen Teil der Ehre ühcrläfst — gelöst

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1G(J Arhtn- Ab^tlinitt.

haben, und als er überhaupt den Inhalt von Äpolloniuy' Kegel- schnitten unbenutzt läfst.

So wie er von ims aufgefafst wird, giebt der Zusammen- hang zmsehen der Lehi'e von den Kegelschnitten und Euklide Porismen eine befriedigende Erklärung dafür, wie die Porismen entstanden sein können. In theoretischer Beziehung kann dieses Werk allerdings seine selbständige Bedeutung innerhalb seines eigenen Gebietes behaupten. Die darin enthaltenen Resultate sind interessant genug, um ihrer selbst wegen hervoi^ehoben zu werden, und wenn sie nach Pappus ein Werkzeug sind, bestimmt zu weiterer Anwendung in der Änalysis, so gestatten sie in der That unbegrenzte Anwendungen schon auf solche Fi- guren, die aus Geraden und Kreisen gebildet sind. Aber sollte man im Altertum so weit in den hierhei^ehörigen Aufgaben ge- gangen sein, dafs man nicht nur zu den Sätzen selbst gelangte, welche in den Pori.smen enthalten waren, sondern in denselben auch Werkzei^e zur Behandlung noch komplicierterer Auf- gaben auf diesem selben Gebiete erbEckte':'

Nicht mit der Absicht geradlinige Figuren oder Kreise zu behandeln hat man in unseren Tagen die Lehre von der Projektivität oder Homographie oder, algebraisch ausgedrückt, von den linearen Transformationen entwickelt, sondern nach- dem, man gesehen hatte, wie nützlich diese Hülfsmittel für die Lekre von den Kegelschnitten und darüber hinaus waren und sein würden, hat man dieselben durch Anwendung auf jene^i einfachere Material geprüft und entwickelt, wo man von vorn- herein geglaubt haben würde, sie leicht entbehren zu können, wo dieselben sich aber doch als nützlich zur Gewmnung neuer Resultate erwiesen. Teils wegen dieser Resultate, teils als eine Vorbereitung für weitere Anwendungen auf die Kegelschnitte hat man es für nützlich gehalten die neuen Methoden in ihrer Anwendung auf geradlinige Figuren und Kreise besonders dai- zustellen, wie Chasles in seiner Giometrie supSrieure, aber dafs sie sich hinterher eben für die Kegelschnitte so gut eig- nen, dafs die Anwendungen hier nicht schwieriger sind als auf dem elementaren Gebiete, rühii daher, dafs das Werk-

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Entstehung der Povismen. 167

zeug für die Lehre von den Kegelschnitten geschaffen ist, und cSafs seine Entwickelung der Anwendung auf diese Lehre Schritt für Schritt gefolgt ist.

So mufs es auch im Altertum zugegangen sein. Während des Studiums körperlicher Örter, während der Be- handlung und Umformung des Orts zu vier Gerade», hat man die Bedeutung der Verbindungen zwischen Punktreihen erkannt, welche wir unter dem Namen Projektivität zusammenfassen, und hat man sich ver- anlafst gesehen auf eine Gerade oder einen Kreis solche Bestimmungen von Punkten anzuwenden, welche im allgemeinen den Kegelschnitten angehören. Man ist nämlich sonst niemals in der glücklichen Lage, dafs ein mathematisches Werkzeug, welches mit Rücksicht auf andere Zwecke oder höchstens mit der blofsen Möglichkeit vor Äugen, dafs es weitei^ehende Anwendungen erfahren könnte, entwickelt wird, zufälligerweise m allem und jedem sich so vortrefflich wie die Porismen für das Studium der allgemei- nen Eigenschaften eines Kegelschnittes eignet, das Jieifst, der Eigenschaften, welche sich an dessen Punkte, unab- hängig von besonderen Linien oder Punkten (Äxen, Mittelpunkt H. s. w.) knüpfen.

Da nun diese Art von Untersuchungen doch kaum von iUideren, welche sich an die Kegelschnitte anschliefsen , haben ferngehalten werden können, so darf man erwarten, dafs ver- schiedenes vom Inhalt der Porismen auch an die Anwendung auf andere Abschnitte aus der Lehre von den Kegelschnitten ange- Hchlossen und dadurch entwickelt worden ist. In Übereinstim- mung hiermit haben wir denn auch (S. 83) bei der Bestimmung der Lage einer beliebigen Tangente mit Beziehung auf einen Durchmesser und die zugehörigen Sehnen eine Anwendur^ der- selben Abhäi^gkeit zwischen Punktreihen, die Projektionen von einander sind, gefunden vne die, welche eine Hauptrolle in den Porismen spielt. Einer von Pappus" Hülfssätzen ') zu Euklids

^) Dei- Sl=«, Aii?g. y. Hultäch, S. Ülffi. Dei- Hillfös.atz wild i schnitt angefülivt wei'den.

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168 Acliter Abschnitt.

Porismen stimmt, obgleich er sich ausschliefslich auf einen Halbkreis und Punkte und gerade Linien bezieht, augenschein- lich überein mit einer der einfachsten Brennpunktseigenschaften eines Kegelschnittes, der den Durchmesser des Halbkreises zur Hauptaxe hat. Dann ist anzunehmen, dafs — ebenso wie die Porismen 174 und 194—196 in Ghasies' Wiederherstellung — auch eins oder mehrere von Euklids echten Porismen auf ähnliche Weise Brennpunktseigenschaften unabhängig von dem K^elschnitt ausgedrückt haben, zu dem sie gehören. In Über- einstimmung mit der von uns vertretenen Auffassur^ wird dann anzunehmen sein, dafs das Studium der Kegelschnitte und ihrer Brennpunkte die Veranlassung gewesen ist, die in den Porismen aufgestellten Eigenschaften beim Halbkreise zu bemerken. Der Satz wird nämUch — hier wie an manchen anderen Stellen — leichter zu erfassen und natüriicher zu ent- decken, wenn die Anschauung durch Hinzunahme eines Kegel- schnittes unterstützt wird. Wir werden deshalb beim Studium der Kenntnisse, welche die Alten von den Brennpunkten be- sassen, den erwähnten Hülfssatz und die wahrscbeinlicherweise daran geknüpften Porismen nicht unbeachtet lassen.

Wenn meine Auffassung von Euklids Poiismen und ihrer Entstehung richtig ist, dafs dieselben namlich teils eine Art von Nebenprodukten bei Untersuchungen über Kegelschnitte sind, teils auch ein Hülfemittel füi weitete Untersuchungen über dieselben Kurven, so wird md.n dadurch aufgefordert zu versuchen aus den vorliegenden Angaben übei Euklids Porismen eine möglichst vollständige Ausbeute tui die Kenntnis der gi-ie- chischen Lehre von den Kegelscimitten zu ziehen. An voll- ständigen Angaben über Einzelheiten m dieser Schrift haben wir aufser dem aufbewahrten Porisma, das uns bereits so gi'ofsen Nutzen geleistet hat, Pappus' Veiemigung von 10 anderen Pori=!men in fol^^endes'): ,,Wcnn \on dein s^^teme von Diirr-h-

') Ausg. V. Hiiitsch, S. «53. Wir liaben liier einige unbedeutende Ände- rungen Torgenommen um den dunklen Text, der in der neueren Zeit zuerst von Robert Simsen verstanden wurde, klarer zu machen ohne etwas in der Auffassung der Figur selbst zw verändern.

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Rückschlösse auf riio Lolire \

len Kogplschnitteii,

IßH

Schnittspunkten zwischen vier geraden Linien die drei, \Yelche auf einer von den Geraden liegen, gegehen sind, und zwei andere sieh auf gegebenen geraden Linien bewegen, so wird dasselbe mit dem dritten der Fall sein," Wir düi'fen also nicht versäumen zu untersuchen, in welcher Beziehung dieser Satz zur Lehre von den Kegelschnitten steht.

Wen^^tens wenn man diesen Satz als eine Bestimmung des dritten Eckpunkts eines Dreiecks auffafst, dessen beide andere Eckpunkte auf gegebenen Linien gleiten, während alle Seiten sich um feste Punkte einer geraden Linie drehen , hat es sehr nahe gelegen weiter zu fragen, was denn aus dem geometiischen Ort wird, wenn man die letzte Einschränkur^, dafs die festen Punkte auf einer Geraden liegen sollen , aufser Acht läfst. Der Beweis dafür, dafs der Ort, zu dem man dann gelangt, im allgemeinen ein Kegelschnitt wird, ist, wenn die Konsequenzen, die wir bereits aus d

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